Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы



страница9/11
Дата03.12.2012
Размер0.93 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Логики умолчаний. Понятие нормальной и полунормальной теории. Понятия вывода и доказательства.

Логики умолчаний введены и развиты Рейтером для формализации рассуждений, являющихся лишь выполнимыми. При неполной информации мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные предположительные заключения. Иногда мы считаем абсолютно общими правила, которые правильны в большинстве случаев, но допускают некие исключения.

Рассмотрим рассуждение: Киви – птица, т.е. получается, что киви летает. Однако не все птицы летают, но можно без особого разрешения заключить, что киви летает, если это не запрещено. Это рассуждение с умолчаниями.

Логики умолчаний позволяют формализовать такие рассуждения в виде правил вывода, называемых умолчаниями:

- смысл таков: если мы верим в α и если β выполнимо вместе со всем, во что мы верим, то можно верить и γ.

Итак, правило «птицы вообще летают» выразимо в виде:



Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями, состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил вывода. Для такой системы существует несколько множеств выводимых предположений. Эти множества представляют различные картины мира, которые можно вообразить, исходя из теории с умолчаниями.

Нормальная теория – теория, в которой следствие и обоснование одного и того же умолчания совпадают. Такие теории состоят из нормальных умолчаний:

Кроме такого свойства, как свойства допускать хотя бы одно расширение, нормальная теория с умолчаниями обладает свойством полумонотонности: если увеличить множество умолчаний, то полученная теория допускает расширение, включающее какое-то расширение исходной теории. Практически важное следствие этого свойства состоит в возможности построения такой теории доказательств, в которой использованные умолчания проявляются локальным образом.

В полунормальной теории умолчания имеют вид:

В общем, полунормальное умолчание явно управляется дополнительным условием в обосновании. Теория с полунормальным умолчаниеми не обязательно обладает расширением. Она теряет некоторые достоинства нормальных теорий, в частности полумонотонность.

Определим доказательство в теории с умолчаниями следующим образом. Пусть ∆= (D, F) – замкнутая нормальная теория и f – замкнутая формула из языка L. Конечна последовательность D0, …, Dk конечных подмножеств из D – есть доказательство для f в ∆ тогда и только тогда, когда

Fgif" name="object57" align=bottom width=17 height=13>{KC(D0)} |− f,

F{KC(Di)} |− KT(Di-1) для i = 1, 2, …, k,

Dk = ,

F{KC(Di)| 0 ≤ i ≤ k} выполнимо,

где KC(Di) – конъюнкция следствий и KT(Di) – конъюнкция требований умолчаний из Di.

Итак, доказательство – есть последовательность подмножеств умолчаний.

  1. Немонотонные логики Мак-Дермотта. Правила вывода, теоремы.

Мак-Дермотт и Дойл предложили изящный метод, позволяющий избежать зацикливания при задании правил немонотонного вывода. Они предложили неконструктивную характеризацию устойчивых множеств взаимно выполнимых формул, немонотонно выводимых из некоего набора посылок. Эти множества – суть решения некоторого уравнения, являющегося неподвижными точками и связанные с отношением выводимости, определяемым данной немонотонной системой. Соответствующая система может рассматриваться как классическая модальная аксиоматическая система, пополненная правилом выводы выполнимых утверждений.

Немонотонная аксиоматическая система содержит три вида элементов:

  • «нелогические сведения», являющиеся формулами из языка L со статусом дополнительных аксиом;

  • схемы логических аксиом;

  • логические правила вывода.

Совокупность схем логических аксиом будет состоять из схем формул, аксиоматизирующих логику предикатов, а также из модальных аксиом. Множество правил вывода будет содержать (кроме обычных правил: modus ponens, универсального обобщения и модальной необходимости) специфическое правило немонотонного вывода.

Правила вывода (p, q – производные формулы из языка L):

  • modus ponens: p, p q |– q,

  • правило универсального обобщения: p |– (v)p,

  • правило необходимости: p|–Lp,

  • правило немонотонного вывода

Выбирая разные подмножества из списка схем модальных аксиом (схема аксиомы знаний, схема Баркан, схема позитивной интроспекции, схема негативной интроспекции), получаем различные системы немонотонного вывода.

Основная ценность немонотонной логики Мак-Дермотта заключается в методе неподвижной точки, используемой для характеризации устойчивых множеств заключений немонотонной системы, а также в применении модальной логики для формирования модифицируемых рассуждений.

  1. Аксиоматический подход к формализации математики. Аксиоматика Цермело.

Одним из приложений в рамках аксиоматического подхода является формализация понятий в рамках всей математики. Построено несколько различных аксиоматических систем (теорий), которые позволяют формализовывать довольно большое множество математических абстракций. Одной из таких систем является аксиоматическая система Цермело-Френкеля, являющейся стандартной для теории множеств. К ней часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело – Френкеля с аксиомой выбора.

Вначале определим некоторые обозначения:

Оператор i.



Пустое множество.



Двуэлементное множество.



Объединение двух множеств.



Пересечение двух множеств.



Отношение подмножества.



Декартово произведение двух множеств.



Понятие функции.



Понятие образа функции δ при аргументе χ.



Понятие бесконечности.



Тогда аксиоматика Цермело-Френкеля может быть записана следующим образом:

Аксиома объёмности.



Аксиома пары.



Аксиома суммы.



Аксиома степени.



Аксиома выделения.



Аксиома бесконечности.



Аксиома выбора.



Аксиома фундирования.



Аксиома подстановки Френкеля.



Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

  1. Конструктивизм, аксиоматика интуиционистских формальных теорий.

Форма́льная (аксиоматическая) тео́рия, формальное исчисление — это понятие, разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для формализации теории доказательства. Формальная теория — разновидность дедуктивной теории, где множество теорем выделяется из множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода.

Формальная теория — это:

  • множество символов, образующих алфавит;

  • множество слов в алфавите , которые называются формулами;

  • подмножество формул , которые называются аксиомами;

  • множество отношений на множестве формул, , которые называются правилами вывода.

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Конструктивизм исходит из того, что обучение – это активный процесс, в ходе которого люди активно конструируют знания на основе собственного опыта. Следовательно, интуиционную теорию постоянно необходимо развивать (обучать, пополнять).

