Определение и примеры метрических пространств



Скачать 493.27 Kb.
страница1/4
Дата27.11.2012
Размер493.27 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4


§1. Определение и примеры метрических пространств

Будем обозначать расстояние между двумя точками М1 и М2 символом . Напомним, что расстояние между двумя точками М11,y1) и М2(х2,y2) плоскости вычисляется по формуле формуле



и обладает свойствами:

1) (M1,M2) 0; причём (M1,M2) = 0 M1 = M2;

2) (M1,M2) = (M2,M1);

3)(M1,M2) (M1,M3) + (M2,M3) (неравенство треугольника).

Обобщим понятие расстояния на любое множество с помощью понятия метрики. Для этого нам понадобится понятие декартового произведения двух множеств: . В частности

X Х = = X2.

Пусть Х – некоторое непустое множество любой природы. Рассмотрим декартовое произведение.

Определение 1. Метрикой на множестве Х называется действительная функция двух переменных , заданная на Х Х и x, y, zX, довлетворяющая следующим условиям (аксиомам метрики):

1) (x,y)0; (x,y)=0 x = y;

2) (x,y) = (y,x);

3) (x,y) (x,z) + (y,z) (неравенство треугольника).

Значение функции в точке (x,y), т.е.
число (x,y) называется расстоянием между точками x и y.

Определение 2. Множество Х с заданной на нём метрикой , т.е. пара (Х, ), называется метрическим пространством (м.пр.).

Элементы множества Х называются элементами или точками м.пр. (Х, ).

Пусть дано м.пр. (Х, ), и множество МХ, рассмотрим функцию м(x,y) такую, что x, y М значение м(x,y) = (x,y). Очевидно, что пара (М, м ) также является метрическим пространством. Пространство (М, м) называется подпространством метрического пространства ( Х, ).

Замечание. Введенное понятие расстояния между точками метрического пространства позволяет рассмотреть важные вопросы определьном переходе, непрерывности и дифферницируемости отображений и др.

Примеры метрических пространств

Пример 1. Пусть R – множество действительных чисел. Для любых чисел x,yR определим функцию

(x,y) = х у. (1)

Очевидно, что (1) удовлетворяет аксиомам 1 и 2 метрики. Покажем, что функция удовлетворяет аксиоме 3 x,y,zR :

(x,y) = х у= х z + z у х z+ z у= (x,z) + (z,y).

Пара (R, ), где определяется равенством (1) – метрическое пространство, которое обозначают R или R1.

Пример 2. Множество М=[a,b] с метрикой (x,y) = х уx,y[a,b] обозначают Х = ([a,b], ). Х – подпространство метрического пространства R , т.к. [a,b] R .

Пример 3. Множество рациональных чисел Q с метрикой, задаваемой формулай (1) для всех x, y Q, является метрическим пространством. Пространство Х = (Q,) – подпространство метрического пространства R и обозначается Q.

Пример 4. Обозначим через Rm множество упорядоченных m –к действительных чисел . Элементы множества Rm называются векторами (точками) и обозначаются одной буквой х = (х12,…, хm), y =(y1,y2 ,…, ym).числа х1, х2 ,…, хm – координаты вектора х. Элементы х и у равны между собой х = у, тогда и только тогда, когда х1 = у1, х2 = у2, …, хm = уm.

На множестве Rm введем функцию (x,y)

x,y Rm. (2)

Покажем, что пространство (Rm ,) = Rm, где определяется равенством (2), является метрическим пространством.

Легко убедится, что функция удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Для того, чтобы показать, что функция удовлетворяет аксиоме 3, докажем 2 леммы.

Лемма 1. Для любых действительных чисел ak , bk, k=1,2,…,m, верно неравенство Коши-Буняковского:

(3)

Рассмотрим функцию



Так как квадратный трехчлен относительно tнеотрицательный, то его дискрименант — неположительный, т.е.



Лемма 2. Для любых действительных чисел ak ,bk , где k = 1,2,…,m верно неравенство Миньковского:

. (4)





Покажем, что для функции (2) выполняется аксиома 3. Возьмем любые три точки х = (х1, х2, …, хm), y = (y1, y2 , …, ym), z = (z1, z2, …, zm). Обозначим

, . (5)

Подставив в неравенство (4) обозначения из (5), получим



 (x,y) (x,z) + (z,y). 

Пример 5. Рассмотрим множество Rm , но теперь зададим с помощью формулы

, (6)

где х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym) – любые точки (векторы) пространства Rm. Докажем, что функция (6) удовлетворяет аксиомам метрики.

Функция удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Покажем, что функция удовлетворяет удовлетворяет аксиоме 3 для любых трех точек

х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym), z = (z1,z2,…, zm) пространства Rm.



 (x,y) (x,z) + (z,y). 

Замечание. На одном и том же множестве можна разными способами задавать метрики. В результате будем получать разные метрические пространства.

Пример 6. Рассмотрим множество С[a,b] всех действительных функций непрерывных на [a,b]. Для любых двух функций x(t) и y(t) из этого множества будем считать

(7)

Равенство (7) – чебышёвское расстояние между функциями x(t) и у(t). Покажем, что функция (x,y) – метрика на множестве С[a,b].

Функция удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Покажем, что удовлетворяет аксиоме 3.

Пусть x, y, z С[a,b], где t [a,b]. Оценим модуль разности

x(t) y(t)= x(t) z(t) + z (t) y(t) x(t) z(t)+z(t) y(t)

(x,y) (x,z) + (z,y).

