Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов



Дата28.11.2012
Размер88.5 Kb.
ТипДокументы
Параграф 1. Понятие числовой последовательности и её пределов.

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1,2… ставится в соответствие по определенному закону, вещественное число x1, x2… (пронумерованная последовательность действительных чисел x1 x2.. ) называется числовой последовательностью.

Числа Xn называются элементами или числами последовательности.

Числовую последовательность иногда задают общей формулой её n-ого члена (последовательность называют функцией натурального аргумента)

….. пример числовой последовательности

Числовая последовательность Xn называется ограниченной сверху(снизу) если найдется такое действительное число M(n), что для всех членов последовательности будет выполнятся …………

М - Верхняя грань

м - Нижняя грань
Условие ограниченности поверхности сверху: Xn<=M, снизу: Xn>=m.

Последовательность называется ограниченной если она ограничена и сверху и снизу, т.е найдутся такие числа м, М что будет выполнятся X<=Xn<=M
Последовательность ограничена если найдется такое действительно е положительное число А, что для всех элементов последовательности будет выполнятся ……
Последовательность неограниченна - для любого, сколь угодно большого положительного числа А найдется такой член последовательности, что ……..
Последовательность является ббп если для любого сколь угодно большого полож. Числа A найдется такой номер N, обеспечивающее XnN

Теорема: всякая ббп неограниченна.
Последовательность является бмп если для любого сколь угодно малого полож. Числа Е найдется такой номер N, обеспечивающее Xn=
=N

Теорема:

Всякая бесконечно малая последовательность – ограниченная.
Если Уn - ббп то начиная с некоторого номера можно cоставить частное 1/Yn и последовательность 1/Yn – бмп.
Последовательность называется сходящейся, если существует действительное число A, что последовательность (Xn-A) - бмп.
Последовательность Xn называется сходящейся числу А если для любого сколь угодно малого числа Е найдется такой номер N зависящий от Е и обеспечивающий выполнение неравенства ……… для всех членов последовательности с номерами n>=N. Тогда число А называется пределом последовательности - обозначают …….

Запишем неравенство (1) в эквивалентной форме.

………………………..

……………………….

(а-Е,а+Е) наз-ся эпсилон-окрестностью точки А и обозначается U(а,Е)
Последовательность сходится к числу А если начиная с некоторого номера все члены последовательности попадают в Е окрестностью т. А.
Замечание : 1)Удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на процесс её сходимости и величину предела.

2)Последовательность не сходящаяся – расходящаяся.

Теорема. Сходящаяся последовательность ограниченная и имеет единственный предел.

Теорема: «Предельный переход по знакам неравенства.»

Пусть числовая последовательность имеет предел х. и, начиная с некоторого номера, для всех членов последовательности выполняется …… тогда ……..
Параграф 2. Предел функций.

Пусть функция определена на числовом множестве X и точка А обладает свойством, что в любую дельта-окрестность этой точки попадают элементы множества Х. Проколотой дельта-окрестностью точки А называется дельта окрестность т.А, из которой удалили т.А.
Определение предела функции по Гейне

Число b называется пределом функции в т. а ( при х  а) если для любой сходящейся последовательности аргумента к числу а соответствующей числовой последовательности значение функции сходится к b.
Определение предела функции по Коши.

Число b называется пределом функции …… в т. а (ха) если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число дельта, зависящее от Е, что для всех Х из проколотых дельта- окрестностей точки А будет выполнятся …………
Теорема:

Определение предела функции по Гейне и Коши эквиваленты
Определение правого (левого) предела функции по Гейне:

Число В называется правым (левым) пределом функции в точке х=а, если для любой последовательности аргумента, сходящейся к А и состоящей из чисел больше (меньше) А соостветствующая последовательность значений функций сходится к В.
Определение правого (левого) предела функции по Коши:

Число В называется правым (левым) пределом функции в точке а (х=а), если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное дельта, зависящее от Е, что для всех Х, удовлетворяющ. Неравенству ……………. Будет выполняться…………………

Правый предел обозначается:….

