МОУ «Средняя общеобразовательная школа №16 с углубленным изучением отдельных предметов»
ДОКЛАД
по алгебре
Наука о решении уравнений
Автор: ученица 10 «А» класса
Воронина Екатерина Александровна
Руководитель: учитель математики
Синёва Екатерина Ивановна
«14» марта 2011 г.
Сергиев Посад
2011 год
Содержание
Содержание 3
Цели работы 4
Истоки алгебры 5
Древний Египет 5
Древний Вавилон 6
Древняя Греция 7
Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики 8
Мухаммад ибн Муса Хорезми 8
Седьмая операция 9
Теэтет 9
Математический турнир 10
Антонио Марио Фиоре 10
Гибрид из мира идей 11
Кубические уравнения 11
Вывод 12
Список использованной литературы 13
Цели работы
Рассмотреть алгебру как науку о решении уравнений;
Рассмотреть решение уравнений на протяжении с Древних времён до наших дней;
Рассмотреть формулы записи алгебраических уравнений.
Истоки алгебры
Древний Египет
Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме;
Решали задачи практического содержания:
Вычисление площади земельных участков;
Объём сосудов;
Количество зерна и т.д.
Все задачи были с конкретными числовыми данными.
Задача из папируса Кахуна
«Найти два числа X и Y, для которых X²+Y²=100
X:Y=1:»
В папирусе эта задача решена методом «ложного положения».
Если положить x=1, то y= и x²+y²=
Но по условию задачи x²+y²=10², следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10:=8. Тогда y=6.
Древний Вавилон
В Древнем Вавилоне решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени;
Но:
Эти достижения нельзя назвать наукой;
Все задачи излагались в словесной форме;
Вавилоняне владели и общими правилами происхождения корней уравнения первой и второй степени.
Рассмотрим задачу из клинописной таблички:
«Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870»
x²-x=870
«Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1 , это ½. Умножаешь ½ на ½, это ¼. Ты складываешь (это) с 870, и это есть , что является квадратом для . Ты складываешь½ , которую ты умножал, с
получаешь 30, сторона квадрата»
(Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления)
Древняя Греция
У древних греков вся математика приобрела геометрическую форму.
Например: Соотношение (а+b)²=a²+2ab+b², в «Началах» Евклида формулируется так: «Если отрезок АВ разделён точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ».
Вывод: Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.
Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики
Произошло в арабских странах;
В Багдаде создаются хорошие условия для работы ученых;
Открывается множество библиотек;
Построен Дом мудрости;
Усердно изучаются труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных
Мухаммад ибн Муса Хорезми
1) В арифметическом трактате он изложил «индийское исчисление», открыв тем самым для арабов десятичную систему счисления.
2) наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь ал-Хорезми, по-видимому, впервые разработал правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме.
3) ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. Квадратные уравнения различались по типу не в зависимости от знака дискриминанта, как сейчас
4) В греческих традициях ал-Хорезми строго геометрически обосновывает свои способы. Любое другое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью 2-ух операций: восполнение и противопоставление
Седьмая операция
Если начать счет, как в средние века, с нумерации, то седьмая операция над числами после четырех арифметических действий и возведения в степень – это извлечение корня.
Отличается от остальных шести неприятной особенностью- не всегда выполняется;
Извлечение квадратных и кубических корней всегда имеет наглядный смысл;
Ответ не всегда выражается натуральными или рациональными числами;
Разрабатывалась специальная техника работы с корнями.
Теэтет
В решении первой задачи значительных успехов достиг древнегреческий философ и математик Теэтет.
Теэтет жил в Афинах , был членом академии Платона .Вслед за Феодором из Кирены (V в. До н. э.),доказавшими иррациональность квадратных корней из чисел 3,5,6,…,17.
Теэтет доказал это утверждение относительно корней из любых натуральных чисел, не являющихся целыми квадратами;
Изучал различные выражения, которые можно составить из натуральных чисел с помощью арифметических операций и извлечения квадратного корня;
Исследования Теэтета были облечены в геометрическую форму.
Теэтет рассматривал выражения вида:
Математический турнир
В феврале 1535 года жители итальянского города Болоньи оказались свидетелями необычного зрелища. К зданию Болонского университета направлялись торжественные процессии с герольдами и знаменами. Студенты и профессора, ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять места в аудитории – ведь в университете должен был состояться турнир! Состязаться собирались математики.
В то время ученые часто соревновались в решении трудных задач;
От исхода этих состязаний зависела научная репутация и право занимать кафедру;
Каждый университет старался заполучить к себе победителей таких турниров.
Антонио Марио Фиоре
Болонцы надеялись на победу своего «бойца»-Антонио Марио Фиоре.
Сам Фиоре не слишком славился своими математическими открытиями;
НО:
Фиоре был одним из ближайших учеников известного алгебраиста Сцепиона дель Ферро(1465-1526),который перед смертью открыл ему великую тайну – правило решения кубического уравнения;
Следовательно:
С тех пор он побеждал очень легко – он давал своим противникам задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям.
Соперники сдавались без боя.
Гибрид из мира идей
Общие методы решения уравнений 3-й и 4-й степеней стали первыми математическими результатами нового времени после многовекового застоя. А неприводимый случай для кубического уравнения привлек внимание ученых к квадратным корням из отрицательных чисел
С такими корнями математики сталкивались не впервые- ведь они часто возникают при решении квадратных уравнений;
От этой ситуации античные математики были защищены диоризмами – так в Древней Греции называли ограничения, накладываемые на условия задачи;
Таким образом:
От квадратных корней из отрицательных чисел можно было «отмахнуться»: если они вдруг появлялись, значит, коэффициенты шагнули через границу дозволенной области и уравнение просто не имеет корней (действительных).
Кубические уравнения
Но для кубических уравнений такие рассуждения не проходят.
В неприводимом случае решение по формуле Кордано – Тартальи содержит квадратный корень из отрицательного числа, тем не менее, уравнение имеет корни- полный набор, и все действительные;
Складывалась какая-то непостижимая связь между действительными числами и удивительными корнями из отрицательных чисел;
Эту связь пытался понять Тарталья, над ней размышлял и Кардано;
В своем «Великом искусстве» Кардано привел задачу, но соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал её корни софистическими.
Вывод
Итак, цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.
Список использованной литературы
Полная энциклопедия школьника. 5-11 класс. Курс подготовки к ЕГЭ: том2.// Под редакцией д-ра пед. наук, проф. И.Ю. Алексашиной, проф. С.В. Алексеева- СПб.: ИГ «Весь»,2005
Виленкин, Шибасов, Шибасова: За страницами учебника математики: арифметика. Алгебра: пособие для учащихся 10-11 классов
»
=8. Тогда y=6.
, что является квадратом для 
. Ты складываешь½ , которую ты умножал, с 
