Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2



Скачать 76.65 Kb.
Дата01.12.2012
Размер76.65 Kb.
ТипКурс лекций

Математика. Курс лекций для студентов специальности Психология

Часть 3. основы математического анализа

Лекция 2



предел функции одной переменной


  1. Предел функции в точке и на бесконечности

  2. Основные свойства пределов

  3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

  4. Раскрытие неопределенностей и

  5. Число , натуральные логарифмы



Введение

К основным операциям (+, – , , ), которые применяются в элементарной математике, в высшей математике добавляется еще одна – операция перехода к пределу, чем и определяется условная граница между «элементарной» и «высшей» математикой.

Понятие предела является основным инструментом исследования переменной величины. Все фундаментальные понятия математического анализа (непрерывность функции, производная, интеграл и другие), а также понятие скорость, ускорение основаны на понятии предела переменной величины.

Два типа пределов играют основополагающую роль как в «чистой» математике, так и в приложениях – это производная и интеграл. С XVII века определение этих понятий и связь между ними позволили выделить в математике раздел «Математический анализ», основой которого является интегральное и дифференциальное исчисление для функций одной действительной переменной.
1. Предел функции в точке и на бесконечности
Пусть - функция, - некоторое число.

  • Число называется пределом функции при , стремящемся к числу , если в области определения функции для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции gif" name="object14" align=absmiddle width=249 height=24> сходится к числу . Предел функции в точке обозначается

. (3.2)

Таким образом, число называется пределом функции в предельной точке , если значения функции неограниченно приближаются к числу , при всех значениях , достаточно близких к .

В некоторых случаях рассматривают односторонние пределы функции.

  • Правосторонним пределом функции в точке называется число , к которому приближаются значения функции, если значения , стремятся к , оставаясь больше :

. (3.3)

  • Левосторонним пределом функции в точке называется число , к которому приближаются значения функции, если значения , стремятся к , оставаясь меньше :

. (3.4)

Определение односторонних пределов отличается от определения предела функции тем, что дополнительно требуется (или ).

Связь между пределом функции и ее односторонними пределами отражается в следующей теореме.

Теорема (Критерий существования предела)

Функция имеет в точке предел , тогда и только тогда, когда:

  1. существуют односторонние пределы и в точке ;

  2. односторонние пределы равны между собой и числу : .

Если область определения функции содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные (отрицательные) значения , то можно рассматривать предел функции на бесконечности.

    • Число называется пределом функции при , если для любой последовательности неограниченно увеличивающихся значений аргумента соответствующая последовательность значений функции стремится к числу . Используется запись:

. (3.5)

Таким образом, число называется пределом функции на бесконечности, если значения функции неограниченно приближаются к числу (то есть ), когда аргумент , изменяясь, принимает сколь угодно большие по абсолютной величине значения.








Рисунок 3.5 – Предел функции на бесконечности





    • Предел функции при равен , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции неограниченно возрастает:

. (3.6)

Другими словами, при значения функции становятся бесконечно большими по абсолютной величине.






Рисунок 3.6 – Бесконечный предел функции



2. Основные свойства пределов


  1. Если предел функции в точке существует, то он единственный.

  2. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

. (3.6)

  1. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен соответственно сумме (разности) пределов этих функций:

. (3.7)

  1. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

. (3.8)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

. (3.9)

  1. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю:

. (3.10)

Все свойства имеют смысл, если пределы функций существуют.

Для вычисления пределов используется свойство элементарных функций: если является элементарной функцией, то

. (3.11)

Это означает, что если предельная точка принадлежит области определения функции , то для вычисления предела нужно подставить в функцию вместо число и вычислить значение .

Пример 2. Вычислить предел .

Точка принадлежит области определения функции , значит, .

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
При вычислении пределов большую роль играют бесконечно малые и бесконечно большие функции (краткая запись – б.м.ф. и б.б.ф.).

    • Функция называется бесконечно малой функцией при (или ), если (или ).

Пример 3. Функция является бесконечно малой в точках , так как . А функция является бесконечно малой при , поскольку .

    • Функция называется бесконечно большой функцией при (или ), если (или ).

Пример 4. Функция является бесконечно большой при , так как . Функция является бесконечно большой в точке , так как .

Теорема (Свойства бесконечно малых функций)

  1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. функций и произведение конечного числа б.м. функций есть бесконечно малая функция.

  2. Произведение б.м. функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

  3. Частное от деления б.м. функции на функцию, имеющую в точке предел, не равный нулю, есть б.м. функция.

  4. Функция, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая функция.


Теорема (Свойства бесконечно больших функций)

  1. Произведение конечного числа б.б. функций есть б.б. функция.

  2. Произведение б.б. функции на функцию, имеющую предел, не равный нулю, есть бесконечно большая функция.

  3. Функция, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая функция.

Пример 5.

.

Можно использовать другую форму записи:

.

Пример 6.

.

Можно использовать другую форму записи:

.

4. Раскрытие неопределенностей и
Часто при вычислении пределов или подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям вида или . В таких ситуациях нельзя применить равенство и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Приемы нахождения предела в этих случаях называется «раскрытием неопределенности».

1. Если вычисление предела отношения двух многочленов приводит к неопределенности , то для раскрытия неопределенности нужно числитель и знаменатель разделить на в наибольшей степени.

Пример 7.


2. Если вычисление предела отношения двух многочленов вида приводит к неопределенности вида , то для раскрытия неопределенности нужно разложить многочлены и на множители и сократить дробь на .

Пример 8.

.
5. Число , натуральные логарифмы
Рассмотрим числовую последовательность

1; ; ; ; …, ; ; … .

Л.Эйлер доказал, что данная последовательность имеет предел, и обозначил его символом . Число иррациональное и приближенно равно . Таким образом,

. (3.12)

Данный предел носит название «замечательного предела».

Пример 9. Вычислить предел .

Решение

Здесь - бесконечно большая величина. Подставим вместо символ , получим .

Неопределенность вида раскрывается с помощью замечательного предела: .
Показательная функция с основанием называется экспонентой.

Логарифмы по основанию называются натуральными логарифмами и обозначаются .

Десятичный логарифм связан с натуральным логарифмом соотношением

. (3.13)

Это выводится из формулы при , , :

.





Похожие:

Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть математическая статистика Лекция 4 Проверка гипотез о законе распределения
Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений. В данной теме будем рассматривать сравнение...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1
Понятия «множество», «элемент множества», «элемент принадлежит множеству» относятся к первичным, неопределяемым понятиям современной...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть математическая статистика Лекция 2
Следующий шаг – получение числовых характеристик выборки, позволяющих глубже понять особенности объекта наблюдения: среднее значение...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 2
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций по высшей геодезии раздел «теоретическая геодезия»
Курс лекций ведется на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета для студентов специальности...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов фен нгу (28. 03. 2004)
Название курса: Гидробиология. Курс лекций объемом 32 часа реализуется в рамках программы обучения по специальности «химик-эколог»...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций для студентов 5-го курса отделения математики механико-математического факультета мгу

Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconПрограмма дисциплины методика анализа экранных искусств
Программа предназначена для студентов, углубленно изучающих предметы культурологического цикла и педагогику Курс включает аудиторный...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2 iconКурс лекций по экологии для студентов гуманитарных специальностей (Часть I правовое регулирование природопользования)
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org