У нас в гостях журнал «Квант»



Скачать 66.17 Kb.
Дата15.10.2012
Размер66.17 Kb.
ТипУрок
Михайлюк Светлана Ивановна,

учитель математики

МОУ СОШ № 6 г. Шебекино

Урок математики. 10-11 класс.
Тема: У нас в гостях журнал « Квант»
Цели:

-создать условия для целостного представления объёма изучения полной и неполной индукции;

-сформировать знания о сути принципа математической индукции;

-рассмотреть способ доказательства утверждений методом математической индукции;

-содействовать развитию у школьников умение абстрактно мыслить, выдвигать гипотезы;

-повторение ранее изученного;
Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Ребята, сегодня у нас необычный – театрализованный урок, потому что у нас в гостях не только учителя, но и научный физико- математический журнал « Квант», который позволит нам познакомиться с методом математической индукции более глубоко.

(Краткий экскурс журнала «Квант» проведёт ученик)

Презентация.

«Квант» - это физико-математический журнал для школьников, который издаётся с 1970 года. Журнал выходит 6 раз в год. В нём рассказывается о проблемах, которые ставит и решает математика, публикуются занимательные задачи, курьёзы, сообщения о математических олимпиадах. Часть материала доступна даже школьникам 5-6 классов.

Для более углубленного изучения школьных материалов из номера в номер «Квант» печатает ряд задач. Этот журнал поможет и нам сегодня на уроке открыть ещё одну сторону метода математической индукции. Этот журнал можно взять в центральной библиотеке. И та дополнительная информация, которая прозвучит на уроке, взята из этого журнала.

Итак повторим то, что мы знаем об индукции.

Вопросы:

1) Сформулируйте определение индукции?

Ответ. Индукция – это метод получения утверждения на основе наблюдений.

(от латинского inductio – наведение, т.е.- это метод рассуждений).

2)Приведите примеры.

Ответ. Любой человек наблюдает смену дня и ночи; смену времён года.

Рассмотрим ещё примеры использования такого метода рассуждений.

° В результате сложения первых нечётных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, …, (2n-1), nЄZ, получаем:

1=1

1+3=4=2;

1+3+5=9=3;

1+3+5+7=16=4;



Каждая из полученных сумм оказалась равной квадрату числа слагаемых. Это может служить основанием для того, что эти случаи навели нас на гипотезу о том, что указанное свойство справедливо при любом числе слагаемых.


Гипотезу можно сформулировать так: сумма первых нечётных чисел для любого натурального n равна квадрату числа слагаемых, т.е.

1+3+5+7+ …+ (2n – 1) = n.

° В квадратный трёхчлен Р(x) = x+ x + 41 подставим вместо x натуральные числа от 1 до 10, получим:

Р(1)=43 Р(5)=71; Р(9)=131;

Р(2)=47; Р(6)=83; Р(10)=151.

Р(3)=53; Р(7)=97;

Р(4)=61; Р(8)=113;

Каждое из полученных чисел является простым. Возникает гипотеза, что при любом целом x значение данного трёхчлена является простым числом.

Однако эта гипотеза ошибочна, т.к. например при x=40 , Р(40) = 41- составное число. Следовательно один и тот же метод рассуждений может привести к правильному выводу, а в другом ошибочному. Указанный метод называют методом неполной индукции ( т.к. применяя его, вывод делают после рассмотренных лишь нескольких случаев, не охватывающих всех возможных). Хотя этот метод не является надёжным, зато он позволяет сформулировать гипотезу, которую можно потом доказать или опровергнуть.

Полной индукцией называют такой метод рассуждений, при котором вывод делается после рассмотрения всех возможных случаев. В математике так же используется метод математической индукции, он как метод полной индукции приводит к вполне надёжным выводам.

В чём же заключается суть принципа математической индукции?

Ответ. Суть принципа заключается в следующем, если некоторое утверждение справедливо при n=1 и из предположения n=k следует справедливость утверждения для n=k+1, то утверждение справедливо для всех натуральных чисел n.

