Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г



Скачать 46.17 Kb.
Дата28.11.2012
Размер46.17 Kb.
ТипДокументы
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия

Обобщенные решения задачи Коши для вырожденного нестационарного дифференциального уравнения первого порядка в банаховых пространствах
М.В.Фалалеев

Иркутский государственный университет,

ул. К.Маркса, 1, 664003, Иркутск, Россия

E-mail: mihail@ic.isu.ru
Рассматривается задача Коши вида

(1)

(2)

где замкнутые линейные операторы из в банаховы пространства, фредгольмов, достаточное число раз сильно непрерывно дифференцируемая в окрестности точки оператор-функция, достаточно гладкая функция.

Пусть базис ядра базис ядра оператор Шмидта [1], соответствующий обозначим через разрешающий оператор уравнения [2]



и введем в рассмотрение следующие функции:





Пусть выполнено условие:

А) все функции аналитичны в окрестности точки при и gif" name="object22" align=absmiddle width=47 height=19> и все их частные производные до -го порядка включительно обращаются в нуль в точке , но не все частные производные -го порядка равны нулю точке

Обозначим через матрицу из -коэффициентов Маклорена функций тогда для матричной функции справедливо разложение



Назовем точку регулярной для если обратима матрица т.е.



и введем матричные функции вида



Характеристическим уравнением задачи (1)-(2) назовем уравнение



Для каждого натурального корня характеристического уравнения будем предполагать выполненным условие

В) матрица имеет полный обобщенный -жорданов набор [3] элементов

Кратностью натурального корня называют число



а его показателем величину



В [3] автором приведена и доказана следующая

ТЕОРЕМА 1. Если выполнены условие А), характеристическое уравнение имеет целых неотрицательных корней кратностей с показателями для каждого из которых выполнено условие В), регулярная особая точка для и тогда задача Коши (1)-(2) имеет -параметрическое непрерывное решение вида



где



числовые функции восстанавливаются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода



(здесь вектор-столбцы) в виде логариф-мо-степенных рядов, часть коэффициентов которых содержат свободные параметры и выраж-аются через элементы обобщенных -жордановых наборов матрицы .

Одно из условий приведенной теоремы, а именно можно снять, если строить решения задачи (1)-(2) в пространстве распределений. В обобщенных функциях задачу Коши (1)-(2) можно переписать в следующем виде

(3)

и искать обобщенное решение как сумму

(4)



(5)

(Здесь и далее используются обозначения и терминология из работ [3]-[6].)

Поскольку является фундаментальной для дифференциального оператора ( - единичный оператор), то после подстановки (4) в (3) получаем для представление



или

(6)

подставляя которое в соотношения (5), получим для (после выполнения всех тождественных преобразований) систему

(7)

с правой частью



где - вектор-столбцы.

Из системы (7) можно восстановить вектор-функцию если для правой части (7) выполнены условия которые можно обеспечить подобрав значения констант из системы линейных алгебраических уравнений:=

(8)

В представляемой работе показано, что матрица этой системы имеет блочную структуру и ее определитель отличен от нуля, тогда из этой системы однозначно восстанавливаются искомые коэффициенты а вместе с ними последовательно и остальные составляющие обобщенного решения (4).

Таким образом доказана

ТЕОРЕМА 2. Если выполнены условие А), характеристическое уравнение имеет целых неотрицательных корней кратностей с показателями для каждого из которых выполнено условие В), регулярная особая точка для и тогда задача Коши (1)-(2) имеет -параметрическое обобщенное решение вида (4), составляющие которого восстанавливаются из формул (6), (7), (8).

Замечание. Если в теореме 2 выполнится условие то обобщенное решение (4) окажется классическим (непрерывным) построенным в теореме 1.

Литература

1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений уравнений. – М.: Наука, 1969.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. – М.: Наука, 1970.

3. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. – Kluwer Academic Publishers, 2002.

4. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979.

5. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, №5. – С. 1167--1182.

6. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. – 2005. – Т. 46, №6. – С. 1393--1406.

Похожие:

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Об одном методе решения задачи Коши для гармоничнего уравнения
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Продолжение решения неоднородной системы уравнений Коши-Римана
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Аналитическое продолжение рациональными функциями
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org