Производная, ее геометрический и физический смысл



Скачать 96.84 Kb.
Дата28.11.2012
Размер96.84 Kb.
ТипДокументы
  1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ



Приращением функции y = f(x) называется разность



где x - приращение аргумента x. Из рис. 1 видно, что

(1)



Рис. 1
Производной функции y = f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

(2)

Если указанный предел в формуле (2) существует, то функцию f(x) называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения производной y - дифференцированием.

Пример 1. Найти производную функции y = x2 в точке x = 3.

Решение. При любом приращении x имеем:





Касательной называется прямая к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей М1(x1, f(x1)) к первой М0(x0, f(x0)).



Рис. 2
Запишем уравнение секущей



и устремим вторую точку секущей к первой, тогда поскольку

,

то вычисление предела дает

- (3)

уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке М0(x0, f(x0)), где угловой коэффициент касательной

kкас = tg = f(x0).

Производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М0(x0, f(x0)), к графику функции

y = f(x).

Получим уравнение нормали. Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.


,

где



Уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке М0(x0, f(x0)):

(4)

При f (x0) = 0 уравнение нормали имеет вид x = x0.

Пример 2. Найти уравнение касательной и нормали для функции f (x) = x2 в точке x0 = 3.

Решение. Используя результат примера 1 и (3)-(4), имеем

f (3) = 6, f (3) = 32 = 9,



Предположим, что функция S = S(t) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии. Средней скоростью движения за время t называют , а предел отношения при t0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени t



Если скорость движения V не постоянна и сама изменяется с течением времени t: V = f(t), то рассматривают ускорение - «скорость изменения скорости». Именно если приращение времени t отвечает приращению скорости V, то отношение

выразит среднее ускорение за промежуток времени t, а предел его даст ускорение движения в данный момент времени:

.

Таким образом, ускорение есть производная от скорости по времени.

  1. ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ



Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифферен-цируемые функции, то справедливы следующие правила дифферен-цирования:















  1. если y = f(u), u = (x), т. е. y = f( (x)) - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то


На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

  1. X.

  2. XI.

  3. XII.

  4. XIII.

  5. XIV.

XV..










Пример 3. Воспользовавшись определением производной (см. формулу (2)), найти производную функции

Решение. Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y:



Так как



то



Следовательно, по определению производной



Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Пример 4.

Решение.





Пример 5.

Решение.



Пример 6.

Решение. Перепишем заданную функцию в виде , тогда



Пример 7.

Решение.



Пример 8.

Решение. Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции



Пример 9.

Решение.

Пример 10.

Решение. Пусть , тогда y = ln u и по правилу восьмому (с. 6)



Пример 11.

Решение. Пусть тогда



Пример 12.

Решение.



Пример 13.

Решение.




  1. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ



Логарифмической производной функции y = f(x) называется производная от логарифма этой функции, т. е.



Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции , где и , предварительное логарифмирование приводит к формуле



Пример 14. Найти производную функции



Решение. Логарифмируя заданную функцию, получаем



Дифференцируем обе части последнего равенства по x:



Отсюда

,



Окончательно имеем



  1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ



Если зависимость между переменными x и y задана в неявном

виде уравнением F(x, y) = 0, то для нахождения производной в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(x, y) = 0, считая у функцией от x, и из полученного уравнения, линейного относительно y, найти производную.

Пример 15.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения, считая y функцией от x:



Отсюда находим









  1. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ



Производной второго порядка (второй производной) функции y = f(x) называется производная от ее первой производной, т. е.



Аналогично производная третьего порядка функции y = f(x) есть

производная от производной второго порядка:



Вообще, производной n-го порядка от функции y = f(x) называется производная от производной (n-1) - го порядка:



Обозначается n-я производная одним из следующих символов:



Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Если S = S(t) - закон прямолинейного движения материальной точки, то скорость v = S(t), а вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения.

Пример 16. Найти производную третьего порядка



Решение. Находим первую производную:



Далее





Пусть , где имеют производные любого порядка. Тогда







(5)

Формула (5) называется формулой Лейбница.

