Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса



Скачать 225.53 Kb.
страница1/2
Дата28.11.2012
Размер225.53 Kb.
ТипКурсовая
  1   2


Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет

имени И.Я.Яковлева»

кафедра математического анализа
КУРСОВАЯ РАБОТА

по математике

на тему:

«Разложение непрерывной функции

в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса»

Выполнила:

студентка 2 курса ФМФ,

группы ИиМ-2А

Осипова К.Ф.
Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент Кульпина Т.А.

Чебоксары, 2008

Введение:

1. Определение равномерной сходимости и теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций (без доказательства)

а) Вводные замечания. ………………………………………………………….3

б) Равномерная и неравномерная сходимость. ……………………………….4

в) Условие равномерной сходимости функционального ряда ………………7

г) Непрерывность суммы ряда. ……………………………………………...…8

д) Случай положительных рядов………………………………………….........9

е) Почленный переход к пределу.…………………………………………...…9

ж) Почленное интегрирование рядов.……………………………………..….10

з) Почленное дифференцирование рядов. …………………………….…….10
2. Основные сведения о ряде Тейлора без доказательства

а) Формула Тейлора для многочленов………….…….………………………11

б) Разложение в ряд показательной функции………………………………..13

в) функция и ряд Тейлора………………………………………………...14
3. Степенные ряды и ряды многочленов

а) Промежуток сходимости степенного ряда………………………………..15

б) Почленное интегрирование степенного ряда…………………………….16

г) Степенной ряд как ряд Тейлора…………………………………………...16

в) Почленное дифференцирование степенного ряда……………………….16
4. Определение равномерной непрерывности и теорема Кантора без доказательства. …………………………………………………………………...…17
5. Теорема Вейерштрасса, ее формулировка и доказательство. ……………18

6. Заключение……………………………………………………………………

7. Список использованной литературы……………………………………….22

1. Определение равномерной сходимости и теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций (без доказательства).
а) Вводные замечания.

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции:

f1(x), f2(x), f3(x), …, fn(x), … (1)

от одной и той же переменной х, определенные в некоторой области ее изменения Х ={х}.
Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от х в Х:

(2)

которую мы будем называть предельной функцией для последовательности (1) или для функции fn(x).

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной х в некоторой области Х:

(3)

Пусть этот ряд сходиться при каждом значении х в Х; тогда его сумма также представит собой некоторую функцию от х: f(x).

Эта сумма определяется предельным равенством вида (2), если под fn(x) разуметь частичную сумму:

(4)

Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (1) можно рассматривать под видом суммирования ряда (3), если положить:



…,



Функциональные свойства предельной функции (суммы ряда) f(x) существенно зависят не только от функциональных свойств функций fn(x) (или членов ряда), но и от самого характера приближения fn(x) к f(x).
б) Равномерная и неравномерная сходимость.

Допустим, что для всех х из Х имеет место равенство (2). По самому определению предела это значит следующее: лишь только фиксировано значение х из Х (для того чтобы иметь дело с определенной числовой последовательностью), по любому заданному найдется такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство

(5)

где под х разумеется именно то значение, которое было заранее фиксировано.

Если взять другое значение х, то получится другая числовая последовательность, и – при том же – найденный номер N может оказаться уже непригодным; тогда его пришлось бы заменить большим. Но х принимает бесконечное множество значений, так что пред ним бесконечное множество различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу. Для каждой из них в отдельности найдется свое N; возникает вопрос существует ли такой номер N , который (при заданном ) способен был бы обслужить одновременно все эти последовательности?

На примерах можно показать, что в одних случаях такой номер существует, а в других – его нет:

  1. Пусть сначала

, ,

Так как здесь



то сразу ясно, что для осуществления неравенства достаточно, какого бы ни было х, взять . Таким образом, например, число в этом случае годиться для всех х одновременно.

Е(х) - «целая часть числа х» или точнее – наибольшее целое число, не превосходящее х (Е есть первоначальная буква от французского слова entier, обозначающее «целый»). Например, Е(1)=1, Е(2,5)=2 и т.д.


