Определение и примеры метрических пространств



Скачать 493.27 Kb.
страница4/4
Дата27.11.2012
Размер493.27 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4
§12. Принцип Баноха сжимающих отображений

Напомни, что

Определение 1. Последовательность (xn) метрического пространства (Х, ) называется фундаментальной, если 0 Nn,m > N (xm,xn).

Определение 2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундументальная последовательность точек этого пространства сходится к его элементу.

Теорема 1. Пусть (Е, х) – подпространство полного метрического пространства

(Х, х). Если множества Е замкнутое, то (Е, х) – также полное метрическое пространство. (См.§9)

Определение 3. Точка Х называется неподвижной точкой отображения f метрического пространства (Х, х) в себя (f: Х Х), если f() =.

Например. Рассмотрим отрезок [a,b] R. Сожмём его так, чтобы концы переместились соответственно в a1 и b1 a, b, причём a1 < b1 , потом– a1 в a2 и b1 в b2a, ba2 < b2 ,и т.д. Интуитивно можно дапустить, что существует точка сa, b, которая останется неподвижной.

Таким образом построили отображение, которое каждой точке хa, b поставило в соответствие точку f(x) a, b, оно является отображением точек хa, b: a1= f(a), a2= =f(a1),…, b2= f(b1), b1= f(b).
Если неподвижная точка существует, то х= f(х).

Определение 4. Отображение метрического пространства Х в себя называется сжимающим, если существует число (0 < < 1) такое, что х12Х выполняется неравенство

f(x1),f(x2) ) x1, x2. (1)

Основные свойства сжимающих отображений

Теорема 2. Любое сжимающее отображение f метрического пространства Х в себя – непрерывное на множестве Х.

Возмьмём произвольно точку хоХ и докажем, что f – непрерывное на Х, т.е.
Из неравенства (1) следует, что x f(xo),f(x) xxo,x < / = .

Отображение f непрерывное на множестве Х, т.к. оно непрерывное в любй точке хо этого множества. 

Теорема 3. ( принцип сжимающих отображений Баноха). Любое сжимающее отображение полного метрического пространства (Х, ) в себя (f: Х Х) имеет неподвижную точку и при том только одну. (Х)

1. Выбярэм любы точка хоХ и пабудуем последовательность (хn) па правилу:

(2)

2. Докажем, что последовательность (xn) фундаментальная, т.е.

0 Nn,m > N (xm,xn).

Обозначим

(x1,xо)=d. (3)

По условию теоремы f – сжимающее отображение. Воспользуемся неравенством (1) и обозначением (3).Получим:

Используя метод математической индукции, можно доказать, что

(4)

Возьмём произвольно натуральные числа m и n (m>n) и оценим xm, xn, используя неравенство треугольника и неравенство (4).Получим:

Т.к. 0 < < 1, то n + n+1 +…+ m - сумма n-членов бесконечно ўбывающей геометрической прогрессии. Поэтому xn, xm d (5)

Предел последовательности , а это значит, что последовательность бесконечно малая, и (по определению БМП)

(6)

Из неравенств (5) и (6) следует xn, xm<. Т.обр. показали, что

0 NN n,m > N (xm,xn). последовательность (2) фундаментальная.

3. Покажем, что последовательность (2) стремится к точке Х.

По условию теоремы (Х, ) - полное метрическое пространство, (хn) – любая его фундаментальная последовательность и она должна сходиться к элементу пространства (Х, ), а значит. существует точка Х такая, что

(7)

4. Докажем, что - неподвижная точка.

Из равенства (7) следует, что а согласно равенствам (2) f(xn-1) = xn. Значит (8)

В силу теоремы 2 любое сжимающее отображение – непрерывное. Поэтому

С учётом (8), доказана неподвижность точки .

5. Докажем единственность неподвижной точки.

Пусть есть ещё одна неподвижная точка х*. Таким образом существуют две точки , х*X такие, что f() = и f(x*) = x*. Тогда

Но это произведение может быть тольки неотрицательным (т.к. (, x*)  0 и 0 <  < 1). Значит = x*. 

Замечание. Метод нахождения неподвижных точек называется методом итерации, или методом последовательных приближений.

Этот метод используют при доказательстве единственности решения некоторых алгебраических и дифференциальных уравнений.

Пример 1. Пусть f – фукция - отображение отрезка [a,b] в отрезок [a,b], задана формулой f(x) = y (9)

Эта фукция дифференцируемая, и её производная удовлетворяет неравенству: f(x) (0 < < 1) x [a,b].

Докажем, что уравнение f(x) = x (9). имеет единственное решение.

[a,b] – замкнутое множество полным метрическим пространством R и поэтому подпространство Х = ([a,b] , (x,y) = ху) - полное метрическое пространство. Фукция f удовлетворяет условиям теоремы Логранжа на [a,b] :

По определению 3 f – сжимающее отображение полного метрического пространства в себя. По теореме Баноха существует единственная точка [a,b], для которой f() =. Эта точка находится с помощью последовательности (2). 
1   2   3   4

Похожие:

Определение и примеры метрических пространств iconЛекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия 
Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность....
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ»
Метрика на множестве, метрическое пространство. Примеры метрических пространств: с () ( ограниченная область в; К=r V c; пространство...
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Определение и примеры метрических пространств iconВопросы к экзамену по курсу «алгебра и теория чисел»
Определение и примеры линейных пространств. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная независимость векторов
Определение и примеры метрических пространств iconДополнительные главы теории случайных процессов
Следствие теоремы Колмогорова-Прохорова для сепарабельных метрических пространств
Определение и примеры метрических пространств iconОбобщение аксиом скалярного произведения
Рассмотрены частные случаи метрических полиформ для трёх- и четырёхмерных пространств. Проведён краткий сравнительный анализ квадрагиперболического...
Определение и примеры метрических пространств iconУдк 519. 85 Треугольные нормы и конормы
Лукасевича и минимум. Понятие t-норм и t-конорм пришли в теорию нечетких множеств из теорий функциональных уравнений и вероятностных...
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение первообразной. Определение неопределенного интеграла. Привести примеры
Замена переменной в неопределенном интеграле. Вычисление интегралов от функций вида
Определение и примеры метрических пространств iconОпределение ширины различных морских пространств и его влияние на процесс разграничения

Определение и примеры метрических пространств iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org