3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды



Скачать 92.73 Kb.
Дата09.10.2012
Размер92.73 Kb.
ТипДокументы
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лектор – проф. В. Н. Старовойтов

3 – 4-й семестры


  1. Функциональные последовательности и ряды


1. Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость последовательности функций. Критерий Коши равномерной сходимости. Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций. Перестановка пределов двойной числовой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных функций, определенных на компакте. Предельный переход под знаком интеграла Римана. Предельный переход под знаком производной.
2. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Критерий Дини равномерной сходимости функционального ряда. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов.
3. Степенные ряды. Равномерная и абсолютная сходимость степенных рядов на замкнутом множестве, лежащем в круге сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда в круге сходимости. Теорема о дифференцировании степенного ряда.
4. Методы суммирования расходящихся рядов. Метод Чезаро, его линейность и регулярность. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда. Метод Абеля - Пуассона, его линейность и регулярность.


  1. Интегралы, зависящие от параметра


1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность по параметру интеграла от непрерывной функции. Теоремы о дифференцировании интеграла по параметру. Теорема об интегрировании интеграла по параметру (о перестановке интегралов). Примеры вычисления интегралов с помощью интегрирования и дифференцирования интегралов, зависящих от параметра. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций полиномами.
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равномерно сходящегося несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла. Теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. Теоремы о дифференцировании и интегрировании несобственных интегралов по параметру. Гамма- и бета-функции Эйлера и их основные свойства.


  1. Мера и интеграл Лебега в


1. Системы множеств. Кольцо множеств и его простейшие свойства. Лемма о пересечении колец. Кольцо, порожденное набором множеств. Полукольцо множеств. Теорема о структуре множеств из кольца, порожденного полукольцом. Понятия алгебры, σ-кольца и σ-алгебры множеств.
2. Лебеговы меры.
Функция множества. Понятие меры на полукольце. Теорема о продолжении меры с полукольца на порожденное им кольцо. Теорема о монотонности и полуаддитивности меры, заданной на кольце множеств. Понятие счетно-аддитивной меры на полукольце. Теорема о счетной аддитивности продолжения меры с полукольца на порожденное им кольцо. Теорема о монотонности и счетной полуаддитивности σ-аддитивной меры, определенной на кольце.
Продолжение меры по Лебегу. Внешняя мера. Теорема о счетной полуаддитивности внешней меры. Понятие измеримого множества. Лебегова мера. Теорема о том, что измеримые множества образуют σ-алгебру. Теорема о счетной аддитивности лебеговой меры. Множества меры нуль и их измеримость. Теорема о непрерывности меры.
3. n-мерная мера Лебега. Применение конструкции Лебега к полукольцу параллелепипедов в . Понятие σ-конечной меры в . Борелевская σ-алгебра. Теорема об измеримости борелевских множеств. Пример неизмеримого множества. Инвариантность меры Лебега относительно сдвигов.
4. Измеримые функции. Понятие измеримой функции. Теорема об измеримости композиции функций. Измеримость суммы, произведения и частного измеримых функций. Понятие борелевской функции. Лемма об измеримости поточечного предела последовательности измеримых функций. Сходимость почти всюду. Понятие эквивалентных функций. Теорема об измеримости предела сходящейся почти всюду последовательности измеримых функций. Теорема Егорова.
5. Интеграл Лебега. Понятие простой функции. Интегрируемые (суммируемые) простые функции и их свойства. Теорема об измеримой функции как равномерном пределе последовательности простых функций. Определение интегрируемой (суммируемой) функции и обоснование его корректности. Интеграл Лебега и его свойства. Теорема об аддитивности интеграла Лебега. Неравенство Чебышева. Теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Теорема Леви. Теорема Фату. Интегрируемость по Лебегу функции, интегрируемой по Риману. Теорема Фубини. Лемма о мере образа множества при отображении. Замена переменных в интеграле Лебега.
6. Пространства интегрируемых функций. Нормированные линейные пространства . Неравенство Юнга. Вложения пространств друг в друга. Неравенство Гёльдера. Неравенство Минковского. Понятие фундаментальной последовательности. Определение полного нормированного (банахова) пространства. Полнота пространств . Понятие сепарабельного пространства. Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств. Плотность пространства непрерывных функций в , .