Каков же способ доказательства методом математической индукции?

Ответ. 1) проверяют справедливость утверждения для n=1;

2) предполагают справедливость утверждения для n=k;

3)проверяют справедливость утверждения для n=k+1

Так что же такое математическая индукция?

Ответ: «Пусть в очереди первой стоит женщина, и за каждой женщиной пусть стоит женщина. Тогда все в очереди женщины!»

Это шутливая формулировка метода математической индукции. А вот серьёзная. «Пусть имеется последовательность утверждений У, У,…, У. Пусть утверждение У верно, и пусть за каждым верным утверждением У стоит верное утверждение У. Тогда все утверждения У- верны!»

Например докажите: что 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1)=

И всё-таки мне кажется (вы уж меня простите): «Нет, вы не знаете, что такое математическая индукция». А впрочем, давайте проверим. Впереди вас ждут несколько испытаний.

«Фокус-покус» (Выбирая эпиграф, я преследовала, кроме пропагандистских целей, ещё одну цель. )Как вы думаете-какую? Эпиграф имеет некоторое отношение к заглавию.
Если на клетке слона написано «буйвол», не верь

глазам своим.

Козьма Прутков. Афоризмы.

С помощью метода математической индукции можно обосновать следующий поразительный фокус. Вырежьте из картона-999 одинаковых карточек . На 111 карточках напишите 1, на 111- «2», … на последних 111 карточках напишите «9». Переверните все карточки цифрой вниз и тщательно перемешайте. Затем возьмите совершенно произвольно n карточек, где – любое целое число [1;100], и положите их на стол цифрой вверх. Тогда цифры, написанные на всех n выбранных карточках, обязательно окажутся одинаковыми! Сколько бы раз не повторять этот фокус и какое бы ни выбрать [1;100], результат неизменно будет один: на всех n карточках будет одна и та же цифра . Каждый может на досуге проверить сказанное экспериментально, а сейчас докажем этот замечательный факт.

Доказательство: 1) При n=1 наше утверждение очевидно

2) Положим на стол цифрой вверх k+1 карточку ( назовём её А) на минутку снимем со стола. На столе останется k карточек. На них по предположению написана одна и та же цифра Х. Итак на всех карточках- кроме быть может, А- написана цифра Х. Заменим теперь одну из k карточек на столе карточкой А. На столе по прежнему карточек, значит по предположению индукции, на всех карточках написана одна и та же цифра ( которую мы выше обозначили через Х). В том числе цифра Х написана и на карточке А, которую мы

вначале сняли, а теперь вернули на стол. Итак, на карточке А то же написана цифра Х. Значит, на всех n карточках написана цифра Х, ч.т.д.
«О ленивых мудрецах»

Три дамы А, В и С сидят в купе железнодорож-

ного вагона с испачканными лицами и все три

смеются. Внезапно А соображает: почему В не

понимает, что С смеётся над ней? – О, боже!

Они смеются надо мной.

Едут в вагоне поезда три мудреца. За окнами прелестный пейзаж. Поезд то и дело ныряет в туннели. Дух захватывает. Собрались все мудрецы в коридоре вагона, в открытые окна глядят, не наглядятся. Вдруг в одном туннеле грохот, дым, пыль! Грязь какая-то в окна посыпалась. Проехали туннель - входит проводник «Тут кое-кто испачкался,- говорит.- В поезде, к сожалению, воды нет. Но сейчас подряд большие остановки пойдут, так что можно будет выйти из поезда и помыться». Надобно вас теперь предупредить - мудрецы в вагоне как на подбор, столь же умные, сколь ленивые. Никто, скажем, зря мыться не пойдёт (если не знает наверняка, что испачкался). И у соседей не спросить, чистое у него лицо или грязное - зачем напрасно людей тревожить и самому беспокоиться? – проще сообразить.

