Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений



Скачать 22.58 Kb.
Дата29.11.2012
Размер22.58 Kb.
ТипДокументы

УДК 51(06) Проблемы современной математики

Н.А. КУДРЯШОВ, А.В. МИГИТА

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
СИМВОЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА ТОЧНЫХ

РЕШЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ
В работе представлен символьный алгоритм поиска точных решений нелинейный дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на методе простейших уравнений. Алгоритм реализован в системе вычислений Maple.
Решения нелинейных дифференциальных уравнений в виде бегущей волны очень часто можно представить в виде полиномов от гиперболических или эллиптических функций. Точные решения такого вида встречаются в динамике жидкостей, физике плазмы, эластичных средах, при описании химических реакций и т.д. Соответственно, был развит набор методов поиска таких точных решений, получивших названия tanh-, sech-, cn-, sn- методы, по названиям функций в виде полинома от которых искалось решение. Однако, в недавнее время был развит метод простейших уравнений, обобщающий все выше перечисленные [1]. В этом методе решение ищется в виде полинома (или рациональной функции) по функциям, являющихся решениями некоторого «простейшего» уравнения с известными свойствами.

Пусть имеется нелинейное ОДУ:

.

Тогда можно попытаться искать решения в виде полинома от решения простейшего уравнения:

.

Примерами простейших уравнений могут служить уравнение Риккати, уравнение для эллиптических функций Якоби, или для функции Вейерштрасса.



Зная порядки сингулярности решений исследуемого и простейшего уравнений, можно представить решение исходного уравнения в виде

,

где F – полином, или, может быть, более сложная функция. Например, если в качестве простейшего уравнения выбрано уравнение Риккати, то F можно взять в виде:

.

Подставляя это выражение в исходное уравнение и учитывая связи между Y и производными Y, которые накладывает простейшее уравнение, получаем алгебраическую систему на коэффициенты и параметры простейшего уравнения, если такие имеются. Решив эту систему, получаем точное решение исследуемого нелинейного ОДУ.

Как видно, метод обобщает все вышеперечисленные методы поиска точных решений и хорошо алгоритмизуется. Программный пакет, реализующий метод был разработан для системы символьных вычислений Maple.
Первый шаг метода – определение сингулярностей исходного и простейшего уравнений является частью уже решенной более общей задачи Пенлеве – анализа нелинейного ОДУ [2, 3]. При этом выбор простейшего уравнения определяется пользователем. Далее, исходя из полученных данных, программа строит полином , однако пользователь может задать F явно, в тех случаях, когда это необходимо. Результатом работы программы является явно заданная Y(z) (в тех случаях, когда возможно ее отыскать), функция и несколько найденных наборов коэффициентов и параметров простейшего уравнения. Этими данными точное решение задается явно и однозначно.
Список литературы


  1. Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations. // Chaos, Solitons and Fractals 24 (2005) 1217-1231.

  2. Xu G Q, Li Z B, Symbolic Computation of the Painleve Test for Nonlinear Partial Differential Equations, Appl. Math. Comp, 169 (2005), 1364-1379.

  3. Hereman W., Zhang W., Symbolic software for soliton theory, Acta Appl. Math., 39 (1995), 316-378.




ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7

Похожие:

Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconРешение систем уравнений методом алгебраического сложения
Цели урока: Привести классификацию уравнений, решаемых методом алгебраического сложения, сформулировать алгоритм решения систем уравнений...
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconОценки в дереве решений конечной антогонистической игры двух лиц с нулевой суммой и полной информацией
Представлен алгоритм поиска наилучшей оценки в дереве решений логической игры с полной информацией для двух лиц. Описаны использованные...
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconМетоды поиска новых решений в специализированной инструментальной оболочке для создания интеллектуальных сапр
Ых решений в специализированной оболочке для построения интеллектуальных сапр. Описывается специфика процесса поиска новых решения,...
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconОценка погрешности приближений процесса итерации
Алгоритм решения системы n линейных уравнений методом Гаусса- зейделя представлен в книге Турчак, Плотников на ст
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconЭволюция локализованного возмущения, описываемого уравнением веселова-новикова
Описан метод построения точных решений уравнений Веселова-Новикова, локализованных на плоскости в начальный момент времени
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconРешение простейших тригонометрических уравнений
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений icon2. 2 Символьный форматы данных
Символьный формат это правило, по которому в памяти ЭВМ кодируется текстовая информация
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconМетодическое пособие Курск, 2010 ббк 67. 404. 321 А45 Алгоритм патентного поиска
Алгоритм патентного поиска [Текст] : методическое пособие / Курс обл науч б-ка им. Н. Н. Асеева, отдел патентно-технич и с/х лит.;...
Символьный алгоритм поиска точных решений методом простейших уравнений iconАлгоритм решения системы линейных уравнений методом градиентов Метод ортогонализации
Чтобы избежать в дальнейшем путаницы, над векторами поставим черточки. Решение системы будем разыскивать в виде
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org