Определение и примеры метрических пространств



Скачать 493.27 Kb.
страница3/4
Дата27.11.2012
Размер493.27 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4

§10.Предел и непрерывность отображений метрических пространств


Под отображением метрических пространств будем понимать отображение множества элементов некоторого метрического пространства в множество элементов другого (или того же) метрического пространства. Далее метрическое пространство и его множества будем обозначать одной буквой X или Y, а метрику соответственно X и Y.

Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y, т.е. f: Х Y, точка аY, x0 – предельная точка D( f ) (D( f ) – область определения отображения f из пространства X в пространство Y).

Определение 1. (на языке последовательностей). Точка а называется пределом отображения f в точке х0, если для любой последовательности (xn), сходящейся к хo по метрике х, с членами из D( f ) неравными хо, соответствующая последовательность (f(xn)) сходится к а по метрике y.

Определение 2. (на языке . Точка а называется пределом отображения f в точке хо, если для любого положительного числа существует положительное число () такое, что для всех точек х, принадлежащих D( f ) и удовлетворяющих условию 0<x(x,xo) , выполняется неравенство Y(f(x)).

Если точка а является пределом отображения f в точке хо, то пишут

Сформулированные выше определения символично можно записать так:

Опр.1:

Опр.2:

Сформулируем определение 2 в разных метрических пространствах.

Пример 1. Пространство R1: X = R, Y = R; f: R gif" name="object93" align=absmiddle width=21 height=25>R.
Пример 2. Пространство R2: X = R2, Y = R, f: R2 R, x=(x1,x2), xo=(x1o,x2o),xxo в R2 тогда и только тогда, когда x1x1o и x2 x2o.
Теорема 1. Определении 1 и 2 равносильные.

Доказатьельство самостоятельно(см. 1 курс).

Определение 3. Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y (f: Х Y), точка хоD( f ). Отображение f называется непрерывным в точке хо, если
Замечание 1. В этом определении не требуется, чтобы точка хо была предельной точкой D( f ). Она может быть и изолиированной точкой D( f ).

Геометрический смысл Определения 3: отображение f: Х Y –непрерывно в точке хо тогда и только тогда, когда для любой –окрестности точки f(xo) (U( f(xo),) Y), существует –окрестность точки xo (U(xo, ) Х), образ которого при отображении f полностью принадлежит U( f(xo),).

Определение 3'. Если точка хо – предельная точка D( f ), то отображение f непрерывнае в точке хо тогда и только тогда, когда

Если точка хо – изолированная точка D( f ), то отображение f считаем непрерывным в точке хо.

Определение 4. Отображение f: Х Y называется непрерывным на множестве МХ, если яно непрерывное каждой точке множества М. Если М =Х, то отображение f: Х Y называется непрерывным.

Теорема 2. (Критерий непрерывности отображения) Отображение f: ХY является непрерывным тогда и только тогда, когда при этом отображении прообраз любого открытого (замкнутого) в Y множества есть множество открытое (замкнутое) в Х. Т.е., если множества GY – открытое (замкнутое) множество, то множество f -1(G) – открытое (замкнутое) в Х.

Докажем для случая открытого множества.

Дано
Доказать: f—непрерывное отображение.





Дано непрерывное отображение f: Х Y, и Е — произвольное открытое множество в Y.

Доказать: —открытое множество.





Для случая замкнутого множества Е нужно рассмотреть его дополнение СЕ – открытое множество и воспользоваться уже доказанной частью.

Определение 5. Отображение f: Х Y называется равномерно непрерывным на множестве ЕХ, если

Замечание 2. Если отображение f: Х Y равномерно непрерывное на множестве ЕХ, то оно и непрерывное на Е.

Определение 6. Метрическое пространство Х называется связанным, если его нельзя представить в виде двух непустых непересекающихся между собой открытых (в виде двух непустых непересекающихся между собой замкнутых) множеств.

Определение 7. Множество ЕХ называется связанным в м.пр. Х, если связанным является подпространство Е метрического пространства Х.

Пример 3. В пространстве R связанными являются интервал, отрезок, луч, множество {3};

Пример 4. В пространстве R2 связанным является любое множество Е R2 , удовлетворяющее условию: любые две точки из Е можно соединить ломанной, которая полностью лежит в Е. Например, кальцо;

Пример 5. Множество Е = (0,1) [3,4] R не является связанным множеством.

