Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем



Скачать 172.33 Kb.
Дата28.11.2012
Размер172.33 Kb.
ТипЛекция
ЛЕКЦИЯ 1

Виды математических моделей сложных систем
Одной из проблем современной науки является разработка и внедрение в практику математических методов исследования динамики (во времени)функционирования сложных систем, к которым относится ЛПК.

Под математическим моделированием будем понимать исследование процессов как математических моделей.

Математическая модель должна воспроизводить исследуемый процесс с сохранением его физической природы (физика-наука о природе).

Математическое моделирование обладает широкими возможностями аналитического обобщения различных процессов (механических, тепловых, электрических и др.), описывая их одинаковыми математическими соотношениями.

Примеры: колебания механического (пружинного) маятника и электрических зарядов в колебательном контуре.

Немного терминологии:

Процесс- последовательное состояние системы во времени.

Система- комплекс механизмов, машин, оборудования и т.д..

Состояние системы параметризируется во времени, и они становятся характеристиками процесса.

При математическом моделировании необходима информация не только о параметрах системы, но и о начальных и граничных состояниях, необходимых для решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих процесс.

Математическая модель реального процесса это математический объект, поставленный в соответствие реальному динамическому объекту.

Математическая модель это совокупность формул, уравнений, неравенств, логических условий и т.д..

В силу различных причин характеристики процесса становятся случайными функциями.

Аналитическое исследование процесса предполагает такое исследование, при котором результат достигается аналитическими методами: построение формул, уравнений и т.д; оно является первым необходимым шагом.

Моделирование с учетом случайных процессов: средние, дисперсии, корреляции и т.д.

Математическая модель является результатом формализации процесса. с необходимым приближением к реальному.

Фазовое пространство процесса.

Математическая модель: система соотношений в целом. Разбиение процесса на подпроцессы. Анализ-синтез систем. Подпроцессы подбирают подходящие математические схемы: динамические, массового обслуживания, вероятностных и т.д..

Лесопромышленное производство состоит из последовательных выполняемых технологических операций.

Построение математической модели как сложного процесса в целом, так и для составляющих его элементарных актов в конечном счете сводится к получению соотношений, описывающих зависимость характеристик процесса от соответствующих параметров.

Случайные величины. Законы распределения случайных величин.

Современным производственным процессам свойственна частичная или полная синхронизация последовательно выполняющихся операций. Интервалы времени, характеризующие синхронность, часто являются случайными.
Это приводит к нарушению синхронности процесса в целом, когда операции или перегружаются, или недовыполняются.; возникает или очередь или простой. Процесс флуктуируется во времени, создается своеобразный динамический режим занятости производственного оборудования и машин.

Системы массового обслуживания.

Надежность комплексов ( отказы, за критические параметры, износ деталей машин и т.д.).

Содержательное описание сложных систем.

Эргодический процесс: позволяет моделирование большого количества реализаций заменить одной достаточно длинной реализацией, так что результаты моделирования по нескольким реализациям статистически равнозначны результатам моделирования по одной реализации (достатачно длинной). При моделировании эргодических процессов обеспечение заданной точности (при заданной достоверности) достигается достаточно большой длинной реализации (точность зависит от длительности реализаций).

Показатели эффективности сложного процесса, как показатели свойства самого процесса, показатели количественной меры свойства производственных процессов.

Производительность. Мощность оборудования. Средние показатели.

Модернизация процесса сложных систем. Оптимизация.

Синергетический принцип функционирования.

Статистический детерминизм: определяющие факторы

детерминированы, сопутствующие – случайные.

Гармония по представлению древних греков – соединение частей в единое целое.

