Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010



страница4/6
Дата28.11.2012
Размер0.52 Mb.
ТипКурс лекций
1   2   3   4   5   6

2.768192167*y+.1499259183*y^2+.6695035536e-1*x*y

z2(x,y)=22.935+1.78x-0.034x2-2.77y+0.067xy+0.15y2

ЛЕКЦИЯ 8. АВТОМАТИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Компьютерные технологии решения задач с помощью универсальных программных средств требуют выбор метода и функции интерполяции, доказательства адекватности полученной модели.

Получение математических моделей в программах TableCurve, Simple formula реализуется следующим образом:

ввод числовых данных;

получение ответа в виде большого количества функций;

выбор нескольких функций с минимальной погрешностью;

выбор наилучшей функции.

Недостатки подхода:

критерий минимальной погрешности зачастую является неудовлетворительным;

в программах реализуется единственный метод интерполяции, приближенный в узлах по критерию минимума среднеквадратической ошибки.
8.1 Программа TableCurve 2D
Программа TableCurve 2D ѓ{ инструмент построения двумерных моделей на основе массивов эмпирических данных. Средства подбора поверхностей TableCurve 2D включают инструменты, недоступные в аналогичных программных решениях:

38-значный математический эмулятор с возможностями подбора полиномиальных и рациональных уравнений высоких порядков;

функция подбора нелинейных уравнений, которая справляется даже с выпадающими значениями и широким диапазоном значений переменной µ §;

опция AI Expert, автоматически выбирающая подходящие экстремальные, переходные или кинетические модели.

Ввод данных осуществляется в окне редактора программы
(TableCurve Editor), представленном на рисунке 6. На рисунке 7 показано окно программы в режиме построения графика.

Данные, выводимые в левой части окна программы:

минимальное и максимальное значение;

ранг (Rang);

среднее значение (Меan);

медиана (Median);

cтандартное отклонение (Std);

значение одной переменной при минимальном или максимальном значении другой переменной (atXmin, atXmax, atYmin,
atYmax).

Рисунок 6 ЁC Окно редактора программы TableCurve 2D

Рисунок 7 ЁC Окно программы TableCurve 2D

8.2 Выбор формулы интерполяции Process
На рисунке 8 представлено окно программы TableCurve 2D при выборе функции интерполяции Process.


Рисунок 8 ЁC Окно программы TableCurve 2D

при выборе функции интерполяции Process
Curve-Fit All Equations ЁC использование всех групп выражений;

Curve-Fit Simple Equations ЁC использование простых групп выражений;

Curve-Fit Poly/Ratl Equations ЁC использование Poly/Ratl групп выражений;

Curve-Fit Peak Equations ЁC использование пиковых групп выражений;

Curve-Fit Transition Equations ЁC использование переходных групп уравнений;

Curve-Fit WaveForm Equations ЁC использование волновых групп выражений;

Curve-Fit Custom, Customize Curve-Fit, Read Custom Curve-Fit ЁC команды для работы с формулами, которые выбираются пользователем из имеющихся в программе;

Curve-Fit User Functions, User Function 1, User Function 2 ѓ{ команды для работы с формулами, которые создаются пользователем;

Last Session User Functions ЁC позволяет задавать параметры вычислений.

Перед выбором команды необходимо ознакомиться со списком формул Help/Equation List.

ЛЕКЦИЯ 9. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Graf Start или List Start

Окно с формулами, представленное на рисунке 9, является интерактивным списком. Повторяя процесс многократно, можно выбрать желаемую функцию.
Рисунок 9 ЁC Окно с формулами программы TableCurve 2D
Обозначения:

logX, logY ЁC включение логарифмического масштаба;

Intervals ЁC показывает доверительные интервалы;

Residuals ЁC показывает график остатков для текущего выражения;

Numeric ЁC показывает числовую информацию в расчетных точках;

Data ЁC показывает числовую информацию в расчетных точках;

Precision ЁC показывает информацию относительно точности вычислений;

Eval ЁC представляет дополнительные вычислительные процедуры.

В данном случае нельзя согласиться с выбором, т.к. исходная функция линейна, а коэффициент корреляции близок к единице.

Упрощение выбора подходящей формулы достигается обращением к соответствующей группе выражений (в данном случае линейных).

ЛЕКЦИЯ 10. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ И ЭКОНОМИКИ
10.1 Компьютерные технологии в задачах физики
Необходимо найти физический закон кипения воды при различных давлениях. Температура кипения повышается с ростом давления. Закон будет найден, если функция интерполяции будет представлена в виде математического выражения.
P123456789101620T99120133143151158164170174179200211P313950100120140150170200220225T236248263310324335341351364372374

1. Выбор функции интерполирования:
µ §
2. Получение результатов решения.

3. Проведение табуляции всех функций.

4. Выбор наилучшей функции интерполяции µ §.

5. Нахождение погрешности интерполяции:

- абсолютная среднеквадратичная ѓХ=1,42;

- максимальная относительная µ §%.

Выводы по задаче:

1. Математической моделью кипения воды является степенная функция вида: µ §.

2. Функция интерполяции является приближенной математической моделью, позволяющей найти температуру кипения воды при любом давлении из диапазона 1ЎK225 атмосфер. Функция представлена с точностью до двух знаков после запятой.

3. Приближенно можно считать, что температура кипения воды пропорциональна корню четвертой степени от давления, т.е.

µ §,

где µ § ЁC коэффициент пропорциональности, равный температуре кипения воды при µ § атм. В исходной таблице при µ § атм. Температура кипения воды равна 99„a, следовательно µ §.
4. Погрешности этой формулы имеют значения:
µ §; µ § %.
Погрешности незначительны и объясняются неточностью исходных данных и погрешностью вычислений. Закон найден, и теперь его следует доказать теоретически.
10.2 Интерполяция в экономических задачах
В экономике важную роль играют статистические данные, которые в большинстве случаев представляются в табличном виде, что позволяет лишь качественно изучать закономерности экономических явлений. Для численных оценок, установления экономических законов, прогнозирования или оптимизации необходимо представление данных в виде математических выражений и формул. Их получение во многих случаях возможно только методами интерполяции.

Задача о цене за услуги.

Требуется найти оптимальную цену за разовое посещение леса.

В таблице 9 приведены данные об оплате посещения лесов в зимнее время.
Таблица 9 ЁC Данные об оплате посещения лесов

N, чел262598415013269Х, руб.01ѓ{3031ѓ{6061ѓ{9091 и болееТребуется найти оптимальную цену за посещение леса.

Ищем отклики функций:
µ §
Наиболее подходящей по минимуму СКО является нижеприведенная функция. На рисунке 10 представлено окно программы
TableCurve 2D при построении графика по данной задаче.
µ §
Рисунок 10 ЁC Окно программы TableCurve 2D

при построении графика по данной задаче
µ §

Определим оптимальную цену за посещение леса. Сумма денег равна произведению µ §, т.е.
µ §.
Определим координаты точки максимума.

Приравнивая производную нулю находим оптимальную цену за посещение леса zопт=6,6 руб. Таким образом, выручка составляет
µ §


10.3 Транспортная многопараметрическая задача
Себестоимость вывоза леса тепловозами определяется расстоянием (µ §) и уклоном (µ §). Откликом является себестоимость µ §, получить которую можно, решая задачу двупараметрической интерполяции. В таблице 10 приведены исходные данные.
Таблица 10 ЁC Исходные данные

Уклон, %Себестоимость (руб.) от расстояния (км)3060901201501016,7213,8013,3312,8312,251612,2311,1310,4410,189,792510,79,498,898,648,43

Необходимо найти функцию интерполяции для всех вариантов уклона себестоимость при расстояниях 50, 70, 100 км. Исходные данные позволяют получить только линейную модель. Для квадратичной модели или модели более высокой степени данных недостаточно.

План полного двухуровневого эксперимента представлен в таблице 11:
Таблица 11 ЁC План двухуровневого эксперимента

µ §µ §µ §301016,72302510,701501012,25150258,43

Моделью такого эксперимента является функция вида:
µ §.
Ее решение:
µ §.
Результаты табулирования приведены в таблице 12.
Таблица 12 ЁC Результаты табулирования

Уклон, %Себестоимость исходная G и по данным линейной
аппроксимации µ §10S, км

µ §30609012015016S, км

µ §30609012015025S, км

µ §306090120150

Абсолютная максимальная и среднеквадратичная ошибки достаточно велики, поэтому линейная модель отвергается и предлагается квадратичная:
µ §.
Для ее реализации при полнофакторном эксперименте необходимо 32=9 опытов. План испытаний представлен в таблице 13:
Таблица 13 ЁC План испытаний

µ §x2y301016,7230µ §µ §302510,7µ §10µ §µ §µ §µ §µ §25µ §1501012,25150µ §µ §150258,43

В теории планирования эксперимента µ § и µ § принимаются равными средним значениям, т.е. µ §=90, µ §=17,5.

Чтобы вычислить значения откликов µ §, µ §, µ §, µ §, µ § необходимо использовать линейную модель, которая позволяет вычислить себестоимость при любых µ § и µ §.

После заполнения плана испытаний находим функцию регрессии:
> with(stats):

> a:=[30,30,30,90,90,90,150,150,150]:

> b:=[10,17.5,25,10,17.5,25,10,17.5,25]:

> c:=[16.72,13.71,10.7,13.33,12.025,8.98,12.25,10.34,8.43]:

> f:=fit[leastsquare[[x,y,z],z=b0+b1*x+b2*x^2+b3*y+b4*y^2

+b5*x*y,{b0,b1,b2,b3,b4,b5}]]([a,b,c]);

f:=z=21.33527789-.7847222222e-1*x+.1611111111e-3*x^2-

.2448889031*y-.5155555148e-2*y^2+.1222222222e-2*x*y
Дальнейший анализ (табулирование, оценка погрешности) проводится по типовой схеме.

ЛЕКЦИЯ 11. ЗАДАЧА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Примерами многоканальных систем массового обслуживания с отказами являются больница с ограниченным числом коек, платная стоянка для автомобилей, телефонные узлы связи с ограниченным числом линий.

Функционирование такой системы с отказами описывается графом состояний, как это показано на рисунке 11.

Рисунок 11 ЁC Граф состояний функционирования системы
Система в любой момент может находиться в одном из следующих состояний:

µ § ЁC в системе заявок нет;

µ § ЁC в системе одна заявка (один канал занят обслуживанием, другие свободны);

µ § ЁC в системе µ § заявка (µ § занят, только один свободен);

µ § ЁC в системе n заявок (все каналы заняты обслуживанием, очередной заявке будет отказано в обслуживании).

Интенсивности переходов µ § и µ § имеют следующий смысл:

µ § ЁC интенсивность появления заявок, равная количеству заявок в единицу времени;

µ § ЁC интенсивность обслуживания заявок, равная количеству заявок на обслуживание в единицу времени.

Критериями эффективности таких систем являются:

Р ЁC вероятность отказа заявке в обслуживании;

Q ЁC пропускная способность системы;

К ЁC среднее число каналов, занятых обслуживанием.

Показатели эффективности, соответствующие этим критериям, вычисляются по формулам:

µ §;

µ §;

µ §,

где µ § ЁC вероятность того, что в системе заявок нет;

µ § ЁC коэффициент передачи ветви;

µ § ЁC число каналов обслуживания;

В итоге получается выражение (11.1):

µ § (11.1)

Из формулы (11.1) следует, что с увеличением числа обслуживающих каналов вероятность отказа в заявке убывает.

Возникают задачи:

1. Насколько надо увеличить число каналов n, чтобы при увеличении потока заявок µ § вероятность отказа в обслуживании µ § не изменилась.

2. Во сколько раз надо увеличить интенсивность обслуживания, чтобы при прочих равных условиях уменьшить число обслуживающих каналов.

Методика состоит в численном решении уравнения (11.1), представления ее в виде таблицы, интерполирования, получения математической модели.

Пример. Найти зависимость µ § в явном виде, которая обеспечит постоянную вероятность отказа при изменении интенсивности потока заявок или интенсивности обслуживания.

Пусть вероятность отказа заявке µ §, т.е. очередная заявка на обслуживание будет принята в любое время с вероятностью 0,99. Интенсивность обслуживания заявки 2 ед./час. Необходимо найти зависимость µ § при изменении µ § в диапазоне 1ЁC5 ед./час с шагом 0,5. Функцию µ §получим, решая уравнение

µ §.

Решая уравнение с помощью solve, получим:
n=-0.095*x^2+2.17*x+2.148.
Среднеквадратичная погрешность ѓХ=0,054. Максимальная относительная µ § %.
11.1 Оценка надежности техники по опытным данным
Основными критериями надежности технических систем являются:

µ § ЁC вероятность безотказной работы в течение времени µ §;

T ЁC среднее время безотказной работы;

µ § ЁC интенсивность отказов в момент времени t;

µ § ЁC частота отказов (плотность распределения времени до отказа).

Эти показатели связаны между собой:

µ §

Из формул следует, что все показатели надежности могут быть вычислены через интенсивность отказов системы µ §:

µ §,

где µ § ЁC интенсивность отказов i-го элемента;

µ § ЁC число элементов системы.

Интенсивности отказов элементов получают либо по данным определенных испытаний, либо по данным об их отказах в процессе эксплуатации системы. При этом результаты представляются в виде таблиц зависимости µ §. По этим данным невозможно определить показатели надежности системы. Необходимо иметь функции µ § в виде аналитических выражений.

Пример. На испытание поставлено 200 образцов. Опыт проведен в течение 2000 часов. За это время зафиксировано 36 отказов. В таблице 14 представлена зависимость числа отказов от времени (µ § ЁC промежуток времени, в течение которого фиксировались отказы, µ § ЁC число отказов в промежутке µ §).
Таблица 14 ЁC Зависимость числа отказов от времени

µ §,час200200200200200200200200200200µ §1224344556

Необходимо определить интенсивность отказов и вычислить показатели надежности.

Интенсивность отказов:

µ §

где µ § ЁC среднее число исправных образцов на промежутке времени µ §:

µ §,

где µ § ЁC число исправных образцов в начале промежутка µ §;

µ § ЁC число исправных образцов в конце этого промежутка.
Значение интенсивности отказов от времени приведено в таблице 15.
Таблица 15 ЁC Зависимость интенсивности отказов от времени

t, час10030050070090011001300150017001900µ §2,55,055,110,367,910,751114,114,518

ЛЕКЦИЯ 12. ВЫБОР ФУНКЦИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Сложность выбора функции интерполяции ЁC одна из особенностей решения задач надежности. Отказы, как явления случайные, подчиняются определенным законам. Одним из них является выполнение следующего равенства:
µ §.
Из равенства следует, что функция µ § должна быть такой, чтобы соответствующий ей закон распределения времени до отказа µ § удовлетворял приведенному условию.

Из графика следует, что функция времени может быть представлена полиномом первой или второй степени, однако это не удовлетворяет интегральному условию.

Интерполяционными могут быть функции, соответствующие законам распределения времени до отказа, применяемые в теории надежности. Это функции Гаусса, Гамма, Вейбулла. Функция Вейбулла имеет вид:
µ §.
Интенсивность потока отказов можно записать как:
µ §.
При k больше единицы функция является возрастающей, что дает основание считать функцию интерполирующей.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconМетодические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск
Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconМетодические рекомендации по самостоятельной работе студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы и технологии» Бийск
Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconМетодические рекомендации по выполнению лабораторной работы по дисциплине «Статистические методы в управлении качеством»
Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconGeneral ciкадры если и не решают все, то очень многое
Коршунов Лев Александрович депутат Государственной Думы, зам председателя комитета по делам Федерации и региональной политике. Зав...
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconУчебное пособие «Политическая система кнр» для студентов специальностей «Регионоведение», «Международные отношения» Издательство
Олитическая система кнр обсуждена и одобрена на заседании кафедры востоковедения Алтайского государственного университета. Пособие...
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconИнвестиционный паспорт г. Бийск Алтайского края
Алтайского края. Благодаря запуску проектов по созданию в крае особых туристской и игорной экономических зон Бийск становится стратегической...
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconПрактикум по физике Издательство Иркутского государственного технического университета 2008 удк 53(075. 8) Ббк 22. 3
Рецензенты: зав. Кафедрой физики Иркутского государственного университета, д физ мат наук, профессор Щербаченко Л. А
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconКурс лекций по высшей геодезии раздел «теоретическая геодезия»
Курс лекций ведется на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета для студентов специальности...
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности [Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей] по физико-математическим и техническим наукам
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Московского авиационного института (государственного технического...
Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2010 icon05. 02. 04 «Трение и износ в машинах» по техническим наукам
Института машиноведения им. А. А. Благонравова ран, Российского Государственного университета нефти и газа им И. М. Губкина, Ростовского...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org