Теорема 3. Если отображение f связанного метрического пространства Х в метрическое пространство Y непрерывное, то множество f(X) связанное в Y.

Методом от противного. Пусть множества f(X) не является связанным в м.пр. Y. Это означает, что существуют два непустых, непересекающихся между собой открытых множества М и N таких, что f(X) = MN.

Па теореме 2 в силу непрерывности отображения f прообразы множеств М и N будут открытыми (f -1(M) , f -1(N)). Очевидно, что они будут также непустыми, непересекающихся между собой множествами, а их объединение есть Х. Но это значит, что пространство Х не является связанным, что противоречит условию теоремы о связанности метрического пространства Х.►

§11. Непрерывные отображения компактных пространств

1o. Понятия компактного пространства и компактного множества. Необходимое условие компактности множеств

Определение 1. Метрическое пространство X = (X, ) называется компактным (компактом), если из любой последовательности (xn) точек этого пространства можно выделить подпоследовательность , сходящуюся по метрике к элементу пространства Х.

Определение 2. Множество Е Х называется компактным в м.пр. Х, если из любой последовательности точек множества Е можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по метрике к элементу множества Е или другими словами: если подпространство (Е, ) - метрической пространства (X, ) является компактом.

Пример 1. Пространство R не является компактом, т.к. существует последовательность (n), nN,из которой нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся в R.

Пример 2. Любое конечное множество Е точек метрического пространства (X, ) – компактное множество в этом пространстве.

Пример 3.
Пусть подпоследовательность (= (3, 3, …,3…)) (n = 2k) стремится к числу 3 при n . Точка 3 принадлежит множеству Е R . Множество Е компактное в R.

Теорема 1. Если множество Е замкнутое в компактном метрическом пространстве (X,), то оно компактное в этом пространстве.

◄ Рассмотрим члены которой принадлежат ЕХ. Т.к. м.пр. (X,) – компактноя, то для этой последовательности существует подпоследовательность , сходящаяся к элементу пространства Х, т.е.

.

Отсюда следует, что в любой ε–окрестности точки а есть члены подпоследовательности а –предельная точка Е. По условию Е – замкнутое множество  а ЕЕ – компактное в м.пр. Х. ►

Теорема 2 (I необходимое условие компактности). Если множество Е Х компактное в м.пр. (X, ), то оно замкнутое в этом пространстве.





Пример 4. Интервал (a,b) не может быть компактным множеством в пространстве R, т.к. не является замкнутым множеством.

Теорема 3 (II необходимое условие компактности). Если множество Е Х компактное в м.пр. (X, ), то оно ограниченное в этом пространстве.




Таким образом построили последовательность (xn), члены которой удовлетворяют неравенству (1). По условию Е компактное  существует подпоследовательность последовательности (xn), сходящаяся к точке а*Еε0 (ε = n)kп(ε)N такой, что  kп kп (ε) выполняется неравенство

(2)

но для этих же номеров kп (т.к. ) выполняется (1), т.е.

(3)

По аксиоме метрики
Получили противоречие. 

Замечание 1. Теоремы обратные теоремам 2 и 3 вообще говоря не имеют места.

Теорема 4 (критерий компактности в Rm). Для того, чтобы множество

Е Rm было компактным в м.пр. Rm, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным в Rm.

Доказатьельство необходимости следует з теорем 2 и 3.

Достаточность.

Рассмотрим произвольную последовательность (xn) из Е. Т.к. множество Е ограниченное в м.пр. Rm (по условию теоремы), то и последовательность (xn) – ограниченная. Поэтому по теореме Больцана-Вейерштрасса из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некаторой точке а Rm . Эта точка является предельной точкой для последовательности Е, а поэтому и для множества Е. В силу замкнутости множества ЕХ, точка аЕ, (по определению 2) подпоследовательность а при п, значит множество Е – компактное множество. ►

Пример 5. Множества Е= R – компактное множество.

Пример 6. в пространстве Rmкомпактное множество.

Пример 7. Множество R не будет компактным множеством, т.к. не является замкнутым.