Этапы математического моделирования:

- формулирование законов, связывающих основные объекты модели,

- исследование математических задач, к которым приводят

математические модели, это прямая задача, т.е. получение исходных

данных результатов для сопоставления с получаемыми результатами,

- адекватность принятой модели, обратная задача,

- развитиемодели.
ЛЕКЦИЯ 2
Многоступенчатые управляемые процессы.
Многоступенчатый управляемый процесс можно рассматривать как абстрактное понятие, с помощью которого можно представлять многие аспекты человеческой деятельности. Процессы могут быть как детерминированными, так и стохастическими. Поскольку многоступенчатый управляемый процесс представляет собой совокупность определенного числа ступеней, его природа определяется типом ступеней, которые его образуют, и способами их соединения.

Каждая ступень может представлять собой реальный или абстрактный объект (технологические операции, периоды времени, экономическая деятельность и т.д.), в котором происходят определенные изменения.

Переменные, которые претерпевают изменения на каждой ступени, называются переменными состояния.

Желаемые изменения с переменными состояния достигаются путем манипуляции с управляющими переменными.

Изменения, происходящие в каждой ступени , полностью определяются системой уравнений преобразования.

Ступень может иметь несколько входов и выходов, по которым в неё поступают или выводятся значения переменных состояния. По числу входов и выходов ступени классифицируются:

- ступень с одним входом и выходом называется связующей,

- ступень с несколькими входами и одним выходом – смесительная;

- ступень с одним входом и несколькими выходами – разделительная,

- ступень с несколькими входами и выходами – сложная.

Процессы разделяются на стационарные (гомогенные) и нестационарные (гетерогенные).

В задачах оптимизации многоступенчатых управляемых процессах целевая функция, подлежащая максимизации или минимизации, представлена как функция переменных состояния на выходе последней ступени, зависящая от условий сопряжения всех ступеней процесса.

Пример. В распоряжении имеется определенное количество ресурса ( сырье, капитал, технологии и т.п.). Он может быть использован различным образом, каждому из которого соответствует определенный результат. Целевая функция - результирующий доход.

Регрессионный анализ. Регрессионные зависимости являются одними из самых распространённых видов моделей, описывающих зависимость одной случайной величины от других случайных или не случайных величин. Регрессионная зависимость, или регрессия, записывается в виде функции, линейной или нелинейной, которая описывает зависимость «в среднем», т.е. приближенно с различной степенью приближения.

Слово «регрессия» введено ученым-естественником Гальтоном.

В инженерной практике приходится решать задачу зависимости наблюдаемой случайной величины У от одной или нескольких случайных (неслучайных) величин Х1, Х2, Х3 ,… . Величина У называется откликом, Х – факторами, влияющими на отклик, а (У,Х) – выборкой. Для определения зависимости отклика от факторов вводится между ними функциональная связь

У = f (Х).

Общая постановка задачи регрессионного анализа: по выборке (У,Х) наблюдаемых (экспериментальных) данных о значениях факторов и отклика

Ук = f (Хк ) + ок, к = 1, 2, 3,…,

где о – случайная величина, называемая ошибкой регрессионной модели,

требуется построить оценку функциональной зависимости У = f(Х) , как закономерной зависимости при наличии случайной составляющей.

Гауссовая модель. Метод наименьших квадратов: минимизация суммы квадратов откликов.

Корреляционный анализ. Раздел математической статистики, исследующий зависимость между случайными величинами на основе различных выборочных оценок коэффициентов корреляции.

Применение методов корреляционного анализа позволяет произвести отбор среди факторов с целью выявления наиболее информативных из них, наиболее существенно влияющих на отклик.

Коэффициент корреляции Пирсона

r = [n-1Σxy – ([xy)cp ] / [(n-1Σx2 – x2cp)(n-1Σy2 – y2cp)]1/2 .

Выборочный множественный коэффициент корреляции

ryz = [n-1Σ(y – ycp)(z – zcp)] / [(n-1(Σ(y – ycp)2 x2cp)(Σ(z – zcp)2]1/2 ,

z = b0 + b1x1 + b2x2 +……+ bkxk .

Многомерный статистический анализ. Раздел математической статистики, который исследует многомерные наблюдения: наблюдение представляется не одним числом, а целым набором чисел, которые определяют ортогональную систему координат пространства наблюдений.

Дискриминантный анализ Совокупность объектов разбита на группы. Представление группы.

Кластерный анализ. Разбиение «схожих» групп. .
Лекция 3
Математические модели оптимизации
Оптимизация представляет собой математическую задачу максимизации или минимизации некоторой функции нескольких переменных при наличии ограничений.

Процессу оптимизации соответствуют этапы:

  1. Определение цели, возможностей системы, независимых переменных,, ограничений и внешних воздействий.

  2. Анализ и упрощение: исключение второстепенных переменных и несущественных процессов, представление процесса в виде ступеней.

  3. Моделирование или математическая запись целевой функции и уравнений преобразования. Решение.

  4. Проверка: соответствие теоретических уравнений реальной системе (адекватность).

  5. Оптимизация: определение экстремума функций.


Прямой метод вычислений. Если известна функциональная связь между целевой функцией и управляющей переменной, то можно непосредственно вычислить значение целевой функции для некоторого фиксированного значения управляющей переменной.

Эффективен при наличии одной управляющей переменной или нескольких в небольшом диапазоне изменения.

Классический метод дифференциального исчисления. Целевая функция f(х1, х2,…, хп) обладает непрерывными частными производными по своим аргументам, тогда положив частные производные от f по х равными нулю и решая совместно n уравнений

(∂f/∂xi) = 0 , i =1, 2,…, n ,

найдем значения x , дающие стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных.

Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум целевой функции

f(х1, х2,…, хп) при ограничениях

gj (x1, x2, …, xn) = 0, j = 1, 2, …, m, m < n .

Вводятся m неопределенных коэффициентов (множителей) λj и выстраивается вспомогательная функция

F = f + λ1g1 + λ2g2 + …

После чего решается система n + m уравнений

∂F/∂x = 0 , gj = 0 .

Найденная совокупность значений х определяет стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных

Вариационное исчисление. Требуется найти функцию у = у(х), доставляющую экстремум интегральному функционалу

Р = ∫ F[x, y(x), dy/dx]dx ,

При граничных условиях y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; функция y(x) определяется из решения уравнения Эйлера

∂F/∂y – d(∂F/∂y,)/dx = 0 , y, = dy/dx.

Пример. Минимальному значению работы

W = ∫ N dt = ∫ Svdt ,

(здесь N - мощность, S - сила, скорость движения v = dx/dt , x – прямолинейная координата) соответствует решение уравнения Эйлера

dS/dt = 0 , S = 0 , const ;

это означает, что движение должно быть равномерным или с постоянным ускорением.

Линейное программирование (ЛП) является одним из востребованных методов решения оптимизационных задач, как в научных исследованиях, так и в практической деятельности: распределение ресурсов между работами машин, оборудования, бригадами, предприятиями, оптимизация технологических операций, экономических задач и др. В задачах, решаемых этим методом, целевая функция и область ограничения задаются линейными функциями.

В стандартной форме задачи ЛП формулируются в виде:

- найти экстремум целевой функции ( min или max)

F = с1х1 + с2х2 + …+ спхп → min (max) ,

- при заданной системе ограничений

а11х1 + а12х2 +…+ а1п xn = С1 ,

а21х1 + а22х2 +…+а2п xn = С2 ,



ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

х ≥ 0 , с ≥ 0.

Это задача поиска экстремума линейного функционала на линейных ограничениях.

Геометрическое представление этих задач: область ограничения С представляет собой выпуклый многоугольник, образованный пересечением плоскостей ограничений, построенных в n-мерной прямоугольной системе координат, n-мерной плоскостью так же является целевая функция F.

Здесь целевая функция достигает минимум (максимум) как касание n-плоскостью границы области ограничений, и методы дифференциального исчисления для его определения становятся не пригодными.

Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, основанный на итеративной процедуре.

В том случае, когда область ограничения задается одним линейным уравнением, задача не имеет решения для всех х > 0.

Квадратичное программирование. Представлению задач линейного программирования n-мерными плоскостями и гипервыпуклыми многоугольниками поставим в соответствие n-мерными векторами в n-мерной ортогональной системе координат:

- целевая функция n- мерный вектор

V = e1с1х1 + e2с2х2 + …+ enспхп ,

- ограничения n-мерные вектора

е1а11х1 + е2а12х2 +…+ еп а1п xn = В1 ,

е1а21х1 + е2а22х2 +…+ еп а2п xn = В2 ,



е1ак1х1 + е2ак2х2 + …+ епакпхп = Вк .

здесь еi – единичные базисные вектора, для которых выполняются условия ортогональности ei ej = 0 , e2i = 1 , i, j = 1, 2, …

Векторным представлениям построим в соответствие квадратичные формы как квадраты длин векторов для целевой функции

V2 = (e1с1х1 + e2с2х2 + …+ enспхп )2 = с21х21 + с22х22 +…+ с2пх2п ,

и ограничений в виде произведения единичного вектора и векторов ограничений

1 + е2 +…+ еп ) (е1а11х1 + е2а12х2 +…+ еп а1п xn ) =

= а11х 1 + а12х2 +…+ а1п x n = С1 ,

1 + е2 +…+ еп) (е1а21х1 + е2а22х2 +…+ еп а2п xn) =

= а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn = С2 ,



1 + е2 + …+ ел) (е1ак1х1 + е2ак2х2 + …+ епакпхп) =

= ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

Таким образом, линейное программирование на линейных формах отображается на программирование квадратичных форм как квадратов длин векторов целевой функции при ограничениях на линейных формах, и становится возможным сделать переход от методов не дифференциального исчисления линейного программирования к дифференциальным.

На квадратичных формах целевой функции и линейных форм ограничений стандартная задача оптимизации ставится следующим образом:

- найти минимум целевой функции как минимальной длины вектор

(минимальный квадратичный функционал)

Ф =V2 = с21х21 + с22х22 +…+ с2пх2п → min ,

при ограничениях

а11х1 + а12х 2 +…+ а1п x n = С 1 ,

а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn = С2 ,



ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

Здесь целевая функция Ф обладает непрерывными частными производными первого и второго порядка по своим аргументам.

В рассматриваемых условиях задачу оптимизации, как минимизации целевой функции, можно решать известным методом множителей Лагранжа. Метод заключается в введении множителей λ1 , λ2 , …, λк и построении вспомогательной функции

Т = с21х21 + с22х22 +…+ с2пх2п +

+ λ111х 1 + а12х 2 +…+ а1п xn – С1) + ,

+ λ221х1 + а22х2 +…+ а2п xn – С2) +



+ λкк1х1 + ак2х2 + …+ акпхп – Сk).

Минимизация целевой функции обеспечивается условием ∂2Ф/∂х2 > 0.

Стационарное значение целевой функции Ф находится путем решения системы ( n + k ) уравнений, получаемых из условий

∂Т / ∂хi = 0 , i = 1, 2, …, n ,

и ∂Т / ∂λj = 0 , j = 1, 2, …, k ,

таких как

21 х1 + ∑аj1 λj = 0 ,

22 x2 + ∑aj2 λj = 0 ,



2п xn + ∑ajk λk + 0 ,

а11х1 + а12х2 +…+ а1п xn = С1,

а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn = С2



ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск ..

Размерность пространства решения задачи равна ( n + k ).

Система уравнений является линейной и замкнутой по числу неизвестных x и l, поэтому её решение находится по формуле Крамера

Xi = di / d ,

где d – определитель основной матрицы системы уравнений , di – определитель матрицы, получающейся из определителя основной матрицы путем замены i-того столбца столбцом из свободных членов.

Таким образом, решением задачи становится пересечение гиперплоскостей, представленных системой уравнений.

Квадратичный функционал связан с линейным условием

V2 = F2 n .

В качестве иллюстрации представления предлагаемого метода оптимизации запишем решения линейной, плоской и 4-х мерной задач.

Линейная задача:

Найти минимальный квадратичный функционал

с21 х21 + с22 х2 2 → min ,

при линейном ограничении

х1 + х2 = С1 ,

решение имеет вид

х1 = с22 С121 + с22) . х2 = с21 С1 / (с21 + с22) .

Плоская задача:

Найти минимальный квадратичный функционал

с21 х21 + с22 х2 2 + с23 х23 → min ,

при линейном ограничении

х1 + х2 + х3 = С1 ,
решение имеет вид

х1 = с22 с23 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,

х2 = с21 с23 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,

х3 = с21 с22 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,

4-х мерная задача:

Найти минимальный квадратичный функционал

с21 х21 + с22 х2 2 + с23 х23 + с24 х24 → min ,

при линейном ограничении

х1 + х2 + х3 + х4 = С1 ,

решение имеет вид

х1 = с22 с23 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

х2 = с21 с23 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

х3 = с21 с22 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

х4 = с21 с22 с23 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

Решения позволяют выстраивать оптимальную организацию

общего лесозаготовительного процесса при наличии нескольких технологий, имеющих различную себестоимость единицы лесопродукции. В этом случае с – стоимость 1м3 лесопродукции для отдельной технологии, х – объем лесопродукции, производимой отдельной технологией, а С – общий объем заготовки леса.

В том случае, когда имеется информация о часовой или сменной производительности каждой технологии, можно найти технологическое время для каждой технологии, обеспечивающее минимальные затраты выполнения всего комплекса работ:

ti = xi / ni ,

здесь ni – производительность огдельной технологии в комплексе.

Задачи на максимум выстраиваются как двойственная минимуму

Н – Ф → mах ,

Где Н – постоянная, и условием – ∂2Ф/∂х2 < 0.

Представленное построение показывает, что решение задачи оптимизации данным методом квадратичного программирования возможно при минимальном числе условий ограничения (к = 1), что в принципе не возможно при линейном программировании.

В тоже время множество задач линейного программирования можно решать представленным методом квадратичного программирования.

Нелинейное программирование. Задача представлена нелинейными формами.

Динамическое программирование. Метод основан на принципе оптимальности, сформулированным Беллманом: оптимальная политика обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса, последующие управления должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса.

Пример. Процесс состоит из ступеней: n, n-1, n-2,.., 1. Преобразование и доход определяются функциями T(x,D) и P(x,D) соответственно (x- переменная состояния, D – управляющая переменная)

Целевая функция fn(x) и управление Dn на n–й ступени удовлетворяют функциональному уравнению

fn(x) = ext (Dn) {fn-1[T(x,Dn)] + Pn(x,Dn)},

Принцип максимума. (принцип быстродействия) Состояние процесса задается числами х1, х2, …,хп , называемыми координатами фазового пространства процесса, движение объекта управляется параметрами u1, u2,…, ur; координаты фазового пространства и управляющие переменные зависят от времени, управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений

dxi/dt = fi (x1,…, xn , u1, …, ur) , i = 1, 2, .., n.

или в векторной форме

dx/dt = f [x(t), u(t)] ,

интегральный функционал

J = ∫f(x1, x2,.., xn, u1, u2,…,ur)dt ,

на отрезке времени принимает определенное значение; переход из одного состояния процесса в другое должен происходить при минимальном значении интегрального функционала.


Лекция 4

Стохастические модели оптимизации
При решении конкретных задач с учетом неопределенностей приходится сталкиваться с тремя типами6

- неопределенность целей,

- неопределенность информации,

- неопределенность действий партнера или противника.

Неопределенность не следует путать со случайностью. Неопределенность подразумевает недостаточность знаний (понимания) проблемы и неясность взаимодействия различных факторов.

Математические методы можно разделить на три взаимосвязанных класса:

  1. детерминированные модели,

  2. модели оптимизации,

  3. вероятностные модели.

Связь между ними можно представить в виде треугольника.

Проблема может не иметь математического представления по следующим причинам:

  1. структура очень сложна,

  2. структура ясна, но включает неопределенность, вероятности не могут быть определенными,





  1. орошо понимаемо эмпирически, но теоретическая структура неясна,

  2. структура понятна, но нерешаеаа даже приближенными методами,

Неопределенность надо учитывать по отношению к случайности.:

-стохастическая неопределенность при статистической устойчивости,

- нестохастическая неопределенность, когда не существует никаких предположений.

Возникает риск принятия решений.

Принятие решений в условиях риска основывается на критериях:

- ожидаемого значения,

- комбинация ожидаемого значения и дисперсии,

- известного предельного уровня,

- наиболее вероятного события в будущем.

Если неопределенные факторы заданы законом распределения:

- случайные факторы заменяются математическим ожиданием и

производится оптимизация в среднем.

Стохастическое программирование:

Оптимизация математического ожидания целевой функции

W= М (Σcixi) → ext,
W= М (Σcixi) = Σcicxi → ext,

Теоретической основой нахождения решения в условиях неопределенности и конфликтных ситуаций является теория игр.

Теория игр как раздел оптимизации. исследующий методы разрешения конфликтов, в которых сталкиваются интересы нескольких сторон, и непосредственноне затрагивающие максимизацию или минимизацию.

Основу оптимизации с позиции теории игр составляет теория полезности. Оптимизация как предпочтение полезности. Предпочтение альтернатив. Функция полезности на множестве альтернатив. Предпочтение не числовая характеристика, а упорядочение. Поиск лучшей альтернативы.

Теория игр, исследующая интересы не одной стороны, а нескольких сторон, это другой путь оптимизации принятия решений.

Решение, полезность, предпочтение.

Решить – сделать выбор среди альтернатив. Для выбора надо знать порядок предпочтений.

Когда функция полезности определена и известны ограниченияна применение предпочтений, тогда выбирается методика оптимизации в смысле предпочтения среди альтернатив.

Упорядоченная полезность – порядковая полезность. Числовая полезность Эвристические критерии полезности:

  1. Сопоставимость: для двух альтернатив либо предпочтение,

либо сопоставимость.

  1. Транзитивность: если а > в и в> с, то а > с.

  2. Недополнительность: если а > в, р – вероятность а, (1-р) – вероятность в, то а > ра + (1-р)в,

и др..

Метод Парето: сохранение множества возможных вариантов и выделение области , из которой необходимо выбрать наиболее предпочтительные.

Похожие:

Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconМетоды и методики анализа математических моделей в сложных системах (экономических, экологических, биологических) 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Методы и методики анализа математических моделей в сложных системах экономических, экологических
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем icon2. Разновидности графовых моделей сложных объектов
Целью настоящей работы является изучение основных методов формального представления объектов проектирования разновидностями графовых...
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconФорма Содержание инициативного проект
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы разработки математических моделей динамики сложных систем, отражающих реальные...
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем icon{ моделирование систем } V1: { модуль Теоретические основы разработки математических моделей систем }
Современное состояние проблемы моделирования систем. Раздел Основные понятия теории моделирования систем }
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconИсследование моделей сложных систем в рамках квантово-полевы х и молекулярно-динамических уравнений
Модификация пакетов dl poly и chimera и проведение расчетов для моделей кхд и взаимодействия металлических кластеров
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconПрограмма курса "Теория сложных систем"
Цель курса: дать представление о динамике сложных систем, механизмах самоорганизации открытых систем, описать явления перехода от...
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconЗадача анализа связности иерархических систем Г. Ы. Токтошов
Однако в настоящее время не создана стройная математическая теория подобных систем[1]. Поэтому целю настоящей работы является разработка...
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconЛабораторная работа №1 исследование математических моделей линейных импульсных систем (лис)
Исследовать математические модели лис и способы построения этих моделей для линейных непрерывных объектов
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconОтчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм»
Приоритетное направление Вычислительная математика, системное программирование
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем iconИсследование моделей сложных систем в рамках квантово-полевых и молекулярно-динамических уравнений

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org