Df. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df
|
Скачать 23.47 Kb.
|
1.07 Ответы на вопросы по междисциплинарному экзамену. Раздел №1. Математика Вопрос 1.7. Линейные операторы (ЛО) в конечномерном пространстве и их матричное представление. Характеристический многочлен, собственные числа и собственные вектора ЛО. Сопряженные и самосопряженные линейные операторы. Ответ: Df. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df. Оператор – отображение из произвольного топологического пространства A в произвольное топологическое пространство B. Df. Линейным называется оператор A: A[ka + lb] == k*A[a] + l*A[b] Df. Из векторного пространства можно выделить ЛНЗ набор векторов (по определению линейная комбинация ЛНЗ набора не дает ноль). Df. Полный ЛНЗ набор – базис. Df. Мощность базиса – размерность. Df. Размерность – натуральное число => пространство – конечномерное. Th. Линейный оператор из конечномерного пространства (dim N) в конечномерное пространство (dim M) представим в виде матрицы M x N. Доказательство. Тривиально Df. Собственным вектором оператора А называется вектор b: A[b] == lb. При этом l – собственное число оператора А. Замечание. Собственные числа оператора А – инвариант. Df. Характеристический многочлен ЛО A в к/м пр-ве – это p(l) = det(A - lE ). Замечание. Корни хар.многочлена – это собственные числа ЛО А. Df. Сопряженным пространством векторного пространства А называется пространство В всех линейных непрерывных функционалов над векторами А. Df. Сопряженным оператором A* оператору A:X->Y (X* сопряжено с X, а Y* -- с Y) называется опреатор: 1. А*: Y*->X*, 2. для любого функционала g из Y* A*[g] == g[A] Замечание. Для Г-пространств X==Y==H, очевидно, это можно переписать как (Ax; y) == (x; A*y). Df. Самосопряженный оператор – оператор, определенный на линейном, всюду плотном множестве Г-пространства: 1. D(A) == D(A*) 2. A == A*, те (Ax, y) == (x,Ay). Замечание. Для ограниченного самосопряженного оператора верно то, что его собственные числа вещественны и спектр непуст. |
Похожие:
 | Аксиом линейного (векторного) пространства, примеры Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис пространства |  | Линейные преобразования Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее... |
| Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное или векторное. Результатом скалярного умножения... | | Лекции 1 лекция. Пространство r 3 Пространство R3 арифметических векторов и геометрические векторы. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов.... |
| Лекция №2 (13. 09. 11) Теорема Сложение векторов ассоциативно и коммутативно. Доказательство. Пусть даны векторы a Выберем по представителю для этих трёх векторов, причём для a возьмём произвольный представитель (A, B), вектор b прилóжим к точке... | | Контрольная №4 Убедиться, что отображение пространства всех векторов на пространство всех векторов, коллинеарных данной прямой, сопоставляющее каждому... |
| часть основы линейной алгебры тема векторы и матрицы А. При типографском способе печати появляется возможность выделять вектор жирным шрифтом, например: a – это вектор, а а – скаляр.... | | 3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов, в котором операции сложения векторов и умножения вектора... |
| «n-мерный вектор и векторное пространство» Опр. Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами, если определены : а) операция сложения (вычитания)... | | Линейные операторы и квадратичные формы Определение Отображение L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором,... |