2o. Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства

Теорема 5. Пусть f – непрерывное отображение метрического пространства Х в метрыческое пространство Y (f: Х Y). Если множество ЕХ – компактное множество в м.пр. Х, то егo образ f(E) – компактное множество в м.пр. Y.

◄ Рассмотрим произвольную последовательность , члены которой принадлежат образу Е, множеству f(E)  . Пусть какой-нибудь прообраз , т.е. и Е. По условию ЕХ и Е – компактное множество в м.пр. Х. Тогда последовательность () содержит подпоследовательность, сходящуюся к некаторой точке . Эта точка является предельной точкой для последовательности Е, а значит и для множества Е. В силу замкнутости множества ЕХ, точка Е, и (по определению 2) т.к. подпоследовательность сходится к точке Е, то из последовательности можно выделить соответствующую подпоследовательность , члены которой являются образами соответствующих членов последовательности множества Е (). По условию теоремы f – непрерывное отображение метрической пространства Х в метрическое пространство Y  (по определению непрерывного отображения) для последовательности  сходящаяся подпоследовательность , причём f(E) – компактное множество. ►

Пример 8. Пусть задано отображение f: R R; X = R, Y=R.

f(x) = x2; D( f ) =[1,2]R компактное множество в метрическом пространстве R; E( f ) = [1,4] R компактное множество в пространства R.

Теорема 6. Если отображение f: Х Y непрерывное на компактном множестве ЕХ, то оно равномерно непрерывное на компактном множестве Е.

Замечание 2. Теорема 6 – обобщение теоремы Кантора для действительной функции одной действительной переменной.

Определение 3. Пусть задано множество ЕХ. Отображение f: Х Y называется ограниченным, если образ множества Е: f(E) – множество ограниченнае в Y.

Теорема 7 (I теорема Вейерштрасса ). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство Y непрерывное, то оно ограниченное.




Вспомним свойства верхней (нижней) грани числового множества.

Верхняя (нижняя) грань множества ЕR удовлетворяет следующим условиям:

  1. хЕ х (х);

  2.  х Е, что х > x).

Лемма. Замкнутое ограниченное сверху (снизу) числовое множество ER содержит свою верхнюю (нижнюю) грань.

Определение 5. Пусть f – отображение метрического пространства Х в метрическое пространство R. Говорят, что f принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке хоХ , если для любога хХ выполняется неравенство

Теорема 8 (II теорема Вейерштрасса для компактных множеств). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство R непрерывное, то оно принимает свои наибольшее и наименьшее значении.




Аналогично даказывается, что отображение f принимает наименьшее значение.

Определение 6. Отображение f метрического пространства Х в метрическое пространство Y называется взаимно однозначным, если:

1) любому элементу х Х соответствует единственный элемнт у Y и

2) любой элементу у Y соответствует единственному элемнту х Х.

Теорема9. Пусть f – взаимно однозначное отображение метрического пространства Х в метрическое пространство Y. Если f – непрерывное отображение, то и обратное ему отображение f -1 также непрерывное.

Доказательство сам-но [1 ,ст.33].

1   2   3   4

Похожие:

Определение и примеры метрических пространств iconЛекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия 
Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность....
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ»
Метрика на множестве, метрическое пространство. Примеры метрических пространств: с () ( ограниченная область в; К=r V c; пространство...
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по курсу «алгебра и теория чисел»
Определение и примеры линейных пространств. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная независимость векторов
Определение и примеры метрических пространств iconДополнительные главы теории случайных процессов
Следствие теоремы Колмогорова-Прохорова для сепарабельных метрических пространств
Определение и примеры метрических пространств iconОбобщение аксиом скалярного произведения
Рассмотрены частные случаи метрических полиформ для трёх- и четырёхмерных пространств. Проведён краткий сравнительный анализ квадрагиперболического...
Определение и примеры метрических пространств iconУдк 519. 85 Треугольные нормы и конормы
Лукасевича и минимум. Понятие t-норм и t-конорм пришли в теорию нечетких множеств из теорий функциональных уравнений и вероятностных...
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение первообразной. Определение неопределенного интеграла. Привести примеры
Замена переменной в неопределенном интеграле. Вычисление интегралов от функций вида
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение ширины различных морских пространств и его влияние на процесс разграничения

Определение и примеры метрических пространств iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org