Лабораторная работа №6. Численное интегрирование



Скачать 50.06 Kb.
Дата29.11.2012
Размер50.06 Kb.
ТипЛабораторная работа
Лабораторная работа №6.

Численное интегрирование.
Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида:



Где - вещественная функция некоторого класса, заданная на любом конечном или бесконечном отрезке числовой оси ;

- некоторая фиксированная функция, которую называют весовой.

Довольно часто приближенное значение данного интеграла ищут в виде линейной комбинации значений функции на отрезке :



Это приближенное равенство называют квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами .



- называют остаточным членом, или остатком квадратурной формулы.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами применяются для вычисления интеграла:



с постоянной весовой функцией и конечным отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке задана функция. Введем сетку, разбивающую отрезок на N равностоящих узлов.

Где , шаг и обозначим



Выберем на каждом сегменте серединную точку и обозначим gif" name="object20" align=absmiddle width=112 height=24>

Квадратурная формула прямоугольников имеет вид:



Если функции непрерывны на отрезке , то остаточный член имеет вид:

, где
Квадратурная формула трапеций имеет вид:



Или



Если функции непрерывны на , то остаточный член представляется в виде:

,где

Выберем на каждом сегменте серединную точку и обозначим

Квадратурная формула Симпсона имеет вид:



Т
акже можно взять удвоенный частичный отрезок, обозначив , и .

В результате получим другой вариант формулы Симпсона:



При этом, если функция имеет на отрезке непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то остаточный член имеет вид:

, где

Решая неравенство относительно h для остаточных членов любой из квадратурных формул и делая вычисления с таким шагом, получаем заданную точность вычисления.
Пример1:

Вычислить интеграл по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, сравнить с точным значением интеграла и вычислить остаточный член для каждой формулы

Точное значение интеграла:



  1. Квадратурная формула прямоугольников

Для вычисления интеграла введем сетку, разделяющую отрезок на n=10 частей, при этом h=0,2. Выберем на каждом сегменте срединную точку

Применяя квадратурную формулу прямоугольников получаем:



Оценим погрешность по общей формуле.

Поскольку ,

то

При сравнении точного значения интеграла и полученного имеем разницу . Сравнивая эту разницу с погрешностью, можно сказать, что оценка явно завышена.

  1. Квадратурная формула трапеций.

Введем сетку также, как в пункте 1.

При этом h=0.2, N=10 по квадратурной формуле трапеции:



При этом оценка погрешности составляет:



При сравнении точного и полученного значения интеграла разность значительно меньше погрешности 0,66666 , что говорит о явно завышенной оценке.


  1. Квадратурная формула Симпсона.

Введем сетку как в пункте 1. Пусть h=0.2, n=10.

Чтобы не использовать дробные индексы, обозначим , , и записываем формулу Симпсона в виде:



Вычислим интеграл по квадратурной формуле Симпсона:



Оценка погрешности этой формулы:





Сравнение точного значения интеграла с полученным дает разность . Эта разность меньше погрешности. Можно сказать, что в данном случае оценка также завышена.
Пример2:

Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Оценку погрешности для каждой квадратурной формулы будем брать из примера 1 соответственно.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге h погрешность будет составлять 0,01:



При шаге отрезок разбивается на N=80 равностоящих узлов.
Квадратурная формула трапеций.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:



При шаге ,отрезок разбивается на N=118 равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:


При шаге , отрезок разбивается на N=40 равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов N=40 получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.
Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования.

Пусть - квадратурная формула, примененная на частичном отрезке и имеющая порядок m, то есть . Для формул прямоугольников и трапеций m = 3, а для формулы Симпсона m = 5. Проведем на каждом частичном отрезке все вычисления дважды, один раз с шагом , другой раз с шагом . Тогда справедлива оценка:



Если для заданного правая часть не превосходит , то получим:



то есть будет достигнута заданная точность .

Если же на каком-то из частичных отрезков эта оценка не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Заметим, что для некоторых функций такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений, а также возможность увеличения .

Задачи:

  1. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы а) прямоугольников, б) трапеций, в) Симпсона. Величину шага выбрать заранее, сделав вручную оценку погрешности через вторую (случаи а,б) или четвертую (случай в) производные. Сравним с точным значением интеграла

1.(а) 2.(б) 3.(в)
4.(а) 5.(б) 6.(в)
7.(а) 8.(б) 9.(в)
10.(а) 11.(б) 12.(в)
13.(а) 14.(б) 15.(в)
16.(а) 17.(б) 18.(в)
19.(а) 20.(б) 21.(в)


22.(а) 23.(б) 24.(в)

Похожие:

Лабораторная работа №6. Численное интегрирование icon4 Численное интегрирование
Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т е численное интегрирование выполняется для...
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconЛабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b
На отрезке [a, b] задана функция, будем считать, что функция достаточно гладкая. Требуется вычислить
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconКонтрольные вопросы к части 6 Часть 2 (дополнительная). Численное интегрирование методами Симпсона и Гаусса 7 Метод Симпсона 7
Обязательная. Численное интегрирование методами прямоугольников и трапеций 1
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconМетоды вычислений Лабораторная работа №2 1
Напишите программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом (одним из трех по вариантам) левых прямоугольников,...
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconЧисленное интегрирование. Физические задачи, приводящие к интегрированию
Интегрирование функций является составной частью многих научных и технических задач. Поскольку аналитическое интегрирование не всегда...
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconЛабораторная работа №2 По курсу "Методы вычисления" Вариант 11 Выполнял студент Новожилов И. Ю. Проверил Виноградов С. Ю
Написать программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом (одним из трех по вариантам) левых прямоугольников,...
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconОтчет по лабораторной работе №4 по теме «Численное интегрирование»
При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом...
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconЛабораторная работа №1 Работа в Oracle Database Express Edition 1 Лабораторная работа №6
Лабораторная работа Выполнение расчетов с использованием программирования в среде Visual Basic for Applications
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconЧисленное интегрирование
Функция y=f(x) заменяется интерполяционным многочленом P(x), который в точках xi = значению функции
Лабораторная работа №6. Численное интегрирование iconВопросы по теме «Численное интегрирование»
Симпсона, непосредственно вычисляя интеграл разности подынтегральной функции и формулы
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org