Вопросы к экзамену по алгебре и геометрии второй семестр, весна2003, группы 2341,42,51,52,61,62
|
Скачать 94.72 Kb.
|
| Вопросы к экзамену по алгебре и геометрии второй семестр, весна2003, группы 2341,42,51,52,61,62 лектор Коточигов А.М. (!) - вопросы знание, которых обязательно для получения положительной оценки (*) - вопросы, для которых знание доказательств требуется только для получения пятерки. (з 1) - соответствующая задача может войти в первую часть экзамена. (з2) - соответствующая задача может войти во вторую часть экзамена. задачи на пятерку будут взяты из задач, упомянутых на лекциях. 1) Линейное пространство: определение и примеры. Подпространство. Линейная независимость. Базис.(з1) Размерность линейного пространства. 2)(з2) Матрица перехода от одного базиса к другому. Правило преобразование координат при замене базиса. 3)(*) Теорема о размерности для суммы линейных подпространств. 4) (!)Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства. Примеры пространств со скалярным произведением. 5) Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Неравенство треугольника. 6) (з2)0ртогональные элементы. Теорема о существовании ортогонального базиса в евклидовом пространстве. Алгоритм ортогонализации Грамма- Шмита. (*)Матрица Грама. 7)(* Определение псевдорешения. Алгоритм построения псевдорешения. 8) Линейные операторы и их описание с помощью матриц. Примеры. 9) (з 1 )(з2) Ядро и образ оператора. (*)Инвариантное подпространство линейного оператора. Ранг оператора. Независимость ранга от выбора базиса. Теорема о размерности ядра и образа. 10) (з2) Теорема о преобразовании матрицы оператора при замене базиса (размерность два или три) (диаграмма). 11)(!)(з1)(з2) Собственные числа и векторы: определение и правила вычисления. Структура множества собственных векторов для фиксированного собственного числа. 12) (*) Спектр оператора и его свойства. 13) (!)Теорема о приведении к диагональному вида оператора, у которого все собственные числа различны. 14) (!)(з1)(з2) Самосопряженные операторы: описание в терминах матриц и через скалярное произведение. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженных операторов. 15) (*)(з2)Квадратичные формы: их описание через самосопряженные матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 16) Недиагонализуемые матрица. Формулировка теоремы о существовании базиса Жордана. Каноническая матрица Жордана. (*)Алгоритм построения базиса Жордана. 17) Линейные дифференциальные уравнения и системы. Векторное описание. 18) (!)Теорема о структуре решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. 19)(!) Линейно независимые системы вектор-функций. Теорема о размерности пространства решений однородной системы. 20) (!)(з2)Фундаментальная система решений системы однородных линейных дифференциальных уравнений. Определитель Вронского и его свойства. 21) (!)(з1)Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения и определитель Вронского. 22)(*) Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации неопределенных постоянных. |
