Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень



Скачать 49.43 Kb.
Дата28.11.2012
Размер49.43 Kb.
ТипГлава
Глава 1. Геометрические характеристики плоских сечений

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материала и размеров, но и очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Поэтому в этой главе рассмотрим основные геометрические характеристики его поперечных сечений, определяющие сопротивление различным видам деформации. К ним относятся площади поперечных сечений, статистические моменты и моменты инерции.

§1. Статистический момент сечения (С.М.С.). Центр тяжести площади

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Ox и Oy (рисунок 1). Выделим элемент площади dA с координатами x, y. По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение и для момента сечения, которое называется статическим моментом.



называется статистическим моментом элемента сечения относительно оси Ox. Аналогично



статистический момент элемента сечения относительно оси Oy. Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статистические моменты относительно осей x и y:



Центр тяжести – это такая точка пересечения осей, относительно которой статистический момент системы равен нулю.

Пусть xc, yc – координаты центра тяжести (ц.т.) фигуры. Продолжая аналогично с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодействующей можно записать следующие выражения:



где A – площадь сечения фигуры. Отсюда координаты центра тяжести



Из формул (1.2) следует, что статические моменты сечения относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести) равны нулю.

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь Ai и положение центра тяжести xi и yi. Статистический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статистических моментов каждой части:

gif" name="object6" align=absmiddle width=448 height=94>

По формулам (1.3) и (1.4) находим координаты центра тяжести сложной фигуры:



(1.5)

Определим например координаты центра тяжести фигуры, показанной на рисунке 3.

1. Разбиваем фигуру на простые части (составные части): прямоугольник, круг, треугольник. Находим для них площади:





2. Выбираем произвольно начальную систему осей координат (xy), относительно которых определим координаты составных частей фигуры (xiyi).



3. Определим координаты центра тяжести всей фигуры:



Покажем на рисунке положение центра тяжести всей системы.

§2. Моменты инерции сечений и их свойства

Осевым, или экваториальным, моментом инерции площади фигуры (сечения) называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Так, моменты инерции произвольной фигуры (рисунок 4) относительно осей x и y соответственно



Полярным моментом инерции площади фигуры относительно данной точки (полюса O) называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от полюса:



Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то

2 = x2 + y2.

Из выражения (2.2) имеем



Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции (Ц.М.И.) называют интеграл произведения площадей элементарных площадок на их расстояния от координатных осей x и y:



В зависимости от положения осей Ц.М.И. может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю.

Ц.М.И. площади фигуры, показанной на рисунке 5а, относительно выбранной системы осей положителен, так как координаты x, y всех элементов положительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90 (рисунок 5б) знак Ц.М.И. фигуры меняется на обратный, так как в этом положении координаты x всех элементов положительны, а координаты y – отрицательны.

Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором Ц.М.И. равен нулю. Такие оси называют главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции, поскольку в этом случае каждой положительной величине xy dA соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рисунок 5в) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями.

Моменты инерции некоторых простых сечений.

Моменты инерции прямоугольника со сторонами b и h относительно центральных осей x и y, параллельных его сторонам:



Момент инерции треугольника с основанием b и высотой h относительно оси, проходящей через его основание:



Полярный момент инерции круга диаметра d относительно его центра, а также момент инерции относительно центральной оси:



Осевой момент инерции кругового сектора OAB радиуса r относительно оси x:



Моменты инерции эллипса с полуосями a и b относительно центральных осей x и y:



§3. Моменты инерции сложных сечений

В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стержней – угловых равнобоких и неравнобоких, двутавровых, швеллерных и других – моменты инерции относительно различных осей даны в таблицах ГОСТ 8509-95, 8239-95, 8240-95 наряду с размерами, площадями сечений, положениями центров тяжести и другими характеристиками. В сортаменте центральные оси сечений обозначаются буквами x, y.

При вычислении моментов инерции сложных сечений последние можно разбить на отдельные простые части, моменты инерции которых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее составных частей.

Если в сечении есть отверстие, его обычно удобно считать частью фигуры с отрицательной площадью.

Похожие:

Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconЛекция №1 Прикладная математика Геометрические характеристики плоских сечений
При этом в уравнениях равновесия встречаются следующие геометрические характеристики поперечного сечения бруса, которое можно рассматривать...
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconКурс лекций по сопротивлению материалов брянск 2007
Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов 26
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconРешение 1 Определяем основные геометрические характеристики заданного сечения
К числу основных задач курса сопротивления материалов наряду с расчетом на прочность и жесткость, относятся также расчеты на устойчивость....
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconА. А. Саченков Цикл лекций по теории изгиба пластин Учебное пособие
В основу излагаемой теории положена наиболее простая модель, базирующаяся на гипотезах Кирхгофа-Лява, которые являются обобщением...
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconИзмерители сопротивления заземления с. А 6410, С. А 6412, С. А 6415 Технические характеристики
Данный прибор разработан для измерения величины сопротивления любой системы проводников, образующих замкнутый контур
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconЛабораторная работа №2. Задание полигональных моделей объектов. Трехмерная визуализация с использованием OpenGL
Цель работы: ознакомиться с основным способом задания полигональных моделей – методом тиражирования сечений; ознакомиться со средствами...
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconВ данном документе приводится модель секретных вычислений на примере игрального автомата. Основным объектом является аналог логической схемы для произвольных, не обязательно бинарных данных

Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconЛабораторная работа №1 изучение удельного электрического сопротивления проводников различного химического состава
Освоить методы измерения удельного электрического сопротивления металлических материалов
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень icon«Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени
Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы егэ за курс средней школы
Геометрические характеристики плоских сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень iconУчебное пособие «Теория текста»
Охватывает любые знаковые последовательности, однако основным ее объектом является текст вербальный, поэтому при характеристике и...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org