Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко



Скачать 71.49 Kb.
Дата26.11.2012
Размер71.49 Kb.
ТипДокументы
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости

Станислав Кравченко
- определим пространство как множество элементов с некоторой заданной структурой отношений;
- если заданы отношения расстояний, то пространство метрическое;
- если имеет место быть бесконечно малые изменения отношений между элементами, то пространство непрерывное;

- если отношения могут быть описаны в вещественном множестве, то пространство вещественное;
- если определено конечное число скалярных произведений элементов (векторов) пространства, то пространство конечномерно;

- конечномерное вещественное пространство с невырожденной индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым. По другому, псевдоевклидовым пространством будем называть такие множества, отношения расстояний между элементами которых подчинены правилу:

d2(x,y)=(x1-y1)2+…+(xm-ym)2-…-(xn-yn)2 (1)

Из данного определения следует такая особенность псевдоевклидового пространства, что для не тождественно нулевых элементов оно состоит из трех подмножеств, подпространств, соответственно - знакоположительной или пространственноподобной метрикой, знакоотрицательной или времениподобной метрикой и нулевой или изотропной метрикой. Что важно, никаких преобразований-переходов структурных отношений элементов из одного подпространства в другое данное правило не предусматривает. Если аргументом непрерывного перехода между элементами псевдоевклидового пространства задать поворот исходного псевдоевклидового элемента расстояний на некоторый элементарный угол, то неизбежным следствием таких псевдоевклидовых поворотов в области положительных значений угла поворота является недостижимый правосторонний предел на бесконечности, равный нулевым отношениям расстояний для произвольных ненулевых элементов, в физике трактуемый как равный скорости света. Соответственно, в области отрицательных значений угла поворота имеется левосторонний предел. Таким образом, псевдоевклидовая плоскость имеет разрывы второго рода.

Те координатные системы отсчета пространств, что соответствуют правилу отношений между элементами, будем называть собственными. То есть, для псевдоевклидовой плоскости собственными будут все координатные системы отсчета, что подчинены правилу (1) отношения расстояний между его элементами.

Построим такую координатную систему для простейшего, двумерного псевдоевклидового пространства. Отношения между элементами псевдоевклидовой плоскости будут подчинены правилу:

d2(x,y)=(x1-y1)2-(x2-y2)2 (2)

которое обычно называют элементом интервала.
Выберем на псевдоевклидовой плоскости произвольный отсчетный элемент и свяжем с ним произвольную точку, вследствие чего она станет особой – точкой отсчета, началом координат. Свяжем с этой точкой два взаимно перпендикулярных в евклидовом смысле единичных вектора. Такое исходное построение вполне корректно, поскольку псевдоевклидовые отношения можно рассматривать как особый частный случай расширения собственно евклидовых отношений с вещественного на комплексное множество элементов. Коллинеарно и сонаправленно единичным векторам проложим две координатные оси х и у. Таким образом получим исходную систему координат, являющуюся заведомо неполной, более того, отвечающей множеству двумерных поверхностей, не только псевдоевклидовым.



Для привязки исходной отсчетной системы именно к псевдоевклидовой плоскости дополним её. Для этого рассмотрим некий элемент А, не совпадающий с точкой отсчета, но расположенный строго на одной из пространственных осей, к примеру, на оси х, на некотором расстоянии x1, то есть, имеющий относительно точки отсчета координаты (x1, 0).



Отношение элемента А с отсчетным элементом будут характеризоваться правилом расстояний (2), называемом интервалом. Интервал между объектом А и точкой отсчета в этом частном случае просчитать не сложно:

S2=(x1)2

Поскольку для псевдоевклидовой плоскости координатным правилом расстояний задано именно правило (2), строим множество точек равных расстояний (интервалов) для псевдоевклидовой плоскости, то есть, множество:

S2=(x1)2=(xi-yi)2 (3)



Аналогичные построения можно выполнить для любого множества выбранных объектов как по оси х, та и по оси у. Из условий построения непосредственно следует, что уравнение любой из построенных линий отвечает условию S=Const, то есть, для любой из них ds=0, d2s=0. Таким образом, построенные линии являются аналогами прямых для псевдоевклидовой плоскости, то есть, геодезическими линиями. Удобней все возможное множество геодезических псевдоевклидовой плоскости рассматривать в круге Пуанкаре, приняв его радиус за единицу и соответственно преобразуя координаты в круге Пуанкаре по правилам:

Xp=thx, Yp=thy (4)



Примечательно, что разрыв псевдоевклидовой плоскости ограничивает множество геодезических. Координата предельной геодезической в системе координат круга Пуанкаре:



Или в координатах псевдоевклидовой плоскости:



Другой примечательной особенностью геодезических псевдоевклидовой плоскости является их аналогия геодезическим плоскости Лобачевского – орициклам. Напомню:

Орицикл (греч. όριο + κύκλος — «граница + круг»), предельная линия ― ортогональная траектория параллельных в некотором направлении прямых плоскости Лобачевского.

Орицикл можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром, точнее он является пределом окружностей проходящих через фиксированную точку и центром стремящимся к бесконечности вдоль фиксированного луча. Все орициклы конгруэнтны между собой, кривизна орицикла постоянна. В модели Пуанкаре орицикл ― окружность, касающаяся изнутри абсолюта.

Тем самым становится очевидной прямая связь между геодезическими псевдоевклидовой плоскости и системой координат Риндлера:



Связь достаточно проста, система интегральных кривых поля времениподобного единичного вектора дают времениподобную конгруэнцию, состоящую из мировых линий семейства наблюдателей, которые в нашей исходной координатной системе будут иметь образ ветвей гипербол и которые в Лоренцевом многообразии имеют геометрический аналог дуги окружности. Таким образом, семейство окружностей (наблюдателей) координат по Риндлеру всегда имеют своим пределом геодезическую, в частности, предельную, а каждая из конгруэнтных гипербол является масштабной трансформацией геодезической. В принципе ничто не запрещает строить систему координат Риндлера для любой возможной геодезической.

Следующей замечательной особенностью связи псевдоевклидовых геодезических с геодезическими плоскости Лобачевского является неизбежная ортогональная геодезическим собственная координатная системы линий, аналогов эквидистантам. Самым естественным образом она следует не только из «родства» псевдоевклидовой плоскости с гиперболической, но, что фундаментально важно в научном плане, из тензора кривизны Риччи-Кристофеля.



Полученная таким образом, собственная ортогональная система координат на псевдоевклидовой плоскости представлена ограниченным множеством геодезических, аналогов орициклов и ортогональным им кривых равных координатных расстояний, аналогов эквидистант.

Общая формула геодезических для произвольного расстояния «а»:



Общая формула кривых равных координатных расстояний для произвольного расстояния «а»: для круга Пуанкаре:



Для псевдоевклидовой плоскости:





Поскольку псевдоевклидовая плоскость представляет фундаментальный интерес для теории относительности полезно рассмотреть дополнительные аспекты собственных координатных отношений псевдоевклидовой плоскости в в физических единицах. Исходя из эмпирических фактов, логично предположить пустоту именно тахионного подмножества, тогда, в соотвествии с тензором кривинзны Риччи-Кристофеля, действительное подмножество не будет пустым, наоборот, будет считаться заполненным материей с критической плотностью. В этом случае мировые линии пробных материальных тел не будут эквивалентами геодезических, наоборот, они будут предопределяться неизменностью относительных взаимных положений пробных тел, то есть будут эквивалентны эквидистантам.

Особый интерес представляет наблюдение пробного тела, имеющего мировую линии такого рода:



Таким образом, пробное тело, не меняющее во времени свое положение относительно тела отсчета, будет наблюдаться удаляющимся, с красным смещением спектра. Другими словами, стационарная Вселенная будет наблюдаться «разбегающейся».

Для круга Пуанкаре:



Для координат псевдоевклидовой плоскости:



Движущиеся относительно тела отсчета пробные тела будут иметь соответствущим образом гиперболически повернутые мировые линии и собственные системы отсчета.





Для общей теории относительности собственная координатная система СТО (псевдоевклидовой плоскости) представляет фундаментальный интерес прежде всего в плане толковая и, главное, расчета «космологического члена», ею вполне однозначно предопределяемого. Физикам также следует внимательно посмотреть, что они считают, когда считают кривизну псевдоевклидового пространства с помощью тензора Римана-Кристофеля. Подсчет замечателен и фундаментален. Замечателен нулевым результатом суммарной кривизны всех подпространств псевдоевклидового пространства для любой точки. Это – стационарный результат. Фундаментален он необходимостью перехода от теории относительности к структурной механике.

С уважением

St_krav@mail.ru

Похожие:

Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconУрок по теме «Координатная плоскость»
«Координатная плоскость», отработка умений определять координаты точек на координатной плоскости, находить положение точки по известным...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко icon«Декартова система координат»
Система координат на плоскости позволяет решать задачи, связанные с положением точек на плоскости, построение графиков, геометрических...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconРешение задач по теме «Координатная плоскость»
Оборудование: индивидуальные карточки с заданиями, графопроектор, кодограмма, компьютер, планшеты координатной плоскости
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconКоординатная плоскость
...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconКонтрольная работа по теме «Координатная плоскость»
Отметьте на координатной плоскости точки А(6; 1) и в (-2; -3). Проведите отрезок ав. Найдите координаты точки пересечения отрезка...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconКоординатная плоскость
Образовательная: ввести понятия системы координат, координатной плоскости, координат точки, абсциссы и ординаты; отрабатывать умение...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconКоординатная плоскость (2 урок)
Организовать деятельность учащихся по закреплению умения отмечать на координатной плоскости точку по заданным ее координатам; умение...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconМуниципальное учреждение «Центральная районная библиотека» им. Б. Е. Кравченко
Новые книги, поступившие в му «Кондопожская црб» им. Б. Е. Кравченко в I кв. 2011 г
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconМетодические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год
Методические рекомендации предназначены для самостоятельной подготовки и ликвидации пробелов в знаниях учащихся по теме «Управление...
Собственная координатная система псевдоевклидовой плоскости Станислав Кравченко iconВ статье дан краткий анализ структуры административных округов Греции периферий, в которых сформирована собственная система территориальных структур органов государственного управления
В статье дан краткий анализ структуры административных округов Греции – периферий, в которых сформирована собственная система территориальных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org