Левый предел обозначается:….
Теорема:

Для того что бы в точке х0 функция имела предел, необходимо и достаточно чтобы в этой точке она имела оба односторонних предела ( левый и правый) и они были равны между собой.

Теорема: Если функция имеет предел в т. х0, то он единственен.
Определение предела функции при хбесконечности по Гейне.

Число называется пределом функции при хбесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности аргумента Xn cоответсвующая последовательность значений функции сходится к В.
Определение предела функции при хбесконечности по Коши:

Число b- предел функции при хбесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется полож. Дельта (б) зависящее от эпсилон (Е), что для любого х удовлетворяющего неравенству …… будет выполнятся ………..

Функция L(x) называется бесконечно малой в т. х0, если в этой точке она имеет предел и он равен нулю.

…………….

Св-ва бесконечно малых функции

  1. сумма конечного числа бесконечно малой функции есть бесконечно малое

  2. функция равная произведению бм на ограниченную есть бм

Примечание:

Функция называется ограниченной, если существует такое число А>0, что для всех значений аргумента из области определения функции будет выполнятся ……

3)Произведение конечного числа бесконечно малых - бесконечно малое
Функция называется бесконечно большой в т. х0, если для любой последовательности аргумента Xn сходящихся в т. х0 соответствующая последовательность

….. – яв-ся бесконечно большой
Св-ва функции имеющих конечный предел в точке.

.

.

.

.

.

.

.

.

Параграф 3. Неопределенные выражения

Свойства записанные в предыдущем параграфе не рассматривают случай когда 1 или оба предела функции равны бесконечности и случаи для свойства 4, когда b=0

Рассмотрим их

.

.

.

.

.

.
Мы получим 4 случая когда пределы арифметических выражений нельзя определить по пределам функции

.

.

.

.
Нахождение пределов в каждом из этих случаев наз-ся раскрытием неопределенности
Раскрытие простейших случаев неопределенности

.

.

.

.
Если при подстановке в многочлен числа X0 он превращается в ноль, это означает что х0 является корнем этого многочлена и может быть представлен в виде

.

.
Неопределенность сохраняется – процедуру повторить.

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Теорема

………..

Классификация беск.малых:

Рассмотрим предел их отношений

……..

1)если ……….

То L(x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем B(х) если ……

………

2)если ………….. то L(x) бесконечно малое, более низкого порядка малости чем B(х) = 0(L(х))
3)если ………..

То L(x) и В(x) бесконечно малые одного порядка
если L(x) и В(x) Бесконечно малые а предел их отношений не существует, то L(x) и В(x) несравнимые бесконечно малые
б.м. В(x) называется бесконечно малого К-порядка относительно б.м L(x). Если L(x) и В(x) – бм одного порядка, т.е. ……………
Две бесконечно малые называются эквивалентными, если их разность бесконечно малая более высокого порядка чем каждая из них……………….

Теорема

……………

Таблица эквивалентности:

Если u(х) – б.м. при хх0

.

.

.

.

.

.
Непрерывность функции.

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. х0 если она имеет предел в этой точке и он равен значению функции в этой точке

  1. ………..

Если условие (1) нарушается, то в точке х0 функция имеет разрыв.

Определение непрерывности функции можно дать другими терминами.

Если рассмотрим переход от х0 к х как то, что аргументу дано приращение ……… тогда значение функции получит приращение

……………….
Функция будет непрерывной в т. х0 если её приращение будет стремится к 0 , при стремлении приращения аргумента к 0.

…………
Y=f(x) непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение аргумента. Поскольку определение предела мы давали по Гейне и Коши, то непрерывность функции можно рассмотреть с позиции их определений.
Непрерывность функции по Гейне, какую бы последовательность из промежутка Х : х1,х2….хn сходящуюся к х0 не взяли, соответствующая последовательность значений функции будет сходится к f(x0)

Непрерывность функции в точке по Коши:

Функция y=f(x) является непрерывной в т. Х0 если для любого сколь угодно малого положительного числа Е>0 ………..