  1. Положим:

, ,

Для любого фиксированного достаточно взять , чтобы было: . Но, с другой стороны, сколь большим ни взять n, для функции fn(x) в промежутке [0,1] всегда найдется точка, именно точка , в которой ее значение равно : . Таким образом, за счет увеличения n сделать для всех значений х от 0 до 1 одновременно никак нельзя. Иными словами, уже для не существует номера N, который годился бы для всех х одновременно.
Определение:

Если:

1) последовательность (1) имеет в Х предельную функцию f(x) и

2) для каждого числа существует такое не зависящий от х номер N, что при n>N неравенство (5) выполняется одновременно для всех из Х, то говорят, что последовательность (1) сходиться (или – функция fn(x) стремиться) к функции f(x) равномерно относительно х в области Х.
Таким образом, в первом из приведенных примеров функция fn(x) стремиться к нулю равномерно относительно х в промежутке [0,1], а во втором – нет.

Рассмотрим дальнейшие примеры неравномерной сходимости.

3) Если , то при и .

В этом случае невозможность неравенства (при ) одновременно для всех видна хотя бы из того, что , если (при фиксированном n) . Здесь предельная функция изменяется скачком, а горб неподвижен.

4) Пусть , Невозможность равномерного приближения в [0,1] к предельной функции которая здесь тождественно равна 0, следует хотя бы из тог, что при любом n, .

На этот раз высота горбов, которые мешают равномерному стремлению к 0, вдобавок еще бесконечно возрастает вместе с n.
Перенесем теперь все выше сказанное о сходимости функций на случай функционального ряда (3).

Предполагая ряд сходящимся, введем в рассмотрение его сумму f(x), частичную сумму fn(x) и его остаток после n-го члена .

При любом фиксированном х и .

Если частичная сумма fn(x) стремиться к сумме ряда f(x) равномерно относительно х в области Х (или, что-то же, остаток ряда равномерно стремиться к нулю), то говорят, что ряд (3) равномерно сходится в этой области.

Это определение равносильно следующему:

Ряд (3), сходящийся для всех х из области Х, называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа существует такой не зависящий от х номер N, что при n>N неравенство:

или (6)

Выполняется одновременно для всех х из Х.

Примеры равномерно и неравномерно сходящихся рядов можно составить, преобразовав приведенные выше примеры последовательностей. Мы присоединим к ним еще следующий простой пример.

5) Рассмотрим прогрессию ; она сходится в открытом промежутке

Х=(-1,1). Для любого х из Х остаток после n-го члена имеет вид: . Если n произвольно фиксировать, то очевидно: , . И то, и другое показывает, что осуществить, для всех х одновременно, неравенство: (если ) при одном и том же номере n невозможно. Сходимость прогрессии в промежутке (-1,1) неравномерна; это же относиться к промежуткам (-1,0] и [0,1) в отдельности.
в) Условие равномерной сходимости:

Для того чтобы ряд (3) сходился равномерно в области Х, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой не зависящий от х номер N, что при n>N и любом m=1,2,3,… неравенство:

(7)

имело место для всех х из Х одновременно.

Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (3) удовлетворяют в области Х неравенствам:

(n=1,2,3,…) (8)

где сn суть члены некоторого сходящегося числового ряда

(9)

то ряд (3) сходиться в Х равномерно.

При наличии неравенства (8) говорят, что ряд (3) мажорируется рядом (9) , или что (9) служит мажорантным рядом для (3).

Действительно, из ( 8) получаем неравенство:



справедливо одновременно для всех х из области Х. Согласно принципу сходимости для любого найдется такое N, что при правая часть предыдущего неравенства будет уже меньше , а с нею – и левая, притом для всех х сразу. Отсюда в силу доказанного выше условия, и вытекает наше утверждение.

Таким образом, например, в любом промежутке равномерно сходятся ряды



если только ряд сходиться абсолютно. Ведь

,

так что роль мажорантного здесь играет ряд .
г) Непрерывность суммы ряда.

Теорема 1. Если функции un(x) (n=1,2,3,…) определены и непрерывны в промежутке X=[a,b] и ряд



сходится в Х равномерно к сумме f(x), то эта сумма будет непрерывна в промежутке Х.

Легко перефразировать доказанную теорему для случая последовательности функций:

Теорема 1*: Если последовательность функций

f1(x), f2(x), …, fn(x),… (10)

определенны и непрерывных в промежутке Х=[a,b], сходиться к предельной функции f(x) равномерно в Х, и f(x) непрерывна в Х.

