«Производная»



Скачать 134.17 Kb.
Дата28.11.2012
Размер134.17 Kb.
ТипДокументы
МОУ- Сатагайская средняя школа

Амгинского улуса РС(Я)

60 вопросов и ответов по теме «Производная»

Составитель: Терентьева Ольга Семеновна-

учитель математики высшей категории.


Сатагай-2010г.

Вопросник по Аи НА-10.

Тема: Производная.




Вопросы

Ответы

1.

Кто являются создателями дифференциальных и интегральных исчислений?

- Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646- 1716) немецкий философ-идеалист, математик, физик, языковед. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и гос. управления в России.

«Новые опыты о человеческом разуме» 1704г. развил учение о прирожденной способности ума к познанию высших категорий бытия и всеобщих и необходимых истин логики и математики. Один из создателей дифференциальных и интегральныхисчислений.

- Исаак Ньютон (1643- 1727) английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал, независимо от Г. Лейбница, дифференциальные и интегральные исчисления.

2.

Что такое дифференцирование?

Процесс отыскания производной по заданной функции.

3.

Как обосновать термин «Производная»?

«По житейски»: функция у =f (х)

« производит на свет» новую функцию у′= f ′(х).

4.

Кто из великих математиков древности создал учения о производной и интеграле, которые используют до сих пор?

Архимед.

5.

Что такое дифференциальное

исчисление?

Это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции.

6.

Что изучаются в дифференциальном исчислении?

Правила вычисления производных и применения производных к исследованию свойств функций.

7.

В честь чего были написаны

стихи поэта А. Поупа « Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон».


В честь открытия дифференциального исчисления. Эти же слова относились бы и к Г. Лейбницу.

8.

Кто ввел большую часть современной символики мат. анализа?

Готфрид Вильгельм Лейбниц ( он же Фридрих). В том числе символику производной и дифференциала.

9.

Какая новая математическая

операция была введена в исчислении?

Дифференцирование.

10.

Как пришли к дифференциальным исчислениям Ньютон и Лейбниц?

Лейбниц решая задачу проведения касательной к кривой. Ньютон решая задачу на нахождение скорости.

11.

Что означает слово дифференциал?

От латинского слова «разность».

12.

Операция, обратная дифференцированию-

Интегрирование или нахождение первообразной функции.

13.

Что такое производная?

Короче всего ответить так: производная-

это мгновенная скорость.

14.

Дайте определение производной.

Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение у′==.

15.

В чем состоит геометрический и механический смысл отношения и производной?

Механический смысл: - нахождение средней скорости.

у- нахождение мгновенной скорости.

Геометрический смысл: - нахождение углового коэффициента секущей.

у- нахождение углового коэффициента касательной.

16.

Чему равна производная?

k= у′(х)= tq α - тангенс угла наклона касательной.

17.

Когда угол наклона острый (тупой) ?

При k= tq α >0 острый, k= tq α < 0 тупой.

18.

Как вычислить угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки

графика некоторой функции?

Находя значение отношения или

k=, проходящей через две точки с координатами ( х0; у0) и ( х; у).

19.

Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции?

Находя значение производной k= у′(х).

20.

Какие ученые задолго до Ньютона и Лейбница решили задачи на построение касательной?

Архимед (древнегреческий математик) решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль Архимеда. Понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н. Тартальи (около 1500-1557). Угол наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

И. Кеплер ( задача о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса). Рене Декарт в ходе изучения опыта оптических свойств линз. Но он решил эту задачу с помощью аналитической геометрии и методов неопределенных коэффициентов.

21.

Что связывает Лейбница с Россией?

По просьбе Петра I он разработал проекты развития образования и государственного управления в России.

22.

Какая математическая формула названа именем Ньютона?

Бином Ньютона- Формула, выражающая

степень суммы двух слагаемых (двучлена- бинома), через степень этих слагаемых. Коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами и обозначаются .

23.

Когда функция называется непрерывной в точках?

Если f(х)→ f(х0) при х→ х0, т.е. малым изменениям аргумента в точке х0 соответствуют малые изменения значений функции.

