Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида



Скачать 73.72 Kb.
Дата27.11.2012
Размер73.72 Kb.
ТипДокументы
Шамшина Е.
Графический метод решения уравнений вида .
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков функций, входящих в уравнение. В работе исследованы некоторые случаи решения уравнений вида


Определение

Трансцендентное уравнение – это уравнение вида , где функции и являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна их них не является алгебраической.
Трансцендентные уравнения можно разделить на две группы:

Первая группа: используя графический способ, можно однозначно найти решения уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение:

Область допустимых значений:

В данном случае корнем уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков

(синусоиды) и (параболы с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при положительный).

Первую координату вершины этой параболы можно рассчитать по формуле

Получаем:

Для того чтобы найти вторую координату вершины параболы, подставим найденную первую координату в уравнение параболы:



Координаты вершины параболы: .



Общая точка графиков . Значит, - корень уравнения

gif" name="object18" align=absmiddle width=145 height=40>.

Ответ: .
Вторая группа: используя графический способ, можно определить только количество корней.

Пример. Определить число корней уравнения .

Решение:

Область допустимых значений:

Чтобы найти корни данного уравнения, нужно найти точки пересечения графиков и .

Таблица значений для прямой




0 1




-




Так как графики имеют две общие точки, то уравнение имеет два различных корня.

Ответ: 2 корня.

Рассмотрим функцию .

Это функция, обратная тригонометрической функции . Чтобы построить график данной функции, нужно выполнить симметрию графика в I и IV четвертях (на ) относительно прямой .



Получаем, что



Функция – нечетная, так как ; возрастающая.



Рассмотрим некоторые виды трансцендентных уравнений, связанных с функцией и линейной функцией.
Рассмотрим уравнение вида .

Чтобы найти корни данного уравнения, необходимо найти точки пересечения графиков функций (вид этого графика рассмотрен выше) и – прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами .

    1. Нет решений, когда



    1. Есть одно решение, когда




Рассмотрим уравнение вида .

Корни уравнения – это абсциссы точек пересечения графиков функций и , при этом данная прямая проходит через точку (0;0) и имеет угловой коэффициент (тангенс угла между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс; ).
1. При прямая приобретает вид

Таблица значений для прямой



0 1




0



Графики имеют три общие точки: .

Следовательно, уравнение имеет три корня: , , .


При графики имеют три общие точки. Значит, уравнение имеет три различных корня.


2. При одна общая точка.

Если , то приобретает вид .



Общая точка , значит, корень уравнения .

При одна общая точка.



Рассмотрим уравнение . Пусть - касательная к графику функции . Исследуем данное уравнение на число корней, если ордината (вторая координата) точки касания имеет значения:

; ; ; ; ; .
Составим в общем виде уравнение касательной к графику функции .
Пусть – абсцисса точки касания.





уравнение касательной в общем виде

1. Пусть .


– уравнение касательной



Однозначно можно назвать только один корень уравнения . Это абсцисса точки , значит, .
Стоит проверить, будет ли прямая пересекать график еще в каких-либо точках. Для этого подставим в уравнение значение . Получим, что .

, значит гипотенуза треугольника будет пересекать график в I четверти. Аналогично, получаем пересечение графиков в III четверти. Таким образом, при , уравнение имеет три различных корня.
2. Пусть ()

()










Проверим, пересекает ли данная касательная график .

Если , то









, значит, касательная с абсциссой точки касания пересекает график .


При , уравнение имеет два корня: первый корень , второй корень меньше 0.
3. Пусть







Если , то











, значит, касательная пересекает график .



При , уравнение имеет два корня: первый корень , второй корень меньше 0.
4. Пусть ()







Если , то









, значит, касательная не пересекает график .



При , уравнение имеет один корень: .

5. Пусть ()







Если , то









, значит, касательная не пересекает график .



При , уравнение имеет один корень: .


6. Пусть ()

()











Если , то













, значит, касательная не пересекает график .


При , уравнение имеет один корень: .

7. Пусть





Касательная с абсциссой точки касания не определена.

Таким образом, видно, что касательная к графику с абсциссой точки касания пересекает график , а при пересечений нет.
Касательная к графику имеет общий вид , где , .
Значит, общий вид уравнения касательной можно записать как .


  1. если , то , то уравнение приобретает вид и имеет три различных корня;

  2. если , то касательная , то уравнение принимает вид и имеет два различных корня;

  3. если , то касательная , то уравнение приобретает вид и имеет два различных корня;

  4. если , то касательная , то уравнение приобретает вид и имеет один действительный корень;

  5. если , то касательная , то уравнение приобретает вид и имеет один действительный корень;

  6. если , то касательная , то уравнение приобретает вид и имеет один действительный корень.






Похожие:

Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconГрафический метод решения одноиндексных задач
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач лп с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconКонспект урока №3. Тема урока: графический метод решения задачи линейного программирования тип урока: урок изучения нового материала
Познавательная – познакомить учеников с понятием графический метод, формировать навыки и умения решать задачи и использовать их на...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconКонспект урока с использованием современных образовательных технологий Тема: методы решения тригонометрических уравнений метод решения хорош, если с самого начала мы можем
Цели: Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconУравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconЭлектромагнитное взаимодействие
Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconРешение систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. Выпуклые многогранники и многогранные области
...
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconО методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами
В работе исследуются точные и приближённые методы решения сингулярных интегральных уравнений вида
Шамшина Е. Графический метод решения уравнений вида iconМетод Гаусса-Жордана
Цель работы: Сформировать у студентов представления о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org