Пример 17. Вычислить четвертую производную функции



Решение. Полагая u = x4 и v = sin x, найдем





Подставляя найденные значения производных в формулу (5), получим:



  1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ



Если зависимость функции y от аргумента x задана в параметрическом виде уравнениями: , то производные вычисляются по формулам:

(6)

(7)

Пример 18. Найти вторую производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. В соответствии с формулами (6) - (7) имеем:

.


КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ





  1. Найти производную функции , воспользовавшись определением производной (см. формулу(2)).




  1. Найти производные следующих функций:

  1. 2.16.

  2. 2.17. ;

  3. 2.18. ;

  4. 2.19.

  5. 2.20.

  6. 2.21.

  7. 2.22.

  8. 2.23.

  9. 2.24.

  10. 2.25.

  11. 2.26.

  12. 2.27.

  13. 2.28.

  14. 2. 29.

  15. ; 2.30.




  1. Применяя метод логарифмического дифференцирования, найти производные функций:














  1. Найти производные от неявных функций:









  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .




  1. Найти y и y.

  1. ;

  2. . ;

5.3. ;

5.4. ;

  1. .




  1. Найти уравнение касательной и уравнение нормали к кривой в точке М0(x0, y0):












  1. Закон движения материальной точки В какой момент времени скорость ее движения будет равна 10 м/с?

  2. Закон движения материальной точки Найти ускорение ее движения в момент времени t = 2 c.

  3. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых В какой момент их скорости будут равными.




  1. Записать формулу для производной n-го порядка указанной функции:













Список литературы


  1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для втузов): В 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1. 456 с.

  2. Данко П. Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах:Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1980. Ч. I. 446 c.

  3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие для вузов: В 3 ч. / Под общ. ред. А. П. Рябушко. Минск: Вышэйш. шк., 1991. Ч. 1. 272 с.




ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ



Методические указания и задания
к самостоятельной работе для студентов 1-го курса



Елена Николаевна Ломакина

Татьяна Яковлевна Меженова



Главный редактор Л. А. Суевалова


Редактор Е. Н. Ярулина

Компьютерная верстка Т. Б. Дамбаевой

Лицензия на издательскую деятельность

ЛР № 020526 от 23.04.97
Подписано в печать 26.06.01. Формат 6084 1/16.

Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9.

Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 480 экз. Заказ С 82.
Издательство Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Отдел оперативной полиграфии издательства

Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.






Похожие:

Производная, ее геометрический и физический смысл iconЗанятие №1 Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы,...
Производная, ее геометрический и физический смысл iconУрок в 11-а классе по теме «производная и её геометрический смысл»
Обучающая повторить формулы дифференцирования; правила дифференцирования; дифференцирование сложной функции; геометрический смысл...
Производная, ее геометрический и физический смысл iconДифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функ­ции
Производная, ее геометрический и физический смысл icon2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Производная, ее геометрический и физический смысл iconЛекция Производная функци комплексного переменного. План лекции
Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции
Производная, ее геометрический и физический смысл iconПроизводная и ее геометрический смысл
Однако в классе есть и ребята, которые успешно решают задания повышенного уровня сложности
Производная, ее геометрический и физический смысл iconПроизводная. Геометрический и механический смысл производной
Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче вно
Производная, ее геометрический и физический смысл icon§ теоретические вопросы понятие производной. Производная функции
Геометрический смысл производной. Уравнения каса­тельной и нормали к графику функции
Производная, ее геометрический и физический смысл iconУрок в 10 классе по теме «Геометрический смысл производной функции»
Учитель сообщает план урока, используя презентация к уроку Геометрический смысл производной функции (слайд №1-2)
Производная, ее геометрический и физический смысл icon«Производная, её механический и геометрический смысл»
К теме даны тесты в двух вариантах: первый – тренировочный, второй – для самоконтроля. В каждом из них по 10 заданий. Выполнив задание,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org