Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным



Скачать 116.28 Kb.
Дата26.11.2012
Размер116.28 Kb.
ТипДокументы

Университетские исследования, 2012

УДК 517.9

ПРИМЕНЕНИЕ СОЧЕТАНИЯ МЕТОДА ШАГОВ И РАСШИРЕНИЯ

ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМ

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Печенова София Сергеевна, Полосков Игорь Егорович (д.ф.-м.н.)

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

ул.Букирева, 15, г. Пермь, 614990, Россия, e-mail: newmagnolia@mail.ru
В статье рассматривается техника применения комбинации классического метода шагов и расширения фазового пространства для расчета поведения векторов состояния нелинейных динамических систем с общей и специальной (кусочно-постоянной) формами переменных запаздываний. На основе последовательно развиваемой в работах второго из авторов процедуры строится цепочка систем обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания. В качестве примеров исследованы переходные процессы, моделирующие явления из различных областей науки и техники. Численно-аналитические расчеты осуществлялись с помощью программ на входном языке пакета Mathematica™.

1. Введение. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом (ДУсОА) вызывают большой интерес, как с теоретической, так и с практической точки зрения [1,2]. Такие уравнения появляются там, где свойства объекта определяются эффектом последействия, и служат математическими моделями различных явлений: процедур автоматического регулирования и управления техническими системами, химическими и другими технологическими процессам: динамики экономических и социальных систем; горения в жидкостно-реактивных двигателях; влияния излучений; радиолокации и радионавигации; автономной стабилизации курса судов; колебаний в ламповых генератора; борьбы видов за существование в биологии; управление запасами и т.д.

Как правило, точные аналитические решения ДУсОА могут быть найдены очень редко. Численное же интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с запаздыванием или нейтрального типа и с автоматическим выбором шага, не говоря уже об уравнениях в частных производных, требует разработки специальных вариантов методов Рунге–Кутта для обычных и жестких систем уравнений, часто весьма изощренных [3–8].

Однако для решения вышеуказанных задач можно применить несложные приемы, позволяющие использовать встроенные средства численного интегрирования ОДУ таких систем аналитических вычислений (САВ) интерактивно-программного типа, как Maple [9] и Mathematica [10].


В работе представлены результаты применения схемы расширения фазового пространства [11–14], которая была реализована с помощью нескольких процедур, написанных на входном языке пакета Mathematica, и позволила с помощью стандартной функции NDSolve пакета решать ДУсОА различных классов, в частности, с общей и специальной (кусочно-постоянной) формами переменных запаздываний.

2. Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим систему уравнений с непрерывными переменными запаздываниями k(t)  0 (k = 1, 2, …, ) вида

(2.1)

Здесь ' – производная по времени t,  > 0 – целое, xRn – фазовый вектор, f (,) = {fi(,)}T: Rn  [t0,+)  Rn – детерминированная вектор-функция, x0 – известный вектор, T – символ транспонирования. Будем считать, что на интервале (t0, t0), где



фазовый вектор x(t) совпадает с вектором y(t)  Rn, который удовлетворяет системе ОДУ без запаздывания:

(2.2)

Задачей исследования является вычисление вектора x при любом t > t0.

В связи с отсутствием общепризнанных алгоритмов решения уравнений (2.1)–(2.2) естественными выглядят попытки построения на их основе иных математических моделей явлений, описываемых данными уравнениями, моделей, более удобных для дальнейших исследований.

Путь, выбранный в настоящей работе и подобный другим нашим разработкам [11–14], состоит в следующем. Для того чтобы изучить изменение вектора x(t) при значениях времени t > t0 посредством преобразования векторного процесса, удовлетворяющего уравнениям с запаздываниями, мы расширяем фазовое пространство системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При этом последовательно развиваемая схема расширения фазового пространства анализа систем с постоянными (одиночными и кратными) запаздываниями может быть применена и для решения поставленной задачи, конечно, при некоторой модификации.

