Программа дисциплины «Дополнительные главы алгебраической геометрии»

Скачать 128.96 Kb.

Дата	27.11.2012
Размер	128.96 Kb.
Тип	Программа дисциплины

Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики

Факультет математики

Рабочая программа дисциплины
«Дополнительные главы алгебраической геометрии»

Направление:	010100.62 «Математика»
Подготовка:	магистр
Форма обучения:	очная

Автор программы: профессор Городенцев А.Л.

Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.


Утверждена УС		Одобрена на заседании
факультета математики		кафедры алгебры
Ученый секретарь доцент		Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор
_________________________Ю.М.Бурман		_______________________А.Н. Рудаков

Москва

2008

Рабочая программа дисциплины «Дополнительные главы алгебраической геометрии» [Текст]/Сост. Городенцев А.Л.; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».

Составитель: к.ф.-м.н. Городенцев А.Л. (gorodencev@hse.ru)

©	Городенцев А.Л., 2008.
©	Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.

Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
Алгебраическая геометрия является одним из наиболее техничных разделов современной математики, вобравшим в себя практически все её новейшие достижения - от топологических методов до классической арифметики и геометрической теории интегрируемых систем. Способность соединить эти направления в единую геометрическую картину обусловила поразительный успех алгебро-геометрических методов в самых разнообразных областях - от математической физики до логики и теории алгоритмов. Целью настоящего курса является изучение основных геометрических конструкций и вычислительных методов современной алгебраической геометрии:

- теории алгебраических многообразий и схем (язык схем и пучков, алгебраическая

концепция многообразия, как пространства, окольцованного пучком регулярных функций,

фундаментальная двойственность функции ↔ точки; использование этого языка в

различных областях математики и физики - арифметика, интегрируемые системы и т.п.);

- теории когерентных пучков и алгебраических векторных расслоений (аффинные и

проективные расслоения, пучки идеалов, раздутия, конормальные пучки и касательные

конусы, линейные системы и морфизмы в проективные пространства и грассманианы,

теория (псевдо) дивизоров);

- теории пересечений (кольца циклов, деформация к нормальному конусу, теорема Безу,

техника вычисления избыточных пересечений).

- вычислительных методов теории пучков (характеристические классы,

расслоения препятствий и циклы вырождения).

- фундаметальные примеры пространств модулей - схемы Гильберта и многообразия Чжоу.

Предполагаемая подготовка слушателей
От слушателей предполагается владение следующими дисциплинами:

- курс алгебры в объёме программы бакалавриата;

- вводный двухсеместровый курс алгебраической геометрии в объёме программы

бакалавриата (проективная геометрия, грассманианы, алгебраические кривые);

- курс топологии в объёме программы бакалавриата.

Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов		Аудиторные часы		Самостоя-тельная работа
№	Название темы	Всего часов		Лекции	Семинарские занятия	Самостоя-тельная работа
1 курс, модули II-III
1	Алгебраические многообразия и схемы.	20		8	8	4
2	Алгебраические расслоения и пучки	16		5	5	6
3	Свойства морфизмов	17		6	5	6
1 курс, модули IV-V
4	Геометрия проективных многообразий	18		8	8	2
5	Алгебраические циклы и теория пересечений	19		9	8	2
6	Кольца Чжоу	18		8	8	2
2 курс, модули I-II
7	Характеристические классы		32	6	6	20
8	Теорема Риана-Роха		32	6	6	20
9	Когомологии пучков и двойственность Серра		32	6	6	22
Итого			216	66	66	84

Формы контроля
Текущий контроль: 20 лисков с задачами (по 4 листка в каждом модуле) по всем ключевым темам. Задачи предназначаются для домашнего решения и последующего обсуждения этих решений с преподавателями на упражнениях. Суммарное количество решённых в каждом модуле задач оценивается по 100-бальной шкале (т.е. в процентах от общего количества всех задач).
Промежуточный контроль: 4 контрольных работы по темам:

Геометрия схем, пучков, расслоений и морфизмов. Раздутия. (1 курс, II модуль).
Геометрия линейных систем и линейных сечений, теорема Безу (1 курс, IV модуль).
Пересечения циклов, кольца Чжоу и исчисление Шуберта (1 курс, V модуль).
Характеристические классы, циклы вырождения и теорема Римана-Роха (2 курс, II модуль)..

Каждая контрольная представляет собой индивидуальное письменное задание и оценивается по 100-бальной шкале шкале (т.е. в процентах от общего количества всех предложенных на контрольной задач).

.
Итоговый контроль: Зачёт (после III модуля первого курса) и 2 экзамена (в конце V модуля первого курса и в конце II модуля второго курса). Зачёт и экзамены представляют собою письменные работы. Результат каждой из этих работ оценивается по 100-бальной шкале (т.е. в процентах от общего количества всех предложенных на экзамене задач).
Формула вычисления окончательной (рубежной) оценки. Окончательная оценка О ставится по 10-бальной шкале и вычисляется на основании оценок Т1, … , T5 текущего контроля в каждом модуле, оценок K1, … , К4 за контрольные работы, оценки З за зачётную работу и оценок Э1, Э2 двух экзаменационных работ по формуле:

О = max( 250 , (T1+ … +T5)/5 + (K1+ … +K4)/4 + (З + Э1+Э2)/3 ) / 25

Таким образом, средняя оценка текущего контроля (максимум 100 баллов), средняя оценка за контрольные работы (максимум 100 баллов), и средняя оценка за зачёт и экзамены суммируются с равными весами и для получения максимальной оценки 10 баллов достаточно, чтобы полученная сумма была не менее 250.
Перевод окончательной десятибалльной оценки в традиционную 4-бальную осуществляется по правилу:

0  О  3 – неудовлетворительно, 4  О  5 – удовлетворительно,

6  О  7– хорошо, 8  О  10 – отлично.

Содержание программы

Тема 1.

Алгебраические многообразия и схемы
1.1. Структурный пучок. Локализация. Примарное разложение аффинной схемы. Длины 0-циклов и кратности.

1.2. Многообразия. Отделимость. Собственность. Размерность.
1.3. Квазикогерентные и когерентные пучки. Когерентные пучки на проективном пространстве и градуированные S-модули.
Тема 2.

Алгебраические расслоения и пучки

2.1. Аффинные и проективные расслоения, ассоциированные с пучком (градуированных) алгебр. Локально тривиальное расслоение над аффинной схемой ассоциировано с проективным модулем.
2.2. Тривиальность линейного расслоения на факториальной аффинной схеме, расщепимость расслоений над аффинной и проективной прямой.
2.3. Конормальное расслоение, пучок дифференциалов и касательный конус. Раздутие схемы вдоль подсхемы

Тема 3.

Свойства морфизмов
3.1. Гладкие морфизмы. Локальная неприводимость и факториальность гладких многообразий и гладких морфизмов.
3.2. Неразветвлённые и этальные морфизмы. Степень конечного морфизма и принцип постоянства..
3.3. Отделимые и собственные морфизмы. Полнота проективных многообразий.
3.4. Конечномерность пространства сечений когерентного пучка на полном многообразии. Связность слоёв собственного морфизма. Разложение Штейна..

Тема 4.

Геометрия проективных многообразий
4.1. Общие линейные и гиперплоские сечения проективного многообразия, теорема Бертини, теорема о связности.

4.2. Обратимые пучки, (псевдо)дивизоры Картье, дивизоры Вейля и линейные системы. Рациональные проективные морфизмы, свободность, обильность, линейная и проективная нормальность. Рациональные морфизмы в грассманиан.
4.3 Степень проективного многообразия, теорема Безу. Многочлен Гильберта и арифментический род. Схема Гильберта.
Тема 5.

Алгебраические циклы и теория пересечений

5.1. Алгебраические циклы, рациональная эквивалентность, прямой образ цикла, пересечение цикла с (псевдо)дивизором, теорема о вырезании. Классы Сегре векторного расслоения. Принцип расщепления.
5.2. Пересечение алгебраических циклов, деформация к нормальному конусу и гомоморфизм Гизина. Кольцо Чжоу. Вычисление избыточных и остаточных пересечений..
5.3. Рабочий пример: теория пересечений на алгебраической поверхности. Линейчатые поверхности и поверхности Дель Пеццо.
Тема 6.

Кольца Чжоу
6.1. Кольца Чжоу грассманианов. Исчисление Шуберта.
6.2. Многообразия Чжоу и их применения к решению классических задач исчислительной геометрии.

Тема 7.

Характеристические классы

Классы Чженя векторных расслоений и техника их вычисления.

Циклы вырождений морфизмов расслоений, детерминантали и расслоения препятствий

Тема 8.

Tеорема Риана-Роха

8.1. Прямые и обратные образы пучков.

Теорема Римана – Роха – Хирцебруха - Гротендика для гладких алгебраических многообразий

8.3. Cпециализации теоремы Римана-Роха на кривые и поверхности и их применения к исчислительной геометрии.

Тема 9.

Когомологии пучков и двойственность Серра

Когомологии когерентных пучков, 6 операций.

Вычисление когомологий обратимых пучков на проективном пространстве.

9.3. Дуализирующий пучок на схеме Коэна – Маколея. Теорема двойственности Серра.
9.4. Теорема Ходжа об индексе.

Основная литература

	Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия.–Пер. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 2000.
	Данилов В.И. Алгебраические многообразия и схемы. В кн. «Алгебраическая геометрия – 1». Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления. М.: ВИНИТИ, 1985
	Фултон У. – Теория пересечений.–М.:Мир, 1994.
	Данилов В.И. Когомологии алгебраических многообразий.– В кн. «Алгебраическая геометрия – 2». Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления. М.: ВИНИТИ, 1989
	Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии.– М.: МЦНМО, 2007.
	Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс.– М.: МЦНМО, 2006.
	Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах.– М.: МЦНМО, 2007.
	Клеменс Х., Коллар Дж., Мори С.. (H.Clemens, J.Collar, S.Mori) Многомерная комплексная геометрия.– М.: Мир, 1993

Дополнительная литература

	Гротендик А., Дьёдонне Ж. (Grothendieck, Dieudonne) Элементы алгебраической геометрии (ЕГА, введение). УМН 164, 1972
	Исковских В.А., Шафаревич И.Р. Алгебраические поверхности.– В кн. «Алгебраическая геометрия – 2». Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления. М.: ВИНИТИ, 1989.
	Манин Ю.И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика.–М.: Наука, 1972
	Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968
	Серр Ж.-П. Алгебраические группы и поля классов
	Манин Ю. Лекции по алгебраической геометрии 2. К-функтор в алгебраической геометрии.–М.: МГУ, 1971
	Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии.–М.: МЦНМО, 2006.
	Fulton W., Lang S. Riemann-Roch algebra. Springer, 1985
	Eisenbud D., J.Harris. The Geometry of Schemes. GTM 197, Springer, 2000
	Алгебраические поверхности. Труды мат. Инст. Им. Стеклова, Наука, 1965
	Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. В двух томах.–Пер. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 2000.

.
Автор программы: _____________________________ А.Л. Городенцев

Программа дисциплины «Дополнительные главы алгебраической геометрии»

Факультет математики

Название темы

Похожие: