Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана на два академических часа и выполняется самостоятельно. В каждом варианте 7 заданий.
Выполнение заданий №1, №2, №4 предполагает знание основных правил дифференцирования и правила дифференцирования сложных функций с помощью таблицы производных.
Основные правила дифференцирования таковы:
Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда
1)
2)
3) ,
4) , где C – const. Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда
1., C – const
2., n – const
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13., , ,
a – const
14.
15., , ,
a – const
16.
В задании №3 нужно найти производную третьего порядка согласно формулам:
, .
Задания №5-№7 посвящены приложениям производной. В зависимости от номера варианта нужно уметь составить уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке, вычислить приближенно некоторое арифметическое выражение с помощью формул приближенных вычислений, по закону движения точки найти её скорость и ускорение, найти предел функции в точке (предполагается знание правила Лопиталя).
Примерные варианты контрольной работы Вариант-1.
Задание №1.
Найти производную и дифференциал:
Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .
По формуленайдем производную данной функции.
[Производную дроби находим по правилу дифференцирования ]
. Дифференциал функции ищем по формуле: .
Ответ:; .
Задание №2.
Найти производную и дифференциал: . Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1) ;
2)
[справедливы следующие формулы:]
. Дифференциал функции ищем по формуле: . .
Ответ: ;
Задание №3.
Найти -? Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой:
.
. Найдем . Теперь найдем . . Ответ:.
Задание №4.
Доказать, что . Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования:, т.е.
. Получим, что левая часть равна правой.
Что и следовало доказать.
Задание №5.
Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону , . Определить скорость и ускорение движения в момент времени . Решение:
;
Ответ:; .
Задание №6.
Вычислить приближенно: .
Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу:
(*)
В нашем случае следует взять . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, x = 0,5 .
Найти производную и дифференциал: Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .
По формуле найдем производную данной функции.
[производная дроби находим по правилу дифференцирования ] =. Дифференциал функции ищем по формуле: Ответ:; .
Задание №2.
Найти производную и дифференциал: Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1)
2)
[справедливы следующие формулы:
.
Дифференциал функции ищем по формуле:
Ответ:
Задание №3.
Найти:
Решение: найдем от данной функции, используя формулу и правило дифференцирования
. Найдем .
. Теперь найдем
Ответ:.
Задание №4.
Определить:
Решение: 1). Найдем по формуле
2). Воспользовавшись формулой , найдем производную функции .
3). 4). Получили, что .
Что и требовалось доказать.
Задание №5.
Составить уравнение касательных к параболе в точках с ординатой равной 1. Решение: запишем уравнение касательной .
В нашем случае .
Для нахождения , подставим значение в заданную функцию.
Получили две точки: .
Ответ:.
Задание №6.
Вычислить приближенно: Решение: Для приближенного вычисления будем использовать формулу: В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, .
Дополнительно можно воспользоваться следующей литературой.
Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Под редакцией Б.П. Демидовича.
Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Л.Г. Кудинова. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания. М.:МГАВМ и Б им. К.И. Скрябина, 2006г.
Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Т.В. Федькина. Функции нескольких переменных. Учебно-методические указания. М.: ФГОУ ВПО МГАВМ и Б им. К.И.Скрябина, 2004г.
Урок закрепление по теме: «Производная» Цель урока: обобщить знания по теме «Производная степенной функции, тригонометрических функций, сложной функции», развивать навыки...