Действительно, заменим приближенно переменные запаздывания k(t) кусочно-постоянными функциями k(t) со "ступеньками", длина которых кратна величине *. При этом выбор * определяется необходимой точностью аппроксимации k(t) и всегда может быть произведен так, чтобы абсолютная погрешность |k(t) - k(t)| не превышала наперед заданного значения, а поведение полученной системы ОДУ соответствовало исходной.

Рассмотрим равномерную временнýю сетку

tq = t0 + q*, q = –N0, –N0+1, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., N, ...,

причем без потери общности можно считать, что tN0 = t0 (значения вектора y при t = tN0, если tN0 < t0, можно получить интегрированием в обратном времени) и введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0, *], и следующие обозначения:

xq(s) = x(s + tq), q = (tq-1, tq], q = 0, 1, 2, ..., sq = s + tq,

yq(s) = y(s + tq), q = (tq-1, tq], q = –N0, –N0+1, ..., –2, –1,

zN0 = yN0, zN0+1 = col(zN0, yN0+1), ..., z1 = col(z-2, y1),

z0 = col(z-1, x0), z1 = col(z0, x1), z2 = col(z1, x2), ...,

col(x0, x1, x2, ...) = {x01, x02, ..., x0n, x11, x12, ..., x1n, x21, x22, ..., x2n, ...}T.

Тогда учитывая равенства

yq(0) = yq-1(*), xq(0) = xq-1(*),

можно построить цепочку уравнений для векторов zN0, zN0+1, ..., z0, z1, z2, ..., zN, ..., принадлежащих семейству вложенных фазовых пространств RnR2nR3n  ...  Rn(N0+1)  ...  Rn(N+N0+1). Цель построения такой цепочки – вычислить значения для различных компонентов векторов zq в процессе решения ОДУ без запаздывания.

Примечание. Конечно, при небольшом * и значительных N0 и N количество ОДУ на последовательных этапах расчетов будет велико, но потери времени с лихвой компенсируются простотой алгоритма процедуры и возможностью использования стандартных численных интеграторов.

Используя введенные выше обозначения и последовательно рассматривая полуинтервалы (tN0, tN0+1], (tN0+1, tN0+2], ..., (t0, t1], ..., (tN-1, tN], ..., можно записать (для t > t0 аппроксимирующие исходные уравнения) системы ОДУ без запаздывания. Заметим, что в отличие от уравнений с постоянными запаздываниями выписать явную форму формируемой цепочки ОДУ в общем случае не представляется возможным, что как раз и является следствием переменности запаздывания. В конкретных же расчетах при автоматическом генерировании указанной цепочки такая проблема не возникает.

Теперь рассмотрим задачу решения нелинейных дифференциальных систем со специальной формой переменного запаздывания – кусочно-постоянной. Важность исследования систем с подобным типом запаздывания следует из возможности аппроксимации с наперед заданной точностью на замкнутом множестве любой непостоянной функции (в частности произвольного непрерывного переменного запаздывания) с помощью линейной комбинации кусочно-посто­янных функций.

Предположим, что в рассматриваемом случае



Заметим, что, например, tM, M = 0, 1, 2, ... – одна из часто используемых регулярных форм для функций t – k(t), где z – целая часть z [15].

Предположим, что для t  (t0, t0), где



вектор x(t) удовлетворяет системе ОДУ (2.2). При этом задача, как и выше, состоит в вычислении значений вектора x(t) для любого t > t0.

Здесь мы можем рассмотреть последовательность отрезков q, При этом начальной временнóй точкой будет t0, а

tq = t0 + q, q = 0, 1, 2, ..., N, ..., yq = xq-1().

00 – (N0-1)0. На всех этих этапах мы имеем сходную ситуацию, связанную с идентичностью ОДУ на сегментах 0, 1, ..., r, r= 0, 1, ..., N0–1 (здесь и далее точка обозначает производную по переменной s):

(2.3)

(N0)0 – (N)0. Системы ОДУ для полуотрезков N0, N0+1, ..., r, r = N0, N0+1, ..., N также имеют сходство, но их внутренние структуры, вследствие наличия запаздываний, отличаются:

(2.4)

Очевидно, что проблема алгоритмически решена, т.к. методика без труда может быть реализована в форме программы на входном языке какого-либо пакетов компьютерной алгебры.