Пример 7. Рассмотрим l2 – множество последовательностей действительных чисел (х l2 , где х: х1, х2, ..., хn…), для которых сходится ряд . Для любых двух последовательностей х = х1, х2, ... и у = у1, у2 ... из множества l2 обозначим

. (9)

Так как ряд сходится, то формула (9) задает функцию для любых х, уl2. Сходимость ряда легко доказать с помощью признака сравнения, если учесть, что ряды и сходятся, и верно неравенство .

Функция , заданная формулой (9), удовлетворяет аксиомам 1 и 2 (очевидно). Докажем, что она удовлетворяет и аксиоме 3.

Для любых трёх последовательностей x, y, z множества l2 верно неравенство

 (x,y) (x,z) + (z,y). 

Пример 8. Рассмотрим множество Х произвольной природы. Зададим на нем метрику Пара (Х;ρ) – метрическое пространство.

Вывод: любое множество можно метризовать, т.е. определить расстояние между его элементами.

§2. Линейные пространства

Понятие линейного пространства играет важную роль в современной математике. Оно является естетсвенным обобщением трехмерного евклидового пространства. В линейном пространстве определены две алгебраические операции: сложение элементов пространства и умножение их на сколяр (число), удовлетворяющие определённым условиям.

Определение 1. Пусть К – поле действительных или комплексных чесел. Непустое множество А называется линейным (векторным) пространством над полем К, если для любых двух его элементов х и у определена их сума х+уА и для любого числа  определено произведение х А так, что эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1) x + y = y + x, x,y А;

2) (x + y) + z = x + (y + z), x,y,z А;

3) А такой, что x + = x, x А;

4)  x А x А такой, что x + ( x) = ;

5) 1 x = x x А;

6) (x + y) = x + y, x А,  К.

7) ( ) х = х х, x А и  К.

8) () x = (x), x А и  К.

Элементы этого пространства называют векторами. Элемент нулевым элементом, (х)элементом противоположным элементу х, элемент x y = x + ( y) – разностью элементов x и y.

Линейное пространство над полем R называется действительным линейным пространством, а линейное пространство над полем С комплексных чисел – комплексным линейным пространством.

Свойства линейных пространств подробно изучаются в курсе линейной алгебры. Рассмотрим только некоторые примеры линейных пространств, которые используются в курсе математического анализа.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Множество действительных чесел R с определёнными на нём операциями сложения и умножения – линейное пространство. Будем обозначать его R или R1 .

Пример 2. Рассмотрим множество Rn разнообразных упорядоченных n –ок действительных чесел. Определим на Rn операции сложения и умножения на число:

x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,…, xm + ym ); x = (x1 , x2 ,…,xm),

где x = (x1 , x2,…, xm), (y1, y2,…, ym), x и yRn, R.

Эти операции удовлетворяют аксиомам (1-8) определения 1, где = (0, 0, ..., 0)-нулевой элемент, а элемент противоположный элементу х это элемент x = (x1 , x2,…, xm). Таким образом, пространство Rnлинейное пространство над полем R.

Пример 3. Множество C[a,b] действительных функций, определенных и непрерывных на отрезке [a,b] – линейное пространство над полем R. Определим операции сложения функций:

и умножения их на действительное число:

Пример 4. Множество l2 числовых последовательностей (xn), для которых сходится числовой ряд - линейное пространство над полем R с операциями сложения последовательностей: и умножения их на действительное число: (xn) = (xn).

Во всех примерах операции над элементами множеств сводятся к операциям над числами, поэтому верность аксиом 1-8 очевидна.

§3. Нормированные пространства

В линейном пространстве метрика чаще всего вводится через норму. Понятие “норма” является обобщением понятия “длина вектора”.

Определение 1. Говорят, что на действительном (комплексном) линейном пространстве А задана норма если каждому вектору х А поставлено в соответствие действительное число, которое будем обозначать , такое, что выполняются следующие аксиомы нормы:

1) 0 х, при этом = 0 тогда и только тогда, когда х = (аксиома невырожденности нормы);

2) = R(C), xA (аксиома однородности нормы);

3) (аксиома неравенства треугольника).

Определение 2. Линейное пространство А над полем R(C) называется нормированным пространством, если на нём задана норма.
  1   2   3   4

Похожие:

Определение и примеры метрических пространств iconЛекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия 
Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность....
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ»
Метрика на множестве, метрическое пространство. Примеры метрических пространств: с () ( ограниченная область в; К=r V c; пространство...
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по курсу «алгебра и теория чисел»
Определение и примеры линейных пространств. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная независимость векторов
Определение и примеры метрических пространств iconДополнительные главы теории случайных процессов
Следствие теоремы Колмогорова-Прохорова для сепарабельных метрических пространств
Определение и примеры метрических пространств iconОбобщение аксиом скалярного произведения
Рассмотрены частные случаи метрических полиформ для трёх- и четырёхмерных пространств. Проведён краткий сравнительный анализ квадрагиперболического...
Определение и примеры метрических пространств iconУдк 519. 85 Треугольные нормы и конормы
Лукасевича и минимум. Понятие t-норм и t-конорм пришли в теорию нечетких множеств из теорий функциональных уравнений и вероятностных...
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение первообразной. Определение неопределенного интеграла. Привести примеры
Замена переменной в неопределенном интеграле. Вычисление интегралов от функций вида
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение ширины различных морских пространств и его влияние на процесс разграничения

Определение и примеры метрических пространств iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org