Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3)



Скачать 51.59 Kb.
Дата29.11.2012
Размер51.59 Kb.
ТипРешение
ЛЕКЦИЯ 9. Электромагнитные волны.
9.1. Волновое уравнение. Общие свойства электромагнитных волн

Рассмотрим электромагнитное поле в той области пространства, где отсутствуют источники , - свободное электромагнитное поле. В этом случае электрическое и магнитное поля подчиняются однородной системе уравнений Максвелла:

. (9.1)

Вычисляя и используя выражение для , получим волновое уравнение:

. (9.2)

Аналогичное уравнение получается и для магнитного поля . Если потенциалы и подчинить условию Лоренца (4.6), то уравнения (4.7) для потенциалов электромагнитного поля превращаются в волновые уравнения вида (9.2). Таким образом, все характеристики свободного электромагнитного поля подчиняются волновым уравнениям. Волновые решения уравнения (9.2) описывают процесс распространения электромагнитного поля в пространстве – электромагнитные волны.

Рассмотрим случай точечного источника электромагнитных волн, расположенного вблизи точки О (рис. 9.1).







А





О

Рис. 9.1
Переменные состояния поля в этом случае являются функциями времени и координаты .

Решение волнового уравнения (9.2) имеет вид:
, (9.3)

где - произвольные функции. Первое слагаемое описывает электромагнитную волну, которая распространяется со скоростью вдоль радиус-вектора gif" name="object18" align=absmiddle width=18 height=18>, и амплитуда которой убывает с расстоянием по закону (расходящаяся сферическая волна). Второе слагаемое описывает волну, распространяющуюся в противоположном направлении (сходящаяся сферическая волна). Общее решение (9.3) есть суперпозиция расходящейся и сходящейся сферических волн. Физический смысл отражает первое слагаемое в решении (9.3) – волна распространяется от источника. В дальнейшем будем рассматривать только эту расходящуюся волну.

Здесь существенны следующие два момента. 1. Электромагнитная волна способна распространяться в вакууме и не требует наличия какой-либо среды в пространстве, как, например, акустические волны. 2. Амплитуда волны обратно пропорциональна расстоянию, а ее интенсивность (энергия) обратно пропорциональна квадрату расстояния.

При больших расстояниях фронт волны вблизи точки А (рис. 9.1) можно считать плоским и использовать приближение плоской волны. По определению, это такая волна, для которой все ее характеристики меняются лишь в одном направлении (для определенности – вдоль оси ). Для характеристик электромагнитного поля имеем следующие решения волнового уравнения:

(9.4)

и для векторного потенциала

. (9.5)

Электромагнитная волна является поперечной, т.е. векторы лежат в плоскости перпендикулярной оси (перпендикулярны единичному вектору , вдоль которого распространяется волна). Докажем данное утверждение.

Пусть скалярный и векторный потенциалы подчиняются волновой калибровке:

. (9.6)

Из второго равенства в (9.6) имеем: и . Тогда из волнового уравнения


следует, что и . Поскольку

,

то

.

Постоянную следует взять равной нулю (электрическое постоянное поле не имеет отношения к электромагнитной волне). Таким образом, . Векторный потенциал допускает калибровочное преобразование . Выбирая надлежащим образом функцию , можно считать без каких-либо ограничений . Таким образом, векторы и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, которое задается единичным вектором (рис. 9.1).

Найдем магнитное поле :

.

Таким образом, и . Очевидно, что

.

Поэтому:

.

Итак, для электромагнитной волны

. (9.7)

Электрическое и магнитное поля в плоской электромагнитной волне изменяются в пространстве и во времени синфазно. Электромагнитная волна является поперечной волной: векторы и лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны, перпендикулярны друг другу и их модули равны.

Все данные свойства справедливы и для сферических волн.
9.2. Монохроматические плоские электромагнитные волны

Электромагнитная волна называется монохроматической, если переменные поля меняются со временем по гармоническому закону. Для плоской монохроматической волны

. (9.8)

Здесь - амплитуда, циклическая частота и начальная фаза, соответственно. Начальную фазу удобно сразу принять за нуль (выбор начала отсчета времени). Введем волновое число

. (9.9)

Тогда

. (9.10)

Если ввести волновой вектор

, (9.11)

то последнюю формулу можно представить в виде:

. (9.12)

Последняя формула описывает волну, распространяющуюся в произвольном фиксированном направлении, которое задается единичным вектором .

Пусть вектор в электромагнитной волне остается в процессе ее распространения параллельным некоторому постоянному вектору , который называется вектором поляризации. В этом случае волна называется линейно поляризованной. Для плоской монохроматической линейно поляризованной волны окончательно имеем:

. (9.13)

В общем случае плоская монохроматическая волна (9.12) представляет собой суперпозицию двух линейно поляризованных волн:

. (9.14)

Здесь векторы - постоянные векторы перпендикулярные друг другу и перпендикулярные направлению распространению волны (т.е. вектору ).

Пусть волна распространяется вдоль оси . Далее, предположим, что вектор направлен вдоль оси , а вектор направлен вдоль оси . Тогда

.

Исключая из двух последних равенств время, найдем

. (9.15)

Последнее равенство показывает, что в плоскости вектор вращается так, что его конец описывает эллипс. Поскольку распространение электромагнитной волны происходит в направлении оси , то изменение вектора в пространстве и во времени представляется в виде движения его конца по эллиптической спирали (эллиптически поляризованная волна). Шаг спирали равен длине волны . Если амплитуды равны по величине, то волна будет поляризована по кругу. Если одна из амплитуд равна нулю, то волна линейно поляризована. В общем случае плоская монохроматическая волна поляризована эллиптически.

В силу того, что реальные источники состоят из огромного числа независимых излучателей, испускающих волны со случайным распределением амплитуд, начальных фаз и поляризаций, реальные электромагнитные волны в целом являются неполяризованными. Для получения поляризованных волн необходимо, чтобы элементарные источники были скоррелированы друг с другом.





Похожие:

Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение волнового уравнения операторным методом в среде Mathcad. Волновое уравнение без учета возмущающих воздействий имеет следующий вид, или, что очень важно для операторного метода
Рассмотрим пример, когда концы струны жестко закреплены и заданы следующие начальные условия
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение дополнительной функции, которая обладает иными
Эту процедуру мы будем называть математической калибровкой волнового уравнения. Она имеет следующие особенности
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение уравнений, сводящихся к квадратным. Проверка д / з : вопросы? 1 проверим решения и ответы
Новый материал. Существует ряд квадратных уравнений, для которых имеет смысл упростить формулу вычисления корней. Это – квадратные...
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение Слагаемые второй степени уравнения образуют квадратичную форму, матрица которой имеет вид
Линейным преобразованием координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение задачи с начальными затравочными значениями для трехмерного волнового уравнения. Это решение толкуется следующим образом: по истечении некоторого времени область с начальным, затравочным возбуждением трансформируется в некий шаровой
Перед физикой уже довольно давно стоит ряд вопросов, непротиворечивые ответы на которые до сих пор не получены, хотя эти вопросы...
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconМария Корнева, Виктор Кулигин, Галина Кулигина
Целью работы является сравнение постановки математической и физической задач для нахождения решения неоднородного волнового уравнения...
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение дифференциального уравнения. Начальные условия и задача Коши
...
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconОпределение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения
Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять...
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение уравнения 2 Общее решение дифференциального уравнения
Для дифференциального уравнения найти частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям y(0)=1
Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) iconРешение уравнения? Тождественное преобразование. Основные виды тождественных преобразований
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org