Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию»

Факультет математики

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   
2. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   
3. 
   Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.
   

Формы контроля

Итоговая оценка

Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   
2. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   

Дополнительная литература

1. 
   В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
   

Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   

Дополнительная литература

1. 
   Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
   

1. 
   Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.
   

Дополнительная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   

Дополнительная литература

1. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   
2. 
   Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.
   

Дополнительная литература

1. 
   В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
   
2. 
   Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
   

Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   
2. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   

Дополнительная литература

1. 
   В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
   

Вариант контрольной работы

1. 
   Какова размерность пространства левоинвариантных 2-форм на SU(3)? Есть ли среди этих форм симплектические?
   
2. 
   Продолжается ли стандартная контактная структура R³ (заданная 1-формой dz + xdy) до контактной структуры на трехмерной сфере?
   
3. 
   Пуассонова скобка в R⁴ задана равенствами {x¹, x²} = -((x³)²+(x⁴)²), {x¹, x³} = x²x³, {x¹, x⁴} = x²x⁴, {x², x³} = -x¹x³, {x³, x⁴} = 0, {x², x⁴} = x¹x⁴. Найдите ее симплектические листы.
   

Вариант зачетной работы

1. 
   Множество лагранжевых подпространств в R⁴ со стандартной симплектической структурой – подмногообразие G_+(2,4) = S² x S². Какой класс гомологий оно там представляет?
   
2. 
   Механическая система выдерживает сдвиги вдоль спиральной линии x = cos z, y = sin z. Найдите соответствующий первый интеграл движения.
   
3. 
   На пространстве CP² действует окружность по правилу t, [z₁:z₂:z₃] -> [tz₁: t²z₂: t³z₃]. Докажите, что действие является гамильтоновым, и опишите результат гамильтоновой редукции.
   
4. 
   Как распадается на складки и сборки особенность z = 0 при шевелении отображения z -> z²?
   
5. 
   Докажите, что на четырехмерной сфере не существует почти комплексных структур.