Определение и примеры метрических пространств



Скачать 493.27 Kb.
страница2/4
Дата27.11.2012
Размер493.27 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4
Таким образом, задание нормы на линейном пространстве превращает его в нормированное пространство.

Для любого нормированного пространства А формула

(1)

определяет метрику. Действительно

Метрика о, заданная формулой (1), обладает следующими дополнительными свойствами:

о(x,y) = о(x + z, y + z); (2)

о(x, y) =о(x,y). (3)

Возникает вопрос: можно ли ввести норму линейного метрического пространства через метрику? Это возможно не всегда.

Теорема. Если в линейном метрическом пространстве А метрика обладает свойствами (2-3), то функция х, является нормой на линейном пространстве А и эта норма порождает данную метрику

Проверим аксиомы нормы:




Примеры нормированных пространств

Пример 1 .Rn – нормированное пространство с нормой векторов

Это нормированное пространство называется n-мерным евклидовым пространством.

Пример 2. Нормированное пространство с нормой

Пример 3. l2 – нормированное пространство с нормой векторов

x = (xn) = (x1, x2, …)

Пример 4. C [a,b] – нормированное пространство с нормой функций x(t)

Пример 5. C1 [a,b] – нормированное пространство с нормой

Метрики в этих пространствах, порождаемые определеными выше нормами с помощью формулы (1), обладают свойствами (2–3).

§ 4. Предгильбертовое пространство

В курсах аналитической геометрии и линейной алгебры введено понятие сколярного произведения векторов, которое позволяет развить многие практические вопросы конечномерной геометрии. Понятие сколярного произведения можно ввести в любом линейном пространстве. Рассмотрим линейные пространства над полем R.

Определение 1.
Говорят, что на действительном линейном пространстве А задано сколярное произведение, если каждой паре векторов х,у А поставлено в соответствие действительное число, которое будем обозначать х,у, такое, что выполняются следующие аксиомы:

  1. х,у 0, причём х,у= 0 только при условии, что один из векторов ;

2) х,у = у, х ;

3)  х, у = х,у, R;

  1. х + z, у = х,у + z, у .

Линейное пространство А с заданным на нём сколярным произведением называется предгильбертовым пространством.

Пример 1. Линейное пространство Rn со сколярным произведением

Пример 2. Линейное пространство l2 со сколярным произведением

где ряд сходится абсолютно, на основании неравенства
Пример 3.Линейное пространство C[a,b] со сколярным произведением

Проверку аксиом скалярного произведения см. практ. занятия.

Лемма 1. В любом предгильбертовом пространстве А выполняется неравенство

(1)

неравенство Коши-Буняковского.

Если у = , то верность неравенства (1) очевидна. Пусть у . Из систэмы аксиом сколярного произведения получаем неравенство
которое верно для любого числа . Подставим в него =х,уу, у получаем неравенство Коши-Буняковского. 

Лемма 2. В любом предгильбертовом пространстве А верна формула

(2)

определяющая норму.

Доказательство леммы сводится к проверке аксиом нормы (самостоятельно).

Следствие. Неравенство Коши-Буняковского можно записать так
Таким образом, предгильбертовое пространство является нормированным пространством. Поэтому для него верны все определения и теоремы нормированного пространства.

§5. Классификация точек и множеств в метрических пространствах

Пусть (Х, ) – метрыческое пространство.

Определение 1. с центром в точке хо и радиусом называется множество всех точек хХ, удовлетворяющих условию (xо)< . Это множество называется также -окрестностью точки хо и обозначается U(xo, ) или U(xo).

Пример 1. Открытый шар в разных пространствах:

в пространстве R1: (xo ; xo+ ) – интэрвал;

в пространстве R2: открытый круг;

в пространстве R3: открытый шар.

Определение 2 с центром в точке хо и радиусом называется множество всех точек хХ, удовлетворяющих условию (xо) .

Будем говорить шар, подразумевая определение 2. Под сферой будем понимать множества точек хХ, удовлетворяющих условию (xо) = .

Пример 2. Шар в разных пространствах:

в пространстве R1: [xo ; xo+ ] – отрезок;

в пространстве R2: замкнутый круг или просто круг;

в пространстве R3: замкнутый шар или просто шар.

Определение 3. Множества ЕХ называется ограниченным в метрическом пространстве (Х, ), если существует шар канечного радиуса, включающий это множество.

Замечание 1. Одно и тоже множество может быть ограниченным в одном метрическом пространстве и неограниченным в другом.

Пример 3. Интервал (3;5) R – множество ограниченное в пространстве R; интервал (3;5) – неограниченное множество в пространстве Х =(3;5), (x,y) = ху, которое является подпространством R.

Определение 4. Пусть ЕХ. Точка х0 называется

множества Е, если в любой окрестности этой точки находятся точки, как принадлежащие множеству Е так и не принадлежащие ему.

Множество граеичных точек называется границей множества Е и обозначается Е.

Пример 4. Множество Е1 = ( 0;1] R Е1 = { 0;1};

множество Е2 = ( 0;1] Х = ( 0;1], (x,y) = х у) не имеет границы.

Замечание 2. Граничные точки множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Определение 5. Точка х0 называется множества Е, если существует окрестность точки х0, которая полностью лежит в множестве Е. Множество всех внутренних точек называется внутренностью множества Е и обозначается .

Пример 5. В метрическом пространстве R рассмотрим множества

Е1 = (2;3), Е2 = (2;3], Е3 = [2;3]. Для них = == (2;3).

Пример 6. В метрическом пространстве Х (Х= ( 2,3] {4,5}, (x,y)=ху) – подпространстве м.пр. R, == Е2 =(2;3].

Определение 6. Если каждая точка множества Е – внутренняя, то Е называется , т.е. для открытого множества: = Е.

В примере 5 множество Е1 является открытым, а множества Е2 и Е3 не является открытыми.

В примере 6 множество Е2 является открытым, а Е3 не является открытыми.

Пример 7. Любой интервал (a,b) является открытым множеством в метрическом пространстве R.

Определение 7. Точка хо называется множества Е, если в любой её окрестности находится бесконечно много точек из множества Е.

Другими словами точка хо называется предельной точкой множества Е, если в любой её окрестности находится хотя бы однаточка множества Е, отличная от хо.

Множество всех предельных точек множества Е называется производным множеством множества Е и обозначается Е.

Замечание 3. Предельные точки могут как принадлежать множеству Е, так и не принадлежать ему.

Определение 8. Если множество ЕХ содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

Пример 8. В пространстве R : Е1 = (a,b), Е1 = [a,b];

E2 = [a,b], Е2 = Е2;

Е3 = ( 2,4){6}; Е3 = [2,4].

Пример 9. Пустое множества – замкнутое множество.

Определение 9. Точка хоЕ называется точкой множества ЕХ, если существует - окрестность этой точки, в которой нет других точек из множества Е, кроме точки хо .

Замечание 4. Каждая точка множества Е является предельной или изолированной.

Пример 10. В метрическом пространстве R каждая точка множества Е={0,1,1/2, 1/3, …}, кроме точки 0, является изолированной; точка 0 – предельная точка множества Е.

Определение 10. Точка хо называется множества ЕХ, если любая её - окрестность содержит хотя бы одну точку множества Е.

Из определений 7, 9 и 10 вытекает, что любая точка преткновения множества Е может быть

либо предельной точкой множества Е, принадлежащей множеству Е;

либо предельной точкой множества Е, не принадлежащей множеству Е;

либо изолированной точкой множества Е.

Определение 11. Множество всех точек преткновения множества Е называется множества Е и обозначается .

Замечание 5. = Е Е.

Замечание 6. Множество замкнутое, если оно совпадает со своим замыканием.

Определение 12. Дополнением множества ЕХ до множества Х называется множество всех точек из множества Х, которые не принадлежат множеству Е. Обозначают это множество СхЕ или СЕ.
§6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах

Теорема 1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть Gk – открытые множества.

Докажем, что– открытое множество.

Возьмем любую точку хо G. По определению объединения множеств точка хо будет принадлежать хотя бы одному из множеств Gk . Т.к. Gk – открытые множества, то существует - окрестность точки хо, которая полностью принадлежит множеству Gk :
Получили, что любая точка хо G – внутренняя, а это означает, что G – открытое множество. 

Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое.

Пусть Gk ( k = 1,2, …,n) – открытые множества.

Докажем, что – открытое множество.

Возьмем любую точку хо G. По определению пересечения множеств хо принадлежать каждому из множеств Gk. Т.к. множества Gk открытые, то в любом множестве Gk существует k- окрестность точки хо: U( xo, k) Gk. Множество чисел {1, 2,…, n } конечное, поэтому  = min {1,2,…,n}. Тогда - окрестность точки хо принадлежит каждой k- окрестности точки хо:
Получили, что хо – внутренняя точка множества G, а это значит, что G – открытое множество. 

Замечание 1. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством.

Пример 1. Пусть в пространстве R где k=1,2,…,n,….


Теорема 3. Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть Fk – замкнутые множества.

Докажем, что множества замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.




Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть множества Fk – замкнутые.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если хо – предельная точка множества F, то хо F.




Замечание 2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 2. В пространстве R: Fk =[2-1/k;5-1/k]

Теорема 5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение до множества Х: СхЕ=СЕ – открытое множество.





Пример .3. Е= [2,5], CR E =

Теорема 6. Если множество Е открытое, то его дополнение до множества Х: СхЕ=СЕ – замкнутое множества.






Пример 4. Е= (2,5), CR E =

§7. Последовательности точек метрического пространства

Определение 1. Последовательностью точек метрического пространства (Х, ) называется отображение f множества натуральных чисел N в множество Х: f: N X.

Значение этого отображения в точке n N называется n-м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается xn = f(n). Последовательность будем обозначать (xn) или (х12,…, хn).

Пример 1. В пространстве R2 : хn = (1n, n+1/n));
Пример 2. В пространстве С[a,b]: (хn = (1/nx + n2x )) где a,b не содержит 0.
Определение 2. Пусть (xn) – последовательность точек метрического пространства (Х, ), (k1,k2,…, kn,…) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (xkn) называется подпоследовательностю последовательности (xn).

Пример 3. Последовательность (1/n2) – подпоследовательность последовательности (1/n).

Определение 3. Пусть (xn) – последовательность точек метрического пространства (Х, ), Последовательность (xn) называется ограниченной, если существует замкнутый шар с центром а и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е. .

Замечание 1. Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах.

Определение 4. Пусть (xn) – последовательность точек метрического пространства (Х, ). Точка а Х называется пределом последовательности (xn) если:

  ( Nn (, n N xn,a 

или, что тоже самое, числовая последовательность (xn,a)) — бесконечно малая (стремится к 0), при n ,т.е.

и абазначаецца

по метрике или , при n.

Если последовательность (xn) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если (xn) – последовательность точек метрического пространства (Х, ) сходится к точке аХ, то а – предельная точка последовательности (xn).

Обратное не всегда имеет место.

Замечание 2. Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться

Пример 4. Последовательность (1/n) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве (Х,), где (x,y)=ху, т.к. 0.

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы.

Теорема 1. Если (xn) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х, ), то её предел единственный.

Пусть

 xn,a0 и xn,b 0.

По аксиомам метрики 0 a,b xn,a + xn,b. Переходим к пределу, при n, Получим a,b = 0 a=b.

Теорема 2. Если (xn) – последовательность точек метрического пространства (Х, )сходящаяся, то она ограниченная.

Пусть .




Теорема 3. Если (xn) – последовательность точек метрического пространства (Х, ) сходится к точке а Х, то любая её подпоследовательность сходится к а.

Пусть – любая подпоследовательность последовательности (xn). По условию . Это означает, что:  n xn .

Т.к. kn n, то для всех n>N верно kn >N и поэтому .

Таким образом мы доказали, что  n , это означает, что .

§8. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых

метрических пространствах

Теорема 1 (о покоординатной сходимости последовательности в м. пр. Rm). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства Rm

(хn =(х1(n)2(n),…, хm(n)) сходилась к точке а =(а12,…, аm) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х1(n)), (х2(n)),…,(хm(n)) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а12,…, аm , т.е.

,,..., (1)

Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность (хn) сходится к точке а покоординатно.

1. Пусть в м.пр. Rm. (2)

Докажем, что выполняются равенства (1).

В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. Rm будем иметь:

 n xn,

где - метрика метрического пространства Rm :

x,y Rm .




2. Пусть выполняются равенства (1).

Докажем, что (2) в метрическом пространстве Rm.

Пусть - любое положительное число рассмотрим число . Тогда



Пример 1. Найти предел a = (a1,a2) последовательности

в пространстве R2.


Таким образом, =(1/4;3).

Теорема 2 (Больцана-Вейерштрасса в м.пр. Rm). Из всякой ограниченной последовательности пространства Rm можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Чвстный случай этой теоремы для пространства R1 был доказан на первом курсе.

