Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом



Скачать 160.7 Kb.
страница2/2
Дата28.11.2012
Размер160.7 Kb.
ТипДокументы
1   2

1) Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

 



 

 

 2) Дифференцирование степенных рядов.

 

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

 



 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

 

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:



 

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:



 

Коэффициенты сi находятся по формуле:



 

Деление двух степенных рядов выражается формулой:



Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:



Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее.

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .


  Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

 

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

 

 

 

Итого, получаем:

 

  Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

 

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

  Находим дифференциал функции  и интегрируем его в пределах от 0 до х.





 

 Пример. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

 

  При  получаем по приведенной выше формуле:



Разложение в ряд функции  может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

 



Тогда получаем:

 

Окончательно получим:  

 Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.





Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

 1 1 + x2

 1 + x2 1 – x2 + x4- …

 - x2

  - x2 – x4

 x4

 x4 + x6

 



Тогда

Окончательно получаем:

Ряды Фурье.

( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)

Тригонометрический ряд.

  Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:



или, короче,

  Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

 

  Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2.

  Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

  Определим коэффициенты этого ряда.

  Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:







 Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.

  Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл



Такой результат получается в результате того, что .

Получаем:

 

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до .



 

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до .

 

Получаем:

 

Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.

 Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты





существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

 

  Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

 
1   2

Похожие:

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconОпределение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconЛекция 22. Числовые ряды. 22 Основные определения. Определение
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconОсновные понятия
Пусть – числовая последовательность, для. Тогда символ, обозначающий последовательное суммирование членов числовой последовательности,...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconОпределение числовой последовательности и её предела
Если каждому натуральному числу n=1,2,3,… по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число хn, то полученное упорядоченное...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconБесконечным рядом (рядом). Если члены ряда : числа, то ряд называется числовым
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число s- суммой...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconЧисловым рядом называется выражение
Если существует конечный предел, то ряд называется сходящимся и – его сумма, а – остаток ряда. Если же не существует или бесконечен,...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconПредел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconПараграф Понятие числовой последовательности и её пределов
Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1,2… ставится в соответствие по определенному закону, вещественное число x1, x2…...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconПрограмма вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам «Математический анализ»
Предел числовой последовательности. Основные свойства предела. Условия существования конечного предела (критерий Коши и случай монотонной...
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом iconСамостоятельная работа 1 Предел числовой последовательности
Укажите номер того члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org