Последнее неравенство должно выполнятся в сколь угодно малой дельта-окрестности т.Х0.

При рассмотрении предела (1) Х могло стремится к Х0, как справа так и слева, в рамках промежутка Х.

Введем понятие односторонней непрерывности.

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. Х0 слева, справа если выполняется

………………

…………….. (2)
Если т. х0 является концом промежутка Х, то для этой точки можно говорить только об односторонней непрерывности.

Если т. х0 является внутренней точкой Х, то выполнение условие (1) равносильно одновременному выполнению (2) , т.е если т. х0 – точка непрерывности функции, то функция в этой точке одновременно непрерывна и справа и слева.

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка

Точки, в которых функция терпит разрыв – точки разрыва функции.
Точка разрыва функции называется точкой разрыва 1го рода, если она имеет в этой точке оба односторонних прела и при этом они конечны.

………………………..

Если односторонние пределы равны м\у собой, то точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва.
Если односторонние пределы не равны м\у собой, то точка разрыва первого рода называется точкой конечного разрыва или точкой скачка функции, при этом скачок

……….

………..

……….
Точка разрыва функции х0 называется точкой разрыва 2го рода если хотя бы один односторонний предел бесконечен или не существует.

Свойства непрерывных функций:

  1. Арифметические действия над непрерывными функциями

F(x) и G(x) определены в т.Х и непрерывны в Х0, тогда……….

  1. Непрерывность элементарных функций: все элементарные функции непрерывны на своей области определения

  2. Суперпозиция непрерывных функций:

Пусть функция f(у) определена в У, а f(х) в Х. При этом все значения функции f(x) попадают в промежуток Х, тогда если функция f(у) непрерывна в точке Х0 и f(x0)=y0, то сложная функция ….. будет непрерывна в т. Х0

  1. 1 теорема Больцана-Коши:

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке АВ и принимает на концах отрезка значения разных знаков ….., тогда найдется т.С, принадлежащая отрезку-интервалу АВ, что f(c)=0. Геометрический смысл: если кривая переходит с одной стороны оси Х на другую, то она пересекает эту ось.

  1. 2 теорема Больцана-Коши:

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке АВ и значения функции на концах отрезка совпадают.

…….. найдется такая точка С, принадлежащая АВ…………..

  1. 1 теорема Вейерштрасса:

Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке АВ, то она ограничена на этом отрезке, т.е. найдутся такие числа m и M, что для всех x из АВ будет выполняться ……………

  1. 2 теорема Вейерштрасса:

Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке АВ, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

  1. Существование обратной функции: функция называется неубывающей (невозрастающей), если для любых чисел выполняется ……………..

Неубывающая и невозрастающая функции называются строго-монотонными. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей), если для чисел ………………………….. Возрастающее и убывающее называются строго-монотонными.

Похожие:

Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов icon3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды
Перестановка пределов двойной числовой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных...
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconЧисловые ряды Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconПрограмма государственного экзамена Направление подготовки 230400 «Прикладная математика»
Предел числовой последовательности. Свойства пределов последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности,...
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconВопросы к экзамену вм семестр 2 Понятие о числовой последовательности

Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconПредел числовой последовательности
Нам предстоит изучить теорию предела на более общей основе, с необходимой глубиной и строгостью, что позволит расширить круг приложений...
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconПредел числовой последовательности и понятие предела функции
Согласно методу «точечное описание движения», изменение любой переменной величины представляют как последовательность «точек» на...
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconСамостоятельная работа 1 Предел числовой последовательности
Укажите номер того члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconПредел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются...
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconЧисловая последовательность
В этой Главе элементы числовой последовательности будем обозначать (), а сами последовательности
Параграф Понятие числовой последовательности и её пределов iconЧисловые последовательности
Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности. Т. к члены последовательности действительные числа, то...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org