24.

Какую точку называют точкой разрыва функции f(х)?

Точки, в которых функция не определена или определена, но не является непрерывной.

25.

Приведите пример, когда функция имеет устранимый разрыв.

у=, х≠0; у=, х≠3.

26.

Приведите пример, когда функция имеет неустранимый разрыв.

Скачок. у=.

27.

Дайте определение непрерывной функции в точке х0 при помощи предела функции.

Функция f(х) называется непрерывной в точке х0 , если существует предел этой функции при х→ х0 и этот предел равен f(х0).

28.



Как доказывается непрерывность функции в точке х0?


Нужно проверить справедливость равенства f=0 .

29.

Перечислите правила вычисления пределов функций.

1). c . f(х)= c ∙ f(х)- предел функции от произведения функции на постоянное число.

2). ( f1(х)± f2(х) )= f1(х)± f2(х) – предел от суммы равен сумме пределов.

3).f1(х)·f2(х)= f1(х) · f2(х)- предел от произведения равен произведению пределов.

4). = - предел от частного равен частному от пределов.

30.

Дайте определение функции непрерывной на промежутке J или (а;в).

Если функция непрерывна в каждой точке промежутка J.

31.

Сформулируйте теорему о нуле непрерывной функции.

Если функция f(х) непрерывна и монотонна на отрезке [а;в] и на концах отрезка её значения разных знаков, то внутри отрезка существует такая точка с,

а<с, что f(c)=0

32.

Сформулируйте свойство непрерывной функции.

Если на интервале (а;в) функция f(х) непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. (>0 или <0).

33.

Как называется прямая перпендикулярная касательной и проведенная в точке касания?

Нормаль.

33.

Какая точка называется точкой перегиба?

k= tq α=0. Нормаль Оу. КасательнаяОх.

34.

Сформулируйте правила вычисления производных.

1). (u+v) ′=u′+ v ′- производная суммы равна сумме производных.

2). (u·v) ′=u v + u v ′- производная произведения равна сумме произведений u v и u v ′-

3). (Сu) ′= Сu′- постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4). () ′= - производная от ча

стного равна частному разности u′ v - u v ′ и

v2.


35.

Чему равна производная степенной функции?

n) ′= nхn-1 .

36.

Чему равна производная сложной функции?

h′( х0)= g ′( f(х0)) · f ′(х0).

37.

Чему равна производная тригонометрических функций?

(sin x) ′= cos x.

(cos x ) ′= - sin x.

(tg x) )′=.

(ctg x) ′=-.

38.

Какой вид имеет уравнение касательной?

у= f (х0)+ f ′(х0) ·(х-x0) или у-у0= f ′(х0) ·(х-x0) легче запомнить.

39.

Как выводится уравнение касательной?

А0; f ′(х0))- точка касания. f ′(х0)- угловой коэффициент. Касательная- прямая имеющая вид у=kx+b= f ′(х0) · х+в, т.к. в= f (х0)- f ′(х0) · х0, подставляя получим у-у0= f ′(х0) ·(х-x0).


40.

Какой вид имеет формула Лагранжа?

f ′(с)=tgα= , α- угол наклона касательной l и осью абсцисс (или угол наклона секущей АВ), т.к. l||АВ.А(а; f (а))

В(в; f (в)).

41.

Лагранж Жозеф Луи-

Французский математик и механик.

42.

Какие точки называются особыми точками функции?

Точки, в которых производная не существует. Это точки, в которых нарушается плавность линии ( скачкообразное движение или точка излома). Например:

у=|х|, х=0- особая точка. В этой точке производная не существует. х=0- точка излома.

43.

Чем является предельное положение секущей при х→0?

Есть касательная.

44.

Можно ли определить по графику функции дифференцируемость функции в данной точке?

Можно. Существование невертикальной касательной ( или нет излома).

45.



Что такое касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции?

Это прямая, п и имеющая угловой проходящая через точку (х0; f (х0)) и имеющая угловой коэффициент k= f ′(х0).