Теорема 3. Для того, чтобы последовательность (xn) точек м.пр. С[a,b] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (xn) равномерно сходилась к х на [a,b].

Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.

Известно, что фукциональная последовательность (xn) равномерно сходится да предельной фукции х тогда и только тогда, когда



С учётом определения метрики в м.пр. С[a,b] получаем равенство

(см. опр. 4 §7) по метрике в м.пр. С[a,b].

Пример 2. xn(t) = tn t;nN. известно, что на ;/2 фукциональная последовательность xn(t) = tn равномерно сходится да предельной фукции x (t) = 0. Таким образом t; последовательность (xn) сходится к функции х = 0 в м.пр. С[0;1/2].

Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X, ), то существует последовательность (xn), члены которой принадлежат Е и не равны а, причём (xn), сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R.

Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,

о(x,y) =

то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.

Замечание 2. Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой , то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.

§9. Полные метрические пространства

Определение 1. Последовательность (xn) метрического пространства (Х, ) называется фундаментальной, если
Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространстве R любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х, ) сходится в этом пространстве.

Пример 1. В м.пр. Х = (Q; =х у) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е X I).

Определение 2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 2. Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R. Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).

Пример 3. Докажем, что пространство Rm - полное метрическое пространство.

Пусть последовательность (xn= x1(n), x2(n),…, xm(n)) (1)

любая фундаментальная последовательность пространства Rm. Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству Rm.

Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространстве Rm

0 N()N  p,n >N (xp,xn)

Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x1(n)), (x2(n)),…, (xm(n)), а значит и их сходимость (по критерию Коши).

Пусть

Рассмотрим точку а = (а1, а2, …, аm). Т.к. а1, а2, …, аm R, то а Rm. По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. Rm последовательность (xn) сходится к аRm . Это означает, что пространство Rm полное метрическое пространство. 

Пример 4. Докажем, что метрическое пространство С[a,b] является полным.

Пусть (xn) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С[a,b] , её члены – непрерывные на [a,b] фукции.

Докажем, что последовательность (xn) сходится в метрическом пространстве С[a,b]. Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [a,b].

По определению фундаментальной последовательности

(2)

Это означает, что t[a,b] (фиксируем t) фундаментальной является числовая последовательность (xn (t)). Значит она имеет предел, который обозначим через для каждого фиксированного t[a,b].

Покажем, что предельная фукция x(t) непрерывная на [a,b]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m. Получим

x (t) xn(t) n>N t[a,b].

Таким образом, мы доказали, что

0NN m,n > N  x (t) xn(t) t[a,b].

А это значит, что последовательность (xn) равномерно сходится к фукции х на [a,b]. Т.к. все члены последовательности (xn) непрерывные на [a,b] фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С[a,b]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (xn) сходится к х. Значит пространство С[a,b] – полное метрическое пространство. 

Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохавым пространством.

Банохавыми пространствоми, являются пространства:

Rп с нормами , ;

l2 с нормой векторов x = (xn) = (x1, x2, …)

;

C [a,b] с нормой функций x(t) .

А пространство C1 [a,b] с нормой не является баноховым.

Определение 2.Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством.

Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.
1   2   3   4

Похожие:

Определение и примеры метрических пространств iconЛекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия 
Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность....
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ»
Метрика на множестве, метрическое пространство. Примеры метрических пространств: с () ( ограниченная область в; К=r V c; пространство...
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по курсу «алгебра и теория чисел»
Определение и примеры линейных пространств. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная независимость векторов
Определение и примеры метрических пространств iconДополнительные главы теории случайных процессов
Следствие теоремы Колмогорова-Прохорова для сепарабельных метрических пространств
Определение и примеры метрических пространств iconОбобщение аксиом скалярного произведения
Рассмотрены частные случаи метрических полиформ для трёх- и четырёхмерных пространств. Проведён краткий сравнительный анализ квадрагиперболического...
Определение и примеры метрических пространств iconУдк 519. 85 Треугольные нормы и конормы
Лукасевича и минимум. Понятие t-норм и t-конорм пришли в теорию нечетких множеств из теорий функциональных уравнений и вероятностных...
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение первообразной. Определение неопределенного интеграла. Привести примеры
Замена переменной в неопределенном интеграле. Вычисление интегралов от функций вида
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение ширины различных морских пространств и его влияние на процесс разграничения

Определение и примеры метрических пространств iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org