д) Случай положительных рядов. Для рядов этого частного типа, как доказал Дини (Улисс Дини (1845-1918) – итальянский математик), равномерная сходимость оказывается не только достаточным, но и необходимым условием непрерывности суммы ряда:

Теорема 2. Пусть члены ряда (1) непрерывны в промежутке Х=[a,b] и не отрицательны. Если ряд имеет сумму f(x), также непрерывную в промежутке Х, то ряд сходиться в этом промежутке равномерно.

Ели перефразировать теорему Дини на случай последовательностей, то получиться:

Теорема 2*. Пусть последовательность (10) непрерывных в промежутке Х=[a,b]функций стремиться при к предельной функции f(x), монотонно возрастая, так что . Если функция f(x) также непрерывна в Х, то fn(x) сходиться к f(x) равномерно в Х.
е) Почленный переход к пределу:

Еще одна теорема, которая является обобщением теоремы 1. В ней X есть произвольное бесконечное множество, имеющее точку сгущения а (конечную или нет); эта точка сама может и не принадлежать множеству X.

Точка а называется точкой сгущения множества X, если в любой окрестности этой точки содержаться значения х из X, отличные от а. Сама точка сгущения при этом может принадлежать X или нет. Например, если X=[a,b] или X=(a,b], то а в обоих случаях является точкой сгущения для X, но в первом случае она сама содержится в X, а во втором – нет.

Открытый промежуток , с центром в точке а, принято называть окрестностью этой точки. Таким образом, какую бы малую окрестность точки а ни взять, все значения х должны попасть в эту окрестность.

Теорема 3. Пусть каждая из функций un(x) (x=1,2,3,…) определена в области Х и имеет, при стремлении х к а, конечный предел:

(11)

Если ряд (1) в области Х сходиться равномерно, то 1) сходиться ряд, составленный из этих пределов:

(12)

и 2) сумма ряда (1), f(х), также имеет при предел, именно:

(13)
ж) Почленное интегрирование рядов.

Теорема 4. Если функции un(x) (x=1,2,3,…)непрерывны в промежутке Х=[a,b] и составленный из них ряд (1) сходиться в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы f(x) ряда (1) представляется следующим образом:

(14)

Теорема 4*. Если последовательность (7) функций, непрерывных в промежутке Х=[a,b], сходиться к предельной функции f(x) равномерно в Х, то



Это равенство можно переписать в виде

(15)

Так что предел, относящийся к интегралу, оказывается возможным отнести непосредственно к подынтегральной функции. В этом случае говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.
з) Почленное дифференцирование рядов.

С помощью теоремы 4 легко доказать следующую:

Теорема 5. Пусть функции un(x) (x=1,2,3,…) определены в промежутке Х=[a,b] и имеют в нем непрерывные производные un(x) . Если в этом промежутке не только сходиться ряд (1), но и равномерно сходиться ряд, составленный из производных:

(16)

то и сумма f(x) ряда(1) имеет в Х производную, причем

(17)
2. Основные сведения о ряде Тейлора без доказательства.

а) Формула Тейлора для многочленов.

Если p(x) есть целый многочлен степени n:

, (18)

То, последовательно дифференцируя его n раз:

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



И полагая во всех этих формулах х=0, найдем выражения коэффициентов многочлена и его производных при х=0:

, , , , …, .

Подставим эти значения коэффициентов в (1):

. (19)

Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов.

Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно было бы взять его разложение по степеням х-х0 , где х0 есть некоторое постоянное частное значение х:

. (20)

Полагая , , для коэффициентов многочлена

имеем, по доказанному выражения:

, , , , …, .

Но … и

…, (21)

Т.е. коэффициенты разложения (20) оказались выраженными через значения самого многочлена и его производных при х =х0.

Подставим в (20) выражения (21):

. (22)

Формула (22), так же как и ее частный (х0=0) случай (19), называется формулой Тейлора. Впрочем, формулу (19) обычно называют формулой Маклорена.



Рассмотрим степенной ряд общего вида:

(23)

Разложение по степеням двучлена . Отрезками степенного ряда являются многочлены, что делает степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений. В связи со всем этим приобретает большую важность вопрос о возможности заданную функцию разложить по степеням (в частности и по степеням х), т.е. представить ее в виде суммы ряда типа (19).

Предположим, что рассматриваемая функция f(x) в промежутке [x0,x0+H] или [x0,x0+H] (Н>0) имеем производные всех порядков (тем самым непрерывные). Тогда для всех значений х в этом промежутке имеет место формула:

(24)

где дополнительный член rn(x). При этом n мы можем брать до сколь угодно высоких степеней .