3. Примеры. Первый и последний алгоритмы из предыдущего раздела были реализованы в виде нескольких программ на входном языке пакета Mathematica различной степени общности. Ниже приводятся результаты расчетов при моделировании двух из ряда исследовавших систем из разных областей науки, техники и экономики.

Начнем с простейшей модельной системы

(3.1)

и рассмотрим поведение x(t) при различных значениях коэффициентов a и b.




Рис.1. Поведение x(t) при a = –5 и b = 1 (), 2 ( ), 3 ( ), 4 ()


Прежде всего, отметим, что расчеты в рамках данной задачи проводились при * = 0,01. Такой величины * оказалось достаточно для достижения требуемой точности расчетов. Далее, на рис.1 показана вариация поведения решения x(t) уравнения (3.1) при изменении параметра b и фиксированном значении a = –5. Несложно увидеть, что при увеличении b (b > 0, b < |a|) скорость приближения x(t) к предельному состоянию x(t)  0 замедляется, что соответствует поведению решения z(t) = z(t0) exp[c (t t0)] задачи Коши



при уменьшении c, но в отличие от характера изменения z(t) у x(t) наблюдаются постепенно сглаживающиеся нерегулярные колебания (квази-период которых примерно соответствует периоду функции cos2(8 t)), причиной которых, естественно, является наличие переменного запаздывания.

По рис.2 можно оценить изменения, которые происходят в поведении решения x(t) уравнения (3.1) при варьировании параметра b и фиксированном значении a = –4, если значение b будет отрицательным. Расчеты показывают, что здесь ситуация существенно отлична от предыдущего случая, т.к. с ростом |b| траектории решения x(t) становятся все менее регулярными, а тенденция приближения к состоянию x(t)  0 отсутствует.

Теперь рассмотрим обобщенную модель Маккея–Гласса с монотонно убывающей функцией Хилла



Модели подобного вида описывают взаимодействие нервных импульсов с клетками, работу сети генов-регуляторов, изменение уровня углекислого газа и плотности некоторых клеток в крови, роста числа бактерий в хемостате, динамики болезней в острой фазе и др. [16, 17]. Исследовалось поведение вектора состояния {x(t), y(t)}T этой системы на промежутке [0, 6] с разными формами запаздывания. Результаты расчетов, которые проводились при * = 0,01, представлены на рис.3 и 4.




Рис.2. Поведение x(t) при a = –4 и b = –5 (), –10 ( ), –15 ( ), –20 ()






Рис.3. Поведение переменных состояния x(t) и y(t) при (t) = 0,5 +0,5 sin 10t


Несложно видеть, что во втором случае (рис.4) система быстро вышла на некоторый квази-периодический режим, а в первом (рис.3) поведение переменных состояния в рамках временнóго промежутка расчета остается нерегулярным.

4. Заключение. Алгоритмы, описанные в данной работе, могут быть эффективно реализованы на основе любого современного пакета компьютерной алгебры, такого как Maple или Matlab, и использованы для изучения многих типов систем с последействием. Кроме того, различные схемы комбинации классического метода шагов и расширения фазового пространства, подобные изложенным выше, применялись для исследования поведения фазовых векторов, которые являлись решениями стохастических ДУ со специализированными формами запаздывания и интегро-дифференциальных уравнений.




Рис.4. Поведение переменных состояния x(t) и y(t) при (t) = 0,75 +0,25 sin 15t



Библиографический список

  1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 с.

  2. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.

  3. Cryer C.W. Numerical methods for functional differential equations // Delay and functional differential equations and their applications / Ed. by K.Schmitt. – New York, London: Academic Press, 1972. – P.17–101.

  4. Kim A.V., Pimenov V.G. Numerical methods for delay // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 44. – Seoul National University: Research Institute of Mathematics. – Global Analysis Research Center, 1999. – 96 p.

