Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей



Скачать 34.36 Kb.
Дата28.11.2012
Размер34.36 Kb.
ТипДокументы
Численное решение нестационарной задачи теплопроводности

Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей.

  1. на расчетную область наносим регулярную разностную сетку.



2. Температуру как непрерывную функцию координат и времени заменяем дискретными значениями в узлах этой сетки.



точка (i, j) - текущее мгновенное положение вычисления

t = f(x, y) → Ti, j , i=0, ..., N; j=0, ..., M

t = f(x, ) → Tik , i=0, ..., N; k=0, ..., K
k=0 → начальное температурное поле

k – номер временного слоя

hk – шаг по времени


при сгущении сетки, кусочная аппроксимация всегда стремится к точному описанию функции.

3. Все непрерывные производные заменяем их разностными аналогами.

(первая производная)

1) (ti – ti-1)/hx – левая разность

2) (ti+1 – ti)/hx – правая разность

3) (ti+1 – ti-1)/(2*hx) – центральная разность

Первую производную желательно аппроксимировать центральной разностью, как наиболее точной.



k=0 1 2 временная шкала
Временную производную – правой или центральной разностью, т.к. принципиальной разности нет.

→ правая разность

- известно

- неизвестно

(вторая производная)

4. Разностный аналог (краевой задачи) дифференциального уравнения теплопроводности.





1) если вторую производную записать на старом (k – ом) временном слое

(*)

тогда в уравнение (*) будет единственная неизвестная величина ; можно явно выразить неизвестную величину и рассчитать новую температуру () для всех точек области.

Такая схема называется явной.


«+»:

- просто и быстро программируется

- решение системы уравнений заменяется простым расчетом по набору формул

«-»:

- является устойчивой только в ограниченном диапазоне временных шагов

- при решении на реальных сетках, шаг по времени получается очень мелкий (доли секунд), а реальные процессы длятся минутами или часами объемные вычисления
2) если в уравнении (*) вторую производную взять на новом (k+1) временном слое,



тогда известной является только , все остальные неизвестны.

получится система (N-2) линейных алгебраических уравнений с таким же числом неизвестных. Матрица коэффициентов получится ленточной с шириной 3 (трехдиагональная), система решается модифицированным методом Гаусса (прогонкой).

Схема называется неявной.

«+» абсолютно устойчива при любых временных шагах, нетребовательна к памяти, малые временные затраты.

«-» повышенная трудоемкость при реализации (программировании).
Аппроксимация граничных условий

Граничные условия третьего рода:









  • Формулируем конкретную краевую задачу.

  • Записываем для всех внутренних точек разностные аналоги дифференциальных уравнений, для граничных точек – аналоги Г.У.

  • Решаем полученную систему уравнений на каждом временном слое.

Похожие:

Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconЛ 12. Метод конечных разностей
Эвм. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconГ. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток
Рассматриваются вопросы конструирования ортогональных или близких к ним сеток (квазиортогональных), построения дискретных моделей...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconРешение задачи можно проиллюстрировать следующим рисунком: Схема аппроксимации
В качестве метода решения рассмотрим метод сопряжённых градиентов с диагональным предобуславливанием для ускорения сходимости системы...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconРешение дифференциального уравнения методом (задачи Коши) Эйлера
Это простейший численный метод решения задачи Коши. Его точность невелика и применяется он в основном для прикидочных расчетов. Численный...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconРешение задачи Коши это получение одного частного решения с начальным значением. Все методы решения этой задачи основаны на дискретизации и интерполяции, как и численное дифференцирование, которое они используют
Но для большинства уравнений такое решение невозможно, и в этих случаях применяют численные методы. Отметим, что численные методы...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconВопросы к экзамену по курсу лекций "Обратные задачи"
Задача для уравнения теплопроводности с обратным временем; единственность решения
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconРешение нелинейных уравнений. Постановка задачи. Метод хорд. Демонстрация схемы метода на конкретном примере
Моделирование как метод решения прикладных задач. Вычислительный эксперимент и его погрешность. Погрешности машинной арифметики
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconИспользование конечных автоматов для вычисления арифметических выражений. Выполняли
Рассмотрев примеры использования конечных автоматов для задач синтаксического анализа, мы решили изучить возможность использования...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconРешение неоднородного уравнения теплопроводности с общими краевыми условиями в среде Maple
Схема решения этой задачи во многом напоминает ту, которая была описана в пункте 6 данного параграфа. Поэтому мы не будем подробно...
Решение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей iconЗадача современной школы сформировать способность быть успешным в условиях динамично развивающегося современного общества. Для решения этой задачи применяются многочисленные инновационные технологии: метод проектов, обучение в
Для решения этой задачи применяются многочисленные инновационные технологии: метод проектов, обучение в сотрудничестве, «портфолио...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org