Программа экзамена по геометрии для студентов 1 года магистратуры (геометрия). Зимняя сессия 2011/12 уч года. Топология. Примеры топологий. Хаусдорфова топология. Гомеоморфизмы. Покрытия. Примеры покрытий
Гладкие отображения областей евклидовых пространств. Диффеоморфизм областей евклидовых пространств. Пример диффеоморфизма областей евклидовых пространств.
Гладкая структура на многообразии. Гладкая структура на векторном пространстве и аффинном пространстве.
Гладкая структура на окружности. Различные атласы на окружности.
Гладкие отображения многообразий. Алгебра гладких функций многообразия.
Касательный вектор как класс эквивалентности гладких путей. Координаты касательного вектора в локальной карте. Теорема о преобразовании координат касательного вектора при переходе от одной карты к другой.
Теорема о реперном отображении как биекции. Построение структуры векторного пространства в касательном пространстве.
Касательный вектор как инфинитазимальное дифференцирование.
Натуральный базис касательного пространства. Различные взгляды на натуральный базис. Координаты касательного вектора в натуральном базисе.
Векторное расслоение. Касательное расслоение как пример векторного расслоения.
Гладкие сечения векторных расслоений. Структуры векторного пространства и модуля в множестве гладких сечений векторного расслоения.
Компоненты тензорных полей в локальной карте. Теорема об однозначном задании значения тензорного поля компонентами. Формулы преобразования компонент тензорного поля при переходе из одной карты в другую.
Операции с тензорными полями. Свойства. Теорема об операциях с тензорными полями в компонентах.
Связность на гладком многообразии. Оператор Кошуля. Разложение ковариантной производной векторного поля по натуральному базису.
Обобщенные коэффициенты Кристоффеля как пример геометрического объекта не тензорной природы.
Ковариантная производная векторного поля в направлении касательного вектора. Векторное поле, параллельное вдоль кривой. Критерий параллельности векторного поля вдоль кривой.
Параллельное семейство касательных векторов вдоль кривой. Параллельный перенос касательных векторов вдоль кривой. Оператор параллельного переноса.
Геодезические линии. Уравнения геодезической линии. Теорема о параметре геодезической линии.
Теорема о геометрическом смысле ковариантного дифференцирования векторного поля.
Параллельный перенос ковекторов и тензоров вдоль кривой. Свойства параллельного переноса.
Ковариантная производная тензорного поля. Свойства ковариантного дифференцирования.
Ковариантный дифференциал тензорного поля. Связь между компонентами ковариантного дифференциала тензорного поля и компонентами ковариантной производной этого тензорного поля.
Тензоры кручения и кривизны связности.
Компоненты тензора кручения в локальной карте.
Компоненты тензора кривизны в локальной карте.
Связность без кручения и ее свойства.
Тензор аффинной деформации. Множество связностей гладкого многообразия как пример аффинного пространства.
Псевдо-римановы многообразия. Риманова связность. Теорема о римановой связности.
Выражение символов Кристоффеля римановой связности через компоненты псевдо-римановой структуры.
Литература.
Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях, Прометей, 2003.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия, Наука, 1988.
Джет Неструев Гладкие многообразия и наблюдаемые, МЦНМО, 2000.
Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, Мир, 1964.
Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения, Мир, 1975.
