Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем



Скачать 66.71 Kb.
Дата29.11.2012
Размер66.71 Kb.
ТипДокументы
Китаев А.Е.

Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем.

1. Уменьшение размерности лагранжиана.
Я собираюсь провести здесь некоторые вычисления с функциями Лагранжа (главным образом для распределенных систем). Аналогичных выкладок в литературе по механике и вариационному исчислению я не встречал. Буду благодарен, если кто-либо по электронной почте или каким-либо другим образом сообщит мне о похожих местах в других публикациях.

Я надеюсь, что вы знакомы с методом Лагранжа для распределенных систем (то-есть когда с помощью функции Лагранжа получаются дифференциальные уравнения с частными производными, а не обыкновенные дифференциальные уравнения). Если не знакомы, то можно почитать соответствующую главу в книге Г. Голдстейна «Классическая механика», а также в добавление к ней первую часть четвертого тома «Курса высшей математики» В.И.Смирнова. Если вы хорошо разбираетесь в этом вопросе, то прошу прощения за подробный стиль изложения – я постараюсь начать с самых простых примеров и многие выкладки произвести без пропусков. Хотя в некоторых местах пропуски все же будут.

Рассмотрим такую простейшую плотность функции Лагранжа:

Можно считать  линейной плотностью массы , а Y – модулем Юнга (тогда этот лагранжиан описывает продольные волны в упругом стержне). Рассмотрим уравнение Лагранжа (или Остроградского – по книге В.И.Смирнова) для такой плотности лагранжиана (и получим с его помощью дифференциальное уравнение).

Подставляем все это в уравнение Эйлера-Остроградского :

Получилось одномерное волновое уравнение. Если разделить все на Y, то получим:

Здесь v – это фазовая скорость волн.

Если взять плотность функции Лагранжа не в виде разности плотностей энергий, а домноженной на некоторую константу, например в таком виде:


то можно сразу получить волновое уравнение в виде (1).

Обобщение рассмотренного примера на случай нескольких переменных ясно. Например, для случая двух переменных:

А полученное волновое уравнение (двумерное) будет таким:

Приведем также лагранжиан с массовым (дисперсионным) членом, описывающий действительное скалярное поле в релятивистской квантовой механике:
gif" name="object8" align=absmiddle width=369 height=91>

где , причем m – масса.
Соответствующее дифференциальное уравнение:


Далее мы «озадачимся» вот каким вопросом. Как известно, для волнового уравнения возможно искать решение в виде произведения нескольких функций, зависящих каждая от своей переменной (на этом основано решение с помощью разделения переменных). И если известна зависимость решения от одной из переменных, то множитель, зависящий от другой переменной, подчиняется какому-то дифференциальному уравнению, которое можно найти.

Вот что я имею ввиду. Возьмем уже рассмотренное нами одномерное волновое уравнение.

Будем искать решение в виде .

Подставляем:

Получилось обыкновенное дифференциальное уравнение для функции u(t) – уравнение линейных колебаний. Если искать решение в виде , то получим такое же уравнение для u(t).

Наша задача – получить такое дифференциальное уравнение (для функции от меньшего числа переменных) прямо из лагранжиана (т.е. из l – плотности функции Лагранжа). Более конкретно – программа действий такова: из лагранжиана, зависящего от U (которая в свою очередь зависит от x и t) и ее производных (по x и t) получаем сперва лагранжиан , зависящий от u (которая зависит лишь от t) и ее производной (по t). А уже потом из этого вторичного (или «уменьшенного» - имеется ввиду уменьшение размерности) лагранжиана получить уравнение движения для u(t).

Возьмем лагранжиан для продольных волн в упругом стержне (как простейший):



Попробуем подставить туда . Получим в результате:

Результат не очень хороший. Во-первых лагранжиан пропорционален комплексной функции от x (хотя в принципе по x можно было бы усреднить, или вообще отбросить эту функцию, так как все члены получившегося выражения пропорциональны ей). Во-вторых (что хуже) – он представляет собой сумму квадратичных слагаемых, в то время как мы помним, что ланранжиан гармонических колебаний в механике есть не сумма, а разность кинетической и потенциальной энергий (квадратичных по и, соответственно, по u величин).

Попробуем теперь подставить . Получаем:



Ситуация вообще никуда не годится. Член, пропорциональный x, даже нельзя вынести «за скобки» (если в скобки взять все выражение). Оба слагаемых получившегося выражения пропорциональны разным функциям от x.

Что же делать? Попробуем не совсем очевидную вещь. Перейдем от лагранжиана, зависящего от одного поля U (и его производных, конечно, а также, возможно, от координат) к лагранжиану, зависящему от двух полей. Причем так, чтобы в случае приравнивания одного поля другому лагранжиан совпал с прежним.

Теперь для получения уравнений движения потребуется уже два уравнения Лагранжа (а не одно):

Причем с помощью первого уравнения (в запись которого входит U2) получим волновое уравнение для U1 (такое же, как и раньше), а с помощью второго – волновое уравнение для U2 (тоже такое же).

