Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений»

Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса факультета ТЭС. По этой теме приведены три варианта заданий на нахождение решений систем линейных уравнений 3-го порядка по формулам Крамера и методом Гаусса. В решении данной контрольной работы дан необходимый теоретический материал в виде формулировок теорем, определений, свойств и формул. Вариант 1 Задание: решите систему по формулам Крамера и методом Гаусса. Формулы Крамера Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными D≠0, то система совместна и имеет единственное решение, выражаемое по следующим формулам: Х1= , X2 =, … , xn=. Dn - это определитель, который получается из определителя системы путем замены только n-го столбца столбцом свободных коэффициентов системы. Рассматривают различные случаи: 1. Система является совместной и определённой, если её определитель D≠0. 2 .Система является совместной, но неопределённой, если все её определители равны нулю: D=D1=D2=…=Dn=0 3.Система несовместна, если только определитель системы D=0 Определители можно вычислять различными методами: используя свойства определителей, по правилу треугольников, по правилу Лапласа. Свойства определителей 1. Транспонирование определителя, т.е. замена строк столбцами и наоборот, не меняет его значения. 2. Перестановка любых двух строк (столбцов) меняет только знак D. D’=-D 3. Общий множитель всех элементов одной строки (столбца) можно выносить за знак D. 4. Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны или пропорциональны, то определитель равен 0. 5. Если элементы какой-либо строки (столбца) состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, различающихся между собой только элементами одной строки (столбца), бывшими ранее отдельными слагаемыми. 6. Если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки или одинаково пропорциональные им числа, то исходный определитель не изменится. Правило треугольников: Формула Лапласа Формула Лапласа формулируется теоремой: Определитель равен сумме произведений элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Алгебраическим дополнением элемента aik данного D называется минор Мik , взятый со знаком «+», если (i+k)- четное число, и со знаком «-», если (i+k)- нечетное число. Если в данном определителе вычеркнуть элементы i-й строки и k-го столбца, то останется определитель, имеющий порядок на единицу меньше, чем данный. Этот D называется минором элемента аik и обозначается Мik. Решение Определитель системы вычислим по правилу треугольников D= = 42+36+2-(-21+36-4) = 69 ≠ 0 D1, D2, D3 подсчитываются по формуле Лапласа. D1= = (определитель разложим по первому столбцу) =19 · - 30 · - 1 · = 19·(42+4)-30·(18-1)-1·(12+7) = 19·46-30·17-19 = 345 D2 = = (разложим по второму столбцу) = -19 · +30 · +1· = = -19·(12-12)+30·(6+3)+(4+2) = 30·9+6 = 276 D3= = (разложим по третьему столбцу) = 19 · - 30 · -1 · = = 19·(-23)-30·(-10)-1·1 = -138 х1==5; х2==4; х3== -2 Ответ: (5; 4; -2). Метод Гаусса: Составим расширенную матрицу системы и приведём её с помощью равносильных преобразований к ступенчатому виду (по главной диагонали единицы, под ними нули). А'= Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответственным элементам второй строки, а так же на (-3) и прибавим к соответственным элементам третьей строки. Умножим элементы второй строки на 10 и прибавим к соответственным элементам третьей строки Разделим элементы третьей строки на 69 Этой матрице соответствует система, равносильная данной: ~ ~ Ответ: (5; 4; -2). Вариант №2 Решение по формулам Крамера: Вычислим определители по правилу треугольников: D = = 9-20-2-5+12+6 = 0 D1= =24-16+4-4-24+16=0 D2= = -18+40+4+10-24-12=0 D3= =12+40-16-40+16-12=0 D=D1=D2=D3=0 è система совместная неопределённая Метод Гаусса: A' = Переставим первую и вторую строки местами Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к соответственным элементам второй строки, а так же на (-5) и прибавим к соответственным элементам третьей строки. Удалим третью строку и поделим элементы второй на (-7) Матрице соответствует трапецевидная система (последнее уравнение содержит более одного неизвестного). x3 - свободная переменная, принимает любые значения из области действительных чисел R. Ответ: (-х2 -х3 -2; -х3 -2; х3 R). Вариант №3 Решение по формулам Крамера: Вычислим определители по правилу треугольников: D= = 4+24+6-4-6-24 = 0 D1= = 4+0+18-0-18-24 = -20 ≠ 0 D2= = 12+16+0-12-4-0 = 12 ≠ 0 D3= = 0+36+12-8-0-36 = 4 ≠ 0 D=0 D1, D2 и D3 ≠ 0 è Система несовместна, т.е. не имеет решений. Метод Гаусса: A' = Переставим местами первую и вторую строки Умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к соответственным элементам третьей строки. Третьей строке соответствует уравнение: 0•x+0•y+0•z = -4 Равенство неверное è решений нет. Ответ: система несовместна.

Похожие:

	Методические рекомендации к решению контрольной работы по теме "предел функции" Применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения запишем		Решение задач с помощью системы уравнений Учитель Данный урок предпоследний перед написанием контрольной работы по теме «Системы двух уравнений с двумя неизвестными»
	Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...		Решением системы линейных уравнений Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными
	Примерный вариант контрольной работы №1 по разделам «Матрицы и определители» и «Системы линейных уравнений» «Элементы векторной алгебры», «Элементы аналитической геометрии», «Линейные отображения»		Лекция № Методы решения систем линейных уравнений Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных....
	Отчет о выполнении задания по теме "Системы линейных алгебраических уравнений" Написать программу на языке matlab, реализующую заданный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. В качестве входных...		Системы линейных уравнений Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают...
	Линейных уравнений Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Разрешенная система линейных уравнений		Решение линейных уравнений с параметром Обучение решению линейных уравнений с параметром на основе применения свойств уравнений