Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции



Скачать 12.88 Kb.
Дата28.11.2012
Размер12.88 Kb.
ТипДокументы
 Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции

 

Вторая производная. Выпуклая и вогнутая функция.

 Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Точка перегиба.

 

 

Вторая производная. Если производная  f ' ( x ) функции  f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй производной функции  f ( x )  в точке ( x0 ), и обозначается  f '' ( x0 ).  

 

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x0 ,  f ( x0 ) ),  x0 ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x0 ,  f ( x0 ) ),  x0 ( a, b ).

 

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

 

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x0  существует вторая производная  f '' ( x0 ), то  f '' ( x0 ) = 0.

П р и м е р .

Рассмотрим график функции  y = x3 :

png" name="coco" align=bottom width=376 height=266 border=0>


Эта функция является вогнутой при  x > 0  и выпуклой при  x < 0. В самом деле,  y'' = 6x, но 6x > 0 при  x > 0  и  6x < 0  при  x < 0, следовательно,  y'' > 0 при x > 0 и  y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция  y = x3 является вогнутой при  x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда  x = 0 является точкой перегиба функции  y = x3.

Похожие:

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconРешение. Функция задана на интервале
...
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconЛекция №7 Применение производной План Возрастание и убывание функции Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и...
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconСхема полного исследования функции
Найти. Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconИсследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая...
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconРешение. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки Функция аморфна
В точке нет точки перегиба, поскольку при переходе через эту точку знак 2-ой производной не меняется
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconIi. Дифференциальные исчисления функции одной переменной Предел функции в точке при. Вычисление пределов
О2: Проколотой окрестностью точки а называется окрестность точки а, из которой сама точка а выброшена. Обозначается
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconДоклад о проделанной нами работе над задачей «Ледяная выпуклость»
Позвольте напомнить условие этой задачи: наполните пластиковый лоток (контейнер) водой. При замораживании воды при некоторых условиях...
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconУрок 4 Дифференциал функции. Дифференцируемость функции
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, а приращение ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) функции f(x) в точке х0...
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconИсследование функции, график функции. П. 1 Выпуклость функции. Опр. Функция в точке называется выпуклой (вниз), если выражение
Опр. Функция называется выпуклой (вниз или вверх) на интервале, если она выпукла (вниз или вверх) в каждой точке этого интервала
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению 010100 «Математика» Дисциплина: Математический анализ
Точки разрыва. Ограниченность функции, непре­рывной на отрезке. Существование наибольшего и наименьшего значений функции. Прохождение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org