  1. Ряды Фурье.


1. Гильбертовы пространства. Определение гильбертова пространства. Неравенство Коши – Буняковского. Полная система элементов гильбертова пространства. Понятия базиса и ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве. Счётность и существование базиса в сепарабельном пространстве. Процесс ортогонализации базиса. Понятие ряда Фурье. Лемма о наилучшей аппроксимации частичными суммами ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Теорема об эквивалентности равенства Парсеваля и полноты ортонормированной системы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса – Фишера. Понятие тотальной системы элементов. Теорема об эквивалентности полноты и тотальности системы элементов.
2. Тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическая система функций на отрезке , ее ортогональность в . Понятие тригонометрического полинома (многочлена). Теорема об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими полиномами. Полнота тригонометрической системы в и ее следствия. Интеграл Дирихле. Лемма о стремлении к нулю коэффициентов Фурье. Принцип локализации. Первое и второе условия Дини. Теоремы о сходимости ряда Фурье в точке. Условия Липшица и Гёльдера. Пространство функций непрерывных по Гёльдеру. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье непрерывных по Гёльдеру функций. Суммы Фейера. Теорема Фейера. Полные тригонометрические системы на отрезках и . Ряд Фурье в комплексной форме. Комплексное пространство .
3. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье. Теорема о представлении функции в виде интеграла Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье. Формула обращения. Теорема о равномерной сходимости образов Фурье сходящейся в последовательности функций. Теорема о непрерывности и убывании на бесконечности преобразования Фурье функции из . Лемма об убывании на бесконечности функции из с ограниченной производной. Теорема о преобразовании Фурье производной функции. Теорема о производной преобразования Фурье. Свёртка функций. Преобразование Фурье свёртки и произведения функций. Преобразование Фурье функций из . Теорема Планшереля. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности.


  1. Анализ гладких отображений


1. Непрерывные отображения. Понятие метрического пространства. Определение непрерывного отображения. Взаимнооднозначное отображение. Понятие гомеоморфизма. Понятие сжимающего отображения. Понятие полного метрического пространства. Понятие неподвижной точки отображения. Принцип сжимающих отображений. Теорема о непрерывной зависимости неподвижной точки от параметра
2. Неявные функции. Понятие неявно заданного отображения. Теорема о неявной функции. Теоремы о непрерывности и о дифференцируемости неявного отображения. Теорема об обратном отображении. Теорема о гладкости обратного отображения.
3. Многообразия в . Определение p-мерного многообразия класса в . Примеры многообразий. Теорема о локальном явном задании многообразия. Теорема о локальном параметрическом задании многообразия. Понятия параметризации, карты и атласа. Лемма о двух локальных параметризациях. Теорема о касательном пространстве к параметрически заданному многообразию. Ориентация параметрически заданных многообразий. Определение карт согласованной ориентации. Понятия согласованного атласа и ориентируемого многообразия. Определение многообразия с краем. Ориентация края многообразия.
4. Неявно заданные многообразия. Теорема о неявно заданном многообразии. Теорема о касательном пространстве к неявно заданному многообразию. Понятие экстремума функции на многообразии. Теорема о множителях Лагранжа.


  1. Дифференциальные формы.