  5. Virk G.S. Runge-Kutta method for delay-differential systems // IEE Proc. – 1985. – Vol.132. – Pt.D, № 3. – P.119–123.

  6. Ali I., Brunner H., Tang T. A special method for pantograph type delay differential equations and its convergence analysis // Journal of Computational Mathematics. – 2009. – Vol.27, № 2–3. – P.254–265.

  7. Шампайн Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебн. пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. – 304 с.

  8. Bellen A., Zennaro M. Numerical methods for delay differential equations. – New York: Oxford University Press, 2003. – XIV, 395 p.

  9. Heck A. Introduction to Maple. – 3rd ed. – New York: Springer-Verlag, 2003. – 844 p.

  10. Wolfram S. The Mathematica book. – 5th ed. – Champaign, Il: Wolfram Media, 2003. – 1488 p.

  11. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 9. – С.58–73.

  12. Полосков И.Е. Использование стандартных средств пакета Mathematica для решения нестандартных задач // Вестник Пермского ун-та. – 2005. – Вып.5. Информационные системы и технологии. – С.87–90.

  13. Полосков И.Е. О компьютерной реализации схем расширения фазового пространства для решения дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Вестник Пермского ун-та. – 2007. – Вып.10 (15). Информационные системы и технологии. – С.64–69.

  14. Полосков И.Е. Численно-аналитические схемы анализа динамических систем с последействием // Вестник Пермского ун-та. Математика. Механика. Информатика. – 2011. – Вып.2 (6). – С.51–58.

  15. Gopalsamy K., Györy I., Ladas G. Oscillations of a class of delay equations with continuous and piecewise constant arguments // Funkcialaj Ekvacioj. – 1989. – Vol.32. – P.395–406.

  16. Smith A. An introduction to delay differential equations with application to the life sciences. – New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2011. – XI, 172 p.

  17. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. – Boston: Academic Press, 1993. – XII, 398 p.


AN APPLICATION OF COMBINATION OF THE STEPS' METHOD AND PHASE SPACE EXPANSION FOR NUMECICAL SOLUTION OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH VARIABLE DELAYS

Pechenova Sofiya Sergeevna, Poloskov Igor Egorovich

Perm State National Research University,

Bukireva st., 15, city Perm, 614990, Russia, e-mail: newmagnolia@mail.ru

In this paper, the technique of application for combination of the classical steps' method and the expansion of phase space is considered. This technique is used for computation of behaviour of the status vectors of nonlinear dynamical systems with general and special (piecewise constant) forms of variable delays. The chain of systems of ordinary differential equations without delays is derived on the base of procedure sequentially developed in papers of the second author. Transient regimes modeling phenomena from different areas of science and engineering are analyzed as examples. Symbolic and numerical calculations were produced with the help of Mathematica™ programs.

© Печёнова С.С., Полосков И.Е., 2012




Похожие:

Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconРазработка и применение численного метода решения линейных эллиптических уравнений в неограниченной области
В трехмерном случае метод требует действий. Приведены результаты тестовых расчетов, подтверждающие эффективность метода
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconЛабораторная работа №1 Интегрирование систем оду сергей Суровцев, группа 07-409
Спроектировать и реализовать объектно-ориентированный шаблон взаимодействия математической модели и численного метода интегрирования...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconПрименимость компактно поддерживаемых нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных
В работе рассматриваются численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (дучп). Предложено использование...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconДисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по направлению 011800 «Радиофизика», преподается во 2 семестре
Содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения» направлено на ознакомление студентов с методами решения простейших дифференциальных...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconИсследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного
Рассмотрены алгоритмы решения некоторых типов неоднородных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconВычислительная математика
Создание алгоритмов численного решения задач алгебры, анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, математической физики
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconТочные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама
Для описания модели Ферми-Паста-Улама получены нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Ищутся...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconGuide to authors
Расширения возможностей численного моделирования обычно добиваются внедрением в практику достаточно простых и вместе с тем эффективных...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconРешение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление...
Применение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения систем дифференциальных уравнений с переменным iconСпециальность: математика
Обоснование численных методов решения дифференциальных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных и дифференциально-операторных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org