2002 г №7 Труды фора



Скачать 86.83 Kb.
Дата27.11.2012
Размер86.83 Kb.
ТипДокументы

2002 г №7

Труды ФОРА

Топологическая классификация особых точек первой степени негрубости системы, определяемой дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью в случае Y0


Д. К. Мамий

Адыгейский государственный университет, г. Майкоп

Рассматривается система дифференциальных уравнений, определяемая дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью . Получена топологическая классификация особых точек первой степени негрубости, не лежащих на прямой
Пусть конечная область и — кривая, удовлетворяющая следующим условиям:

1.  — гладкая кривая класса

2.  —имеет конечную длину,

3.  — делит область на две области и

4. Пересечение кривой с прямой состоит из конечного числа компонент: точек и отрезков. Всюду ниже будем считать ориентацию плоскости заданной. Зададим некоторую ориентацию кривой Пусть касательный вектор к кривой в некоторой ее точке, а — вектор нормали в этой точке, такой что базис задает ориентацию, согласованную с ориентацией плоскости Тогда область, внутрь которой направлен вектор gif" name="object21" align=absmiddle width=23 height=18> обозначим за а вторую область за

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1)

где — функция, определенная в принадлежащая в каждой из областей классу вплоть до линии

Уравнению (1) соответствует система — дифференциальных уравнений в области

(2)

где

Метрическое пространство систем вида (2) с метрикой



будем обозначать

Свойства грубости систем (2) будем рассматривать относительно возмущений в пространстве то есть возмущений, не меняющих первое уравнение системы (2).

В работе [2] построена топологическая классификация грубых особых точек системы (2), не лежащих на прямой

В данной работе исследуются особые точки первой степени негрубости системы (2), не лежащие на прямой

Пусть — особая точка системы (2), лежащая на линии разрыва — окрестность точки и в этой окрестности задается уравнением

В [2] показано, что особая точка может иметь только типы 2 или 3 и линия разрыва в окрестности является в этом случае графиком функции Пусть — малая окрестность точки тогда в этой окрестности система (2) может быть записана в следующем виде:

(3)



где при





Линия разрыва локально является графиком функции



В [2] показано, что система локально диффеоморфна системе следующего вида, с особой точкой

(4)

где

где при



— окрестность точки являющаяся диффеоморфным образом

Точка имеет тип 2 относительно системы тогда и только тогда, когда или а тип 3, если Исследуем сначала точки типа 2.

Теорема 1. Пусть система имеет вид (4) и в точке выполнены условия или Если или то точка имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда

(5)

При этом особая точка имеет следующие топологические типы.

а) Если или то (см.[1]).

б) Если или то

Доказательство. Утверждения а), б) теоремы, относящиеся к топологической классификации следуют из [1]. Условия (5) говорят о том, что одна из функций системы имеет нуль кратности 2 в точке а вторая функция в этой точке в нуль не обращается. Поэтому, в силу следствия 1 теоремы 2 §19[1], особая точка имеет первую степень негрубости в классе Отсюда получаем, что в классе точка либо груба, либо имеет первую степень негрубости. В силу теоремы 1[2] при указанных в теореме 1 условиях особая точка не является грубой. Отсюда следует достаточность условий (5). Бифуркации, испытываемые исследуемыми особыми точками описаны в [1]. Они определяются бифуркациями корней функции при малых возмущениях системы Пусть функция имеет при нуль второго порядка, а Тогда, если система близка системе то функция либо не имеет корней, либо имеет корень кратности 2, либо два корня кратности 1. Поэтому особая точка при малых возмущениях системы может или сохраниться или исчезнуть или распасться на две грубые особые точки типа и При этом при бифуркации особой точки точки типа и соединены линейной особенностью типа (рис. 1), а при бифуркации точки не соединены (рис. 2).

Докажем теперь необходимость условий (5). Если или то в силу теоремы 1[2] особая точка является грубой. Пусть теперь Рассмотрим однопараметрическое семейство систем



Е
сли — мало, то системы и сколь угодно близки. Если то точка имеет тип если же то имеет тип причем в обоих случаях точка имеет первую степень негрубости. Следовательно, степень негрубости особой точки системы больше 1. Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Выражения коэффициентов системы через коэффициенты системы полученные в лемме 1[2], позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия первой степени негрубости для особых точек типа 2 системы (3).

Следствие 1. Пусть система имеет вид (3) и в точке выполнены условия:

или

Если ( или то точка имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда





Необходимое и достаточное условие первой степени негрубости особой точки системы (3) можно сформулировать и через функции

Следствие 2. Пусть система имеет вид (3) и выполняются условия или Точка имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда является корнем кратности 2. для одной из функций и не является корнем другой.

Исследуем теперь особые точки типа 3.