Что же сделают мудрецы после объявления проводника?
Случай 1.Пусть лицо испачкано у одного мудреца. Тогда мудрец с грязным лицом узнаёт из объявления проводника о том, что в вагоне имеются пассажиры с испачканными лицами. Оглядев соседей, он обнаруживает, что у них лица чистые. Значит, грязное лицо – именно у него. Поэтому на первой остановке он идёт мыться.
Случай 2. Пусть лица испачканы у 2- х мудрецов. Тогда каждый из них видит по одному грязному лицу и рассуждает так: «Возможны два случая:

1) у меня чистое лицо;

2) у меня грязное лицо.

Если у меня чистое лицо, то мудрец, с грязным лицом оглядев всех вокруг, поймёт, что у него грязное лицо и выйдет на первой остановке, т.к. это возможно, то мне не следует выходить на первой остановке.

(P.S: Причём, к такому выводу, пришёл бы на моём месте , любой умный, не склонный к напрасной суете человек). Тогда каждый из перемазавшихся двух мудрецов видит по одному испачканному лицу. В этой ситуации никто из них – мудрых и неторопливых - не пойдёт умываться на первой остановке. Итак, если мудрец не выходит на первой остановке, значит я – грязный. Дождусь первой остановки, если на ней никто не выйдет умываться, придётся выйти на следующей. Так же рассуждают все мудрецы с грязными лицами.

Следовательно, на второй остановке все они пойдут умываться, ч.т.д.

3. Итог урока. А теперь ребята, ответьте на такой вопрос, что нового вы узнали о методе математической индукции и вообще для чего он лично вам нужен?

Итак, этот метод основан на жизненных примерах, именно так должны думать умные люди, то есть уметь абстрактно мыслить, выдвигать гипотезы.
4. Дача домашнего задания. Докажите, что у всех, произвольно выбранных, 20 девушек, глаза – голубые.

Похожие:

У нас в гостях журнал «Квант» icon«Книга, мы тебя любим!»
Здравствуйте, ребята! Улыбнитесь мне, а я улыбнусь вам, ведь от улыбки день становится светлей. Сегодня у нас необычный урок. У нас...
У нас в гостях журнал «Квант» icon«В гостях у Волшебницы музыки»
У. Я очень рада новой встречи с вами. Несмотря на то, что за окном по-зимнему холодно, у нас в классе тепло и уютно, светло от ваших...
У нас в гостях журнал «Квант» iconМ. З.: Все наоборот! Оба сертифицированные преподаватели
Д. Б.: У нас в гостях Сергей Алферов
У нас в гостях журнал «Квант» iconТеория квант и диалектический материализм
Эйнштейном в основу теории фотоэффекта, именно вследствие его революционного характера понадобилась четверть века, чтобы из частной...
У нас в гостях журнал «Квант» icon«арифметическая и геометрическая прогрессия»
В гостях у нас сегодня великие учёные всех времён и народов, а также будущие двигатели прогресса
У нас в гостях журнал «Квант» iconУчреждений культуры г. Александрова на апрель 2012 г. №
Театрализованные программы «В гостях у купца Первушина», «В гостях у Дуняши», «Цесаревнины забавы», «Сказки старого дома»
У нас в гостях журнал «Квант» iconВ северо-восточной
...
У нас в гостях журнал «Квант» iconЛитература: «Почему спин всегда направлен по оси Z» А. Грек. Из серии: как сдать кванты с 33 попыток, журнал «Популярная квантовая механика»
Обществе Трезвости и Обществе борьбы с масонскими знаками, попал в Клуб Квант в 1983 г., где сразу прославился благодаря ярким акциям...
У нас в гостях журнал «Квант» iconУ нас в гостях режиссёр, драматург, художник Пётр Гладилин
Я хотел спросить, может, хоть какие-то очень отдалённые родственные пересечения с Анатолием Гладилиным?
У нас в гостях журнал «Квант» iconВ гостях у писателя
Дорогие друзья, сегодня мы в гостях у замечательного русского поэта Константина Бальмонта. (слайд) Его жизненный путь был нелёгким...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org