46.

Для чего нужны построения касательных в отдельных точках?

Позволяет более точно строить эскизы графиков.

47.

Как выводится уравнение касательной?

у=kх+в- общий вид уравнения прямой, где k= f ′(х0), т.к. прямая проходит через точку (х0; f (х0)), то у0= f ′(х0).х+в. Отсюда найдем

в= f (х0)- f ′(х0).х.Значит у-у0= f ′(х0).(х-х0)

48.

Выведите формулу Лагранжа.

l- касательная, АВ- секущая, с- абсцисса точки касания. f ′(с)= tgα= , α- угловой коэффициент секущей.

49.

Где применяется формула Лагранжа?

Для определения угла наклона секущей к положительной полуоси Ох.

50.

Какую формулу применяют для нахождения углового коэффициента секущей?

Формулу Лагранжа.

51.

Когда касательная параллельна оси Ох?

k= f ′(х0)= tgα=0 => α=0.

52.

Как можно найти угол наклона касательной к оси Оу?

90º-α, если угол α острый и α-90º, если α- тупой угол.

53.

Как обозначается по времени производная при решении задач по физике ?

Обозначается обычно не штрихом, а точкой. Например: v=(читается «х с точкой».

54.

Что называют дифференциалом функции?

дифференциалом функции называют произведение её производной на приращение аргумента.

55.

Задайте формулой дифференциал функции.

dy= df=(x)/

dy =

56.

Выразите через координату точки х=х(t) и её производные скорость, ускорение, силу, импульс и кинетическую энергию.

v= (вторая производная от х). Сила F= , где m- масса. Сила- производная работы по времени.

Импульс Р=mv=. Кинетическая энергия Е=. Работа A=F(x)dx (работа=силадлину пути). Сила тока- производная заряда по времени. Линейная плотность- это производная массы(стержня) по его длине. Теплоемкость- производная теплоты по температуре. Мощность- производная работы по времени.

57.

Чем отличается приращение функции от её дифференциала, т.е. dy от ?

dy, т.е. при . поэтому говорят дифференциал есть главная часть приращения функции.


58.

В чем геометрический смысл дифференциала функции?

Дифференциал функции f- это линейная функция, графиком которой является касательная к графику функции f. dy= f ′(х0)dx- уравнение касательной к графику функции f , записанное в системе координат (dx;dy), получается от параллельного переноса начала координат О(0;0) в точку А(х00).

59.

Перечислите формулы дифференцирования.





60.

Сформулируйте алгоритмы:

  • отыскания производной;

  • составления уравнения касательной к графику функции;

  • исследования функций на монотонность и экстремумы;

  • отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.


Если ученик может дать себе по данной теме вопрос и ответить на него, то можно считать, что он усвоил теоретическую часть нового материала. Это можно проверить путем проведения соревнования типа «Кросс- опрос». Правила игры таковы: За вопрос- 1 очко, за ответ- 2 очка. За вопрос составленный самостоятельно из дополнительных источников-2 очка. За ответ- 3 очка. По количеству правильных вопросов и ответов (фишек) в конце урока ставится оценка. Следует отметить, что при проведении опроса в виде соревнования активность учащихся резко возрастает.

Похожие:

«Производная» iconПравила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
«Производная» iconЧастная производная в точке M(x,y)
Частная производная находится как производная функции по аргументу в предложение, что
«Производная» iconПроизводная Оглавление Таблица и правила нахождения производно
Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя,...
«Производная» iconДифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f
Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...
«Производная» iconВыпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй...
«Производная» iconПроизводная и дифференциал высших порядков
Если же существует производная от функции, то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке...
«Производная» iconВопросы к экзамену по курсу «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато, по Фреше, строгая производная
«Производная» iconДифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функ­ции
«Производная» iconДифференциальное уравнение
Где сила f является функцией координат и времени, ускорение a = v'(t) = x''(t) — производная скорости и вторая производная координаты...
«Производная» iconВопросы к экзамену по курсу А. В. Дмитрука «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато, по Фреше, строгая производная. Теорема...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org