Теорема 2. Пусть система имеет вид (4) и в точке выполнены условия:

Точка имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.

1) 

2) Если то где (6)

Особая точка имеет следующие топологические типы:

а) Если то

б) Если то

в) Если то

Доказательство. Утверждения а) и б) следуют из [1], где проведена топологическая классификация особых точек типа 3. Условие свидетельствует о принадлежности особой точки классу В этом случае также как в §19 [1] для особой точки определяется обобщенная функция последования С помощью формул, полученных в §19 [1] легко показать, что



Отсюда получаем, что если то малая окрестность точки не содержит замкнутых политраекторий и поэтому особая точка имеет тип

Достаточность условий (6) следует из теоремы 4 §19[1] и теоремы 1 [2], в силу которой особые точки типа 3 не являются грубыми в классе Бифуркация особых точек описаны в §19[1]. Условия означают, что функции имеют в точке простой нуль. Тогда если система близка то функции обращаются в нуль либо в одной точке, либо в двух разных точках. Поэтому особая точка при возмущениях системы либо сохраняется, либо распадается на две грубые особые точки типа 2.

Е
сли то особая точка распадается на две особые точки типов и соединенные линейной особенностью (рис.3). Если то особая точка типа распадается на две особые точки типа (рис.4). Если же то особая точка типа распадается на две особые точки типа (рис.5).

Докажем необходимость условий (6). Пусть Тогда также как в теореме 4 §19[1] показывается, что существует сколь угодно близкая к система имеющая в малой окрестности точки замкнутую политраекторию. При этом негрубая особая точка системы Следовательно, система и ее особая точка не могут иметь первую степень негрубости.

Пусть теперь например Рассмотрим однопараметрическое семейство систем вида


Если то особая точка имеет тип если же то особая точка имеет тип или относится к классу Во всех этих случаях степень негрубости особой точки не меньше 1. Поэтому если то особая точка системы имеет степень негрубости больше 1. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

Сформулируем необходимые и достаточные условия первой степени негрубости для особых точек типа 3 системы (3). Сделаем это для случая

Следствие 1. Пусть система имеет вид (4) и в точке выполнены условия

Точка имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия. 1) 

2) Если то где





Следствие 2. Пусть система имеет вид (4) и выполняются условия Точка имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда грубый корень каждой из функций

Мы провели полное исследование особых точек первой степени негрубости системы (2), не лежащих на оси
Литература

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

2. Мамий Д.К. Топологическая классификация грубых особых точек систем определяемой дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью в случае
The topological classification of first degree unstructurally stable singular points of the system, determined by the second-order differential equation with discontinuous right-hand side in case

D.K. Mami

The system of differential equations determined by the second-order differential equation with discontinuous right-hand side is considered. The topological classification of first degree structurally un stable singular points, not lying on the line is given.

© Д.К. Мамий

Похожие:

2002 г №7 Труды фора icon2004 г №9 Труды фора
Стохастическое квазилинейное программирование в задачах оптимизации сельскохозяйственного производства
2002 г №7 Труды фора icon2004 г №9 Труды фора
Об одной системе компьютерного моделирования морфемно-лексического строя адыгейского языка
2002 г №7 Труды фора iconНаучные труды Московского гуманитарного университета
Журнал «Научные труды Московского гуманитарного университета» издается с ноября 2002 г
2002 г №7 Труды фора iconМ. Д. Муретов избранные труды
Учебный Комитет Русской Православной Церкви Московская Духовная Академия Издательство Свято-Владимирского Братства 2002
2002 г №7 Труды фора iconЛитература (первоисточники) для подготовки по всем разделам экзамена
Алексеев П. В. Философы России xix–xx столетий. Биографии, идеи, труды / П. В. Алексеев. – М., 2002
2002 г №7 Труды фора iconИнструкция для подготовки рукописей в " Труды Академэнерго"
Журнал «Труды Академэнерго» включен в список изданий, рекомендованных вак при защите кандидатских и докторских диссертаций по следующим...
2002 г №7 Труды фора iconНаучные труды д. И. Менделеева
Научные труды д. И. Менделеева зав сектором редкой книги Фундаментальной библиотеки спбгти(ТУ) Муравьёва И. Б
2002 г №7 Труды фора iconРоссийская академия образования
Концепция одобрена на заседаниях Федерального координационного совета по общему образованию 24. 04. 2002 и 28. 06. 2002. Доработана...
2002 г №7 Труды фора iconЕстественно-научные труды Гете
Естественнонаучные труды Гете с вводными статьями, пояснительными заметками и комментариями в тексте, изданы Рудольфом Штейнером,...
2002 г №7 Труды фора iconУчебная программа курса (силлабус)
Краткие сведения об алтаистике. Алтаисты, их цели, труды и воззрения. Понятие языка и диалекта, труды по этим темам. Основные принципы...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org