Производная и дифференциал высших порядков



Скачать 44.78 Kb.
Дата28.11.2012
Размер44.78 Kb.
ТипДокументы
ПРОИЗВОДНАЯ и дифференциал высших порядков
Пусть функция определена на множестве , и пусть функция в каждой точке имеет конечную производную. Если в каждой точке вычислить производную функции , то получим новую функцию – . Если же существует производная от функции , то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке обозначают (производная второго порядка в точке ) и называют следующий предел: если этот предел существует и конечное число.

Аналогичным образом определяется производная третьего порядка, и т.д. Если мы определили производную - ого порядка, то производная - ого порядка определяется следующим образом: .

Рассмотрим следующие функции:

1. Функция имеет производную любого порядка: ;

2. Для функции производная - ого порядка определяется следующим образом: ;

3. Аналогично определяется производная - ого порядка для функции :

.

Правила вычисления производной - ого порядка.
Пусть имеем функции , которые определены и на множестве и имеют производные - ого порядка на этом множестве, а – любое постоянное число. Тогда: для функций , и , тоже существуют производные - ого порядка на множестве и они определяется следующим образом:

  1. ;

  2. ;

  3. ­ – формула Лейбница.



Дифференциал - ого порядка.
Напомним, что для функции дифференциал первого порядка, определяется следующим образом: , с его помощью определяется дифференциал второго порядка и высших порядков:

;

.
Формула Тейлора
Пусть имеем функцию многочлен степени :

.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени относительно разности , где – произвольное число, т.е. представим в виде

. (*)

Для нахождения коэффициентов продифференцируем раз равенство (*):

,

,

,

…………………………………………………………………………



Подставляя в полученные равенства и равенство (*), имеем:

, т.е. ,

, т.е. ,

, т.е. ,

, т.е. ,

…………………………………………………………………………

, т.е. .

Подставляя найденные значения в равенство (*), получим:

, (**)

т.е. коэффициент многочлена определяется через производную в точке .

Формула (**) называется формулой Тейлора для многочлена степени .


Рассмотрим функцию . Пусть для функции , существуют производные - ого порядка. Любой такой функции сопоставим многочлен - ого порядка.

и обозначим через



Свойства :

1. имеет производную до - ого порядка включительно.

2.
Лемма. Если функция имеет производную - ого порядка в окрестности точки и то

Доказательство: доказательство проведем методом математической индукции.

Пусть , т.е. Докажем, что .



Допустим, что лемма верна для , докажем справедливость леммы для .

Обозначим через , тогда по индукции, что . Рассмотрим теперь
, где . Так как
, то и если , то тоже стремится к , получим

.

Так как функция удовлетворяет всем условиям леммы, то можно сказать, что . Таким образом для функции имеем следующее представление

(1)

Формула (1) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Пеано имеет недостаток, т.к. в явном виде мы не знаем вид остаточного члена.

Лагранж получил другой вид для остаточного члена. Он показал, что если существует производная до -ого порядка, то где некоторая точка из интервала , тем самым получил другую запись формулы Тейлора

(2)

Формула (3) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

При получается частный случай формулы Тейлора – формула Маклорана:

(3)

Разложение по формуле Тейлора для элементарных функций.

Запишем формулу Маклорана для функции . Находим производные этой функции: , , … , . Так как , , , … , , , то по формуле (3) имеем:
,

при , оценим число .

,

Ранее (при изучении числа ) мы получили более точную оценку , где .

Приведем разложения по формуле Маклорана некоторых других элементарных функций:

, ,

;
, ,

;
,

,

при , ;
,

;
,

,

при , , и мы получим приближенное вычисление числа .

Похожие:

Производная и дифференциал высших порядков iconДифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f
Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...
Производная и дифференциал высших порядков iconПравила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций. Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Формула конечных приращений Лагранжа
Дифференциал функции, его геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости функции
Производная и дифференциал высших порядков iconПроизводные и дифференциалы высших порядков
Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка
Производная и дифференциал высших порядков iconЛекция Производная функци комплексного переменного. План лекции
Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции
Производная и дифференциал высших порядков iconЗанятие №1 Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы,...
Производная и дифференциал высших порядков iconДифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
Однако, если замена переменных линейная, им будут обладать все дифференциалы порядков выше первого, так как в этом случае d2x=0 и...
Производная и дифференциал высших порядков iconПравила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
Производная и дифференциал высших порядков iconИнтегральное исчисление. Часть Неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решалась задача, где по данной функции находилась ее производная или дифференциал
Производная и дифференциал высших порядков iconЭкзаменационные вопросы для вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010500 «Прикладная математика и информатика»
Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования
Производная и дифференциал высших порядков iconТема Производная и дифференциал
В математике подобное свойство называется непрерывностью. Если же ситуация такова, что небольшое изменение ее параметров кардинально...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org