Это приводит к мысли о бесконечном разложении:

(25)

Такой ряд не зависимо от того, сходиться ли он, и имеет ли, на самом деле, своей суммой f(x) – называется рядом Тейлора для функции f(x). Он имеет вид (23), причем коэффициенты его: носят название коэффициентов Тейлора.

Так как разность между f(x) и суммой n+1 членов ряда Тейлора, ввиду (20), есть как раз rn(x), то, очевидно: для того, чтобы при некотором значении х действительно имело место разложение (25), необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член rn(x) формулы Тейлора – при этом значении х – стремился к 0 с возрастанием n: lim rn(x)=0.

Чаще всего приходиться иметь дело со случаем х0=0 и функция f(x) разлагается в ряд непосредственно по степеням х:

(26)

(6) обычно называют рядом Маклорена.

Выпишем теперь подробнее дополнительный член rn(x) применительно именно к этому частному предложению х0=0:

В форме Лагранжа (27)

В форме Коши (28)

При этом о множестве известно только то, что он содержится между 0 и 1, но он не может меняться при изменении х или n (и даже при переходе от одной формы к другой).

б) Разложение в ряд показательной функции.

Докажем сначала следующее простое предположение, которым будет охвачен ряд важных случаев:

Если функция f(x) в промежутке [0,H] или [-H,0] (Н>0) имеет производные всех порядков и все эти производные при изменении х в указанном промежутке оказываются абсолютной величине ограниченными одним и тем же числом:

(29)

(где L не зависит от n), то во всем промежутке имеет место разложение (26).

В самом деле, взяв дополнительный член rn(x) в форме Лагранжа, имеем, в силу (10): .

При безграничном возрастании n выражение стремиться к 0; это следует и из сходимости ряда . Но в таком случае и rn(x) имеет пределом 0, что и доказывает наше утверждение.

Это предложение непосредственно приложимо и для функции f(x)=ех в любом промежутке [-H,H], ибо производные их, соответственно равные , будут в нем по абсолютной величине ограничены числом еН – для функции ех. Так как в этом случае f(0)=1, f(k)(0)=1,то, по формуле (26):

(30)

Имеет место в виду произвольности Н – при любом значении х.
в) Функция и ряд Тейлора. (пример)

Разложим в ряд показательную функцию . В предыдущем пункте мы рассматривали функцию ех, поэтому на основе полученной формулы (30) мы можем разложить и данную функцию. Только вместо степени х нам следует подставлять . Получим:



Упростив данное выражение получим:


  1   2

Похожие:

Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconРяды Тейлора Разложение функции в ряд Тейлора – представление функции в виде степенного ряда. Ряд Тейлора сходится во всех точках непрерывности функции Разложение в ряд Тейлора можно производить двумя способами. 1 способ
Разложение в ряд Тейлора по формуле. Все производные от функции и факториалы подставляем формулу Тейлора
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconQ, R, C. Конечные поля. Поле комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Формы записи комплексных чисел. Формула Муавра. Нахождение корней n-й степени комплексного числа. Понятие кольца. Кольцо многочленов над полем
Понятие кольца. Кольцо многочленов над полем. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на множители в поле...
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса icon1. # 1 1(1) Двойной интеграл определяется равенством
Ответы: для функции, непрерывной в каждой точке гладкой кривой для функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области пространства...
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconНепрерывность функции
Однако такое представление о непрерывной функции даёт только наглядный смысл понятия непрерывности; определением непрерывной функции...
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса icon§ свойства непрерывных функций
Теорема об обращении функции в нуль. Займемся теперь изучением основных свойств функции, непрерывной в некотором промежутке. Интересные...
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconРазложение функции в ряд Тейлора

Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconТрансцендентные числа
Теорема Линдемана-Вейерштрасса о линейной независимости значений экспонен­циальной функции в алгебраических точках. Трансцендентность...
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconПрограмма аттестационных испытаний для специальности «Математика» 2 курс Математический анализ
Теорема Больцано Коши (о промежуточном значении функции одной переменной, непрерывной на сегменте). Обобщение теоремы на функции...
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconВопросы к экзамену (2 семестр) Бинарные отношения. Примеры
Кольцо многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена
Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса iconЭкзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 1 курса 8 факультета (гр. 863-865)
Определенный интеграл Римана. Интегрируемые функции. Теоремы об интегрируемости непрерывной и кусочно-непрерывной функции. Свойства...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org