1. Полилинейные формы. Понятия линейного (векторного) пространства, вектора, линейной комбинации векторов, линейной независимости векторов. Определение базиса и координат вектора относительно базиса. Понятия конечномерного векторного пространства, линейного подпространства, линейной оболочки системы векторов. Теорема о существовании базиса. Теорема о независимости от базиса числа векторов в базисе. Размерность векторного пространства.
Понятие полилинейной формы на линейном пространстве. Тензорное произведение полилинейных форм и его простейшие свойства (дистрибутивность, ассоциативность). Координатная линейная форма π. Лемма о представлении полилинейных форм. Определение кососимметрической полилинейной формы степени p (внешней p-формы). Пространство . Лемма о равенстве нулю p-формы от набора векторов, среди которых два совпадают, и ее следствия.
Понятия перестановки и транспозиции. Теорема об изменении значения формы при перестановках аргументов. Операция альтернирования и ее простейшие свойства (линейность). Лемма о представлении p-форм. Базис в и размерность этого пространства.
Определение внешнего произведения p-форм. Простейшие свойства внешнего произведения (дистрибутивность). Понятие упорядоченной перестановки. Теорема об эквивалентном определении внешнего произведения. Теорема об ассоциативности внешнего умножения. Связь внешнего произведения линейных форм с определителями. Каноническое представление внешних форм. Теорема об антикоммутативности внешнего произведения. Преобразование форм при линейных отображениях пространств и его свойства.
2. Дифференциальные формы в . Понятие внешней дифференциальной формы. Примеры дифференциальных форм. Дифференциал функции как дифференциальная форма. Координатная дифференциальная форма. Каноническое представление дифференциальных форм. Дифференциальные формы класса .
Понятие внешнего дифференцирования дифференциальных форм. Теорема о внешнем дифференциале внешнего произведения форм. Теорема о равенстве нулю двойного внешнего дифференциала формы.
Перенос форм при отображениях. Линейность операции переноса. Теорема о переносе внешнего произведения форм. Теорема о переносе внешнего дифференциала формы. Точные и замкнутые формы. Пример замкнутой формы, не являющейся точной. Теорема Пуанкаре о точности замкнутых форм. Интегрирование дифференциальных форм по области в .
3. Дифференциальные формы на многообразиях. Определение дифференциальной формы, заданной на многообразии. Определение внешнего дифференциала формы, заданной на многообразии, и доказательство его корректности. Интеграл от формы по куску многообразия, заданному одной картой. Понятие разбиения единицы. Лемма Урысона. Теорема о существовании разбиении единицы. Определение интеграла от формы по многообразию и обоснование его корректности. Теорема Стокса.

Поверхностные интегралы 2-го рода. Форма объема в и на многообразии. Поверхностные интегралы 1-го рода.
4. Элементы теории векторных полей в . Понятия скалярного и векторного полей. Дифференциальные формы в , соответствующие векторным полям. Связь операций над векторными полями (скалярное и векторное умножение) с операциями над дифференциальными формами. Определение операторов , div, rot и их представление в декартовых координатах. Формулы для , , .

Интегральные формулы векторного анализа. Формула Ньютона – Лейбница, формула Грина. Лемма о форме площади на 2-мерном многообразии в . Векторная формула Стокса. Формула Гаусса – Остроградского.
Понятие потенциального векторного поля. Понятие пути в . Теорема о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля (через интеграл по замкнутым путям). Понятие гомотопных путей. Пути гомотопные точке. Понятие односвязной области. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля для односвязных областей. Обобщение теоремы Пуанкаре для 1-форм на случай односвязных областей. Соленоидальные векторные поля. Векторный потенциал и условия его существования.
Литература
1. В.А.Зорич. Математический анализ. М.: «Наука», Т.2 (1984).

2. С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», Т.1 (1990), Т.2 (1991).

3. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: «Наука» (1989).

4. У.Рудин. Основы математического анализа. М.: «Мир» (1966).

5. А.Картан. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: «Мир» (1971).

6. И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.: «Дрофа», Т.1,2 (2001).

7. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: «Наука» (1990).

8. Ю.С.Очан. Сборник задач по математическому анализу. М.: «Наука» (1981).

Похожие:

3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconБбк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье

3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconЧисловые ряды. Функциональные последовательности и ряды
Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное услорие сходимости рядов с неотрицательными членами
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconВысшего профессионального образования
Функции нескольких переменных. Приложения к общей экономической теории. Кратные интегралы. Неявная функция. Выпуклые функции. Функциональные...
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconТема Числовые ряды. Функциональные ряды
Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что, это означает, что
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconУчебно-методический комплекс дисциплины математический анализ (наименование дисциплины)
Свойства дифференцируемых функций. Множества точек и последовательности в n-мерном пространстве. Функции нескольких переменных. Экстремумы...
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconЧисловые ряды Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconЧисловые последовательности
Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности. Т. к члены последовательности действительные числа, то...
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconВопрос Асимптотические последовательности и ряды. Теорема Пуанкаре
Экзаменационный билет по предмету «Теория колебаний и устойчивости тонкостенных оболочек»
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconМатематический анализ (Кратные интегралы и ряды) для мк-201, мт-201
Непрерывность, интегрирование, дифференцируемость предела функциональной последовательности
3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды iconЛекция 22. Числовые ряды. 22 Основные определения. Определение
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org