Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики
Программа дисциплины
«Введение в симплектическую геометрию»
Направление:
010100.68 «Математика»
Подготовка:
магистр
Форма обучения:
очная
Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман
Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС
Одобрена на заседании
факультета математики
кафедры геометрии и топологии
Ученый секретарь доцент
Зав. кафедрой, академик
_________________________Ю.М.Бурман
_______________________В.А.Васильев
«___» ________________________2008 г.
«___» ______________________2008 г.
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с. Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика». Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего часов
Аудиторные часы
Самостоя-тельная
работа
Лекции
Семинарские занятия
1
Основные примеры симплектических и контактных многообразий
16
2
2
12
2
Локальная симплектическая и контактная геометрия.
16
2
2
12
3
.Пуассоновы структуры
24
4
4
16
4
Сиплектические и гамильтоновы действия
20
2
2
16
5
Лагранжевы и лежандровы особенности.
16
2
2
12
6
Почти комплексные структуры. Симплектические емкости и теорема о несжимаемости шара.
16
2
2
12
Итого
108
14
14
80
Базовые учебники
Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.
Итоговый контроль: зачет в виде письменной работы, 3 часа.
Итоговая оценка
Итоговая оценка вычисляется по формуле: ½ оценки за зачетную работу + ¼ оценки за контрольную работу + ¼ совокупной оценки за семинарские занятия. Оценка ниже 4 баллов считается неудовлетворительной.
Содержание программы Тема 1. Основные примеры симплектических и контактных многообразий Кокасательное расслоение, комплексные алгебраические многообразия, расслоение струй, скобка Кириллова. Лагранжевы подмногообразия и производящие семейства.
Основная литература
Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
Дополнительная литература
В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
Тема 2. Локальная симплектическая и контактная геометрия. Взаимосвязь симплектической, контактной и гамильтоновой структур. Нормальные формы: теоремы Дарбу и Дарбу–Вайнстейна.
Основная литература
Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
Дополнительная литература
Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
Тема 3. Пуассоновы структуры Понятие пуассоновой скобки. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления. Интегрируемость распределения ядер пуассоновой скобки. Симплектические листы.
1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996. Тема 4. Сиплектические и гамильтоновы действия. Понятие симплектического действия. Симплекстический коцикл и гамильтоново действие. Отображение моментов для действия тора. Законы сохранения в механике (теорема Нетер). Отображение моментов для действия произвольной группы Ли. Гамильтонова редукция. Основная литература
Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
Дополнительная литература
1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000. Тема 5. Лагранжевы и лежандровы особенности. Общее понятие о классификации особенностей: изолированные особенности, простые особенности, модули. Примеры типичных лагранжевых и лежандровых особенностей. Классификация лагранжевых особенностей в малых размерностях. Гипотеза об инверсии эллипса. Основная литература
В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
Тема 6. Почти комплексные структуры. Простейшие симплектические инварианты: симплектические емкости. Почти комплексные cтруктуры, совместимые с данной симплектической. Псевдоголоморфные кривые, инварианты Громова-Виттена. Вычисление инвариантов Громова-Виттена в простейших случаях. Теорема Громова о несжимаемости шара.
Основная литература
Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
Дополнительная литература
В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
Тематика заданий по различным формам контроля
Вариант контрольной работы
Какова размерность пространства левоинвариантных 2-форм на SU(3)? Есть ли среди этих форм симплектические?
Продолжается ли стандартная контактная структура R3 (заданная 1-формой dz + xdy) до контактной структуры на трехмерной сфере?
Множество лагранжевых подпространств в R4 со стандартной симплектической структурой – подмногообразие G_+(2,4) = S2 x S2. Какой класс гомологий оно там представляет?
Механическая система выдерживает сдвиги вдоль спиральной линии x = cos z, y = sin z. Найдите соответствующий первый интеграл движения.
На пространстве CP2 действует окружность по правилу t, [z1:z2:z3] -> [tz1: t2z2: t3z3]. Докажите, что действие является гамильтоновым, и опишите результат гамильтоновой редукции.
Как распадается на складки и сборки особенность z = 0 при шевелении отображения z -> z2?
Докажите, что на четырехмерной сфере не существует почти комплексных структур.
Программа курса «Введение в геометрию» Практические задания, связанные с измерением площадей и объемов, формируют у учащихся представление о прикладных возможностях математики....
Программа дисциплины «Введение в языкознание» Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 032700....
Программа дисциплины Введение в языкознание Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 032100....