Далее будем считать, что U1 это поле первой моды, а U2 – поле второй моды. Первую моду возьмем такой: , а поле второй моды - . Подставим (напоминаю – в лагранжиан, не в волновое уравнение). Получается:


Это уже хороший результат. Зависимость от x исчезает («сворачивается»), получается лагранжиан для гармонических колебаний. Назовем его «уменьшенным лагранжианом», уменьшенным по пространственной координате. Если выражаться точнее, это линейная плотность функции Лагранжа. Можно ее проинтегрировать по какому-нибудь интервалу оси x, чтоб получить настоящую функцию Лагранжа.

Естественно еще потребовать, чтобы получающаяся плотность функции Лагранжа была действительной (а не комплексной). Это требование будет выполняться, если величины u1 и u2 будут чисто действительными, либо комплексно сопряженными. Можно было бы сразу обозначить вторую моду как комплексно сопряженную с первой.



Тогда мы сразу бы получили чисто действительный уменьшенный лагранжиан.

Здесь я сделаю предположение насчет обязательности этих условий на амплитуды. Так как с начальным лагранжианом мы обошлись достаточно вольно, «разделив» одну функцию на два различных экземпляра, и в дальнейшем получили осмысленный результат, то и условия на амплитуды в конечном лагранжиане не обязательно строго соблюдать.

Назовем такую последовательность наших действий расщеплением поля на моды (зависящие от координаты x). Итак, с помощью расщепления поля на моды мы получаем уменьшенный по размерности лагранжиан. Можно также называть все это расщеплением самого лагранжиана.

Кроме того требование действительности уменьшенного лагранжиана может наложить некоторые связи на величины коэффициентов при модах, зависимых от «несвертываемых» координат (для нашего случая несвертываемая координата – это время). В данном случае связь:



Но, вообще говоря, мы не будем обращать внимание на получающиеся таким образом связи. Главное – это дифференциальные уравнения, получающиеся из функций Лагранжа.

А как будут обстоять дела, если увеличить количество размерностей? Возьмем для примера случай двух пространственных координат.


Моды, на которые мы будем расщеплять поле U(t,x,y), такие:


Мы сразу обозначили третью и четвертую моды как комплексно сопряженные первой и второй, хотя можно было обозначить их и как U3, U4.

Важный момент – удобно расположить эти четыре величины в виде матрицы-строки и матрицы столбца, то-есть «расщепление» произвести так:



То-есть комплексное сопряжение совмещается с сопряжением этих величин как матриц. И лагранжиан уже зависит не просто от двух полей вместо одного, но и сами эти поля перестают быть числами (числовыми функциями то-есть), а становятся матрицами. Такое вот усложнение.

Подставим все это в лагранжиан:

Если применить к полученному лагранжиану (уменьшенному на 2 координаты) уравнения Лагранжа, то дифференциальные уравнения для u1 и u2 получатся независимыми друг от друга.

В заключение этого раздела попробуем получить через лагранжиан дисперсионный массовый член. Вот что я имею ввиду. Рассмотрим волновое уравнение в двумерном пространстве

Пусть заданы граничные условия U(y=0)=0, U(y=d)=0 (то-есть в направлении оси x простирается что-то похожее на волновод для скалярного поля, ограниченный с двух сторон по y). Будем искать решение в виде .

Если подставить все это прямо в волновое уравнение, то получим



Если же подставлять в лагранжиан в таком виде, то сократить зависимость от y или хотя бы вынести ее за скобки не удается.



То-есть процедура уменьшения лагранжиана «не любит» стоячих волн. Если же искать решение в виде

,

то-есть расщепив поле на 2 моды, зависящие от y (аналогично описанной выше процедуре), только тогда получим «хороший», уменьшенный на одну размерность по y, лагранжиан



Правда такие моды (зависящие от y) не удовлетворяют нулевым граничным условиям в точках 0 и d (разве что только циклическим условиям для бегущих волн U(y=d)=U(y=0), тогда ky=2/d ).

Похожие:

Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconС. П. Ковалёв Семестровый курс «Современные методы распределенных вычислений» для студентов X семестра факультета информационных технологий Новосибирского государственного университета Программа
Инженерия распределенных информационно-вычислительных систем: прошлое, настоящее, будущее. Шаблоны проектирования распределенных...
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconСпецкурс "Архитектура распределенных систем программного обеспечения "
Понятие распределенных систем программного обеспечения. Виды и свойства распределенных систем программного обеспечения. Виды архитектуры...
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconЭволюционные алгоритмы для автоматизации проектирования распределенных систем обработки информации и управления
В работе описывается поход к автоматизации моделирования распределенных систем с помощью Марковских процессов и выбора эффективных...
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconЛекции Распределенные системы: задачи, терминология принципы функционирования. Часто используемые термины. Типичные архитектуры построения распределенных систем
Практическое знакомство с принципами разработки распределенных систем, с использованием современных технологий
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconПрограмма дисциплины «Введение в технологии распределенных вычислений»
Целью дисциплины является ознакомление студентов с основными технологиями построения распределенных вычислительных систем. В рамках...
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconПрограммное обеспечение промежуточного слоя для распределенных систем реального времени
Рассматривается программное обеспечение промежуточного слоя (middleware), разработанное для создания распределенных кроссплатформенных...
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconРазработка программного обеспечения для пзс-систем на основе uml-моделирования
Поэтому подобную систему управления и сбора данных можно отнести к классу параллельных приложений с элементами приложений реального...
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2004 год Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем iconН. А. Шевелев 2012г м. п
«Программы дополнительного образования для специалистов по технологиям распределенных вычислений и систем»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org