Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной»

Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» для студентов ФЗТА. Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана на два академических часа и выполняется самостоятельно. В каждом варианте 7 заданий. Выполнение заданий №1, №2, №4 предполагает знание основных правил дифференцирования и правила дифференцирования сложных функций с помощью таблицы производных. Основные правила дифференцирования таковы: Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда 1) 2) 3) , 4) , где C – const. Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда 1. , C – const 2. , n – const 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. , , , a – const 14. 15. , , , a – const 16. В задании №3 нужно найти производную третьего порядка согласно формулам: , . Задания №5-№7 посвящены приложениям производной. В зависимости от номера варианта нужно уметь составить уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке, вычислить приближенно некоторое арифметическое выражение с помощью формул приближенных вычислений, по закону движения точки найти её скорость и ускорение, найти предел функции в точке (предполагается знание правила Лопиталя). Примерные варианты контрольной работы Вариант-1. Задание №1. Найти производную и дифференциал: Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где . По формуленайдем производную данной функции. [Производную дроби находим по правилу дифференцирования ] . Дифференциал функции ищем по формуле: . Ответ: ; . Задание №2. Найти производную и дифференциал: . Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1) ; 2) [справедливы следующие формулы:] . Дифференциал функции ищем по формуле: . . Ответ: ; Задание №3. Найти -? Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой: . . Найдем . Теперь найдем . . Ответ: . Задание №4. Доказать, что . Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования:, т.е. . Получим, что левая часть равна правой. Что и следовало доказать. Задание №5. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону , . Определить скорость и ускорение движения в момент времени . Решение: ; Ответ: ; . Задание №6. Вычислить приближенно: . Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу: (*) В нашем случае следует взять . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, x = 0,5 . Подставим эти значения в формулу (*): Ответ: . Задание №7. Найти: . Решение: [Воспользуемся правилом Лопиталя: ]= Ответ: . Вариант - 2. Задание №1. Найти производную и дифференциал: Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где . По формуле найдем производную данной функции. [производная дроби находим по правилу дифференцирования ] =. Дифференциал функции ищем по формуле: Ответ: ; . Задание №2. Найти производную и дифференциал: Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1) 2) [справедливы следующие формулы: . Дифференциал функции ищем по формуле: Ответ: Задание №3. Найти: Решение: найдем от данной функции, используя формулу и правило дифференцирования . Найдем . . Теперь найдем Ответ: . Задание №4. Определить: Решение: 1). Найдем по формуле 2). Воспользовавшись формулой , найдем производную функции . 3). 4). Получили, что . Что и требовалось доказать. Задание №5. Составить уравнение касательных к параболе в точках с ординатой равной 1. Решение: запишем уравнение касательной . В нашем случае . Для нахождения , подставим значение в заданную функцию. Получили две точки: . Ответ: . Задание №6. Вычислить приближенно: Решение: Для приближенного вычисления будем использовать формулу: В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, . Подставим эти значения в формулу: Ответ: Задание №7. Найти: Решение: = [Воспользуемся правилом Лопиталя: ]= . Ответ: . Вариант-3. Задание №1. Найти производную и дифференциал: Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где . По формуле найдем производную данной функции. [производную дроби находим по правилу дифференцирования ]= = . Дифференциал функции ищем по формуле: Ответ: ; . Задание №2. Найти производную и дифференциал: . Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1) ; 2) =[справедливы следующие формулы: ; ]= =. Дифференциал функции ищем по формуле: Ответ: ; . Задание №3 . Найти -? Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой . Найдем Теперь найдем . Ответ: . Задание №4. Доказать, что . Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования: , т.е. Получаем, что левая часть равна правой. Что и требовалось доказать. Задание №5. Тело движется прямолинейно по закону. Найти скорость и ускорение движения в конце 1-ой секунды. Решение: ; Т.к. в нашем случае , то . Ответ: ; . Задание №6. Вычислить приближенно . Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу: (*). В нашем случае следует взять ; ; . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, . Подставим эти значения в формулу (*): Ответ: . Задание №7. Найти: Решение: =[Воспользуемся правилом Лопиталя: ]= Ответ: . Дополнительно можно воспользоваться следующей литературой. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Под редакцией Б.П. Демидовича. Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Л.Г. Кудинова. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания. М.:МГАВМ и Б им. К.И. Скрябина, 2006г. Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Т.В. Федькина. Функции нескольких переменных. Учебно-методические указания. М.: ФГОУ ВПО МГАВМ и Б им. К.И.Скрябина, 2004г.

Похожие:

	Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана...		Занятие №1 Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы,...
	2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...		Контрольная работа. Раздел «Предел и непрерывность функции действительной переменной» Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольная работа, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиумы)
	Лабораторная работа №9. Тема. Построение графика функции одной переменной в среде Matchcad Цель. Закрепить знания построения графика функции одной переменной. Научиться строить графики тригонометрических функций в среде...		Урок закрепление по теме: «Производная» Цель урока: обобщить знания по теме «Производная степенной функции, тригонометрических функций, сложной функции», развивать навыки...
	Контрольные вопросы к зачету по предмету " Математика" Постоянные и переменные величины. Понятие функции с одной переменной. Область определения и область изменения функции. График функции...		Правила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
	Контрольная работа №3 «Уравнения и неравенства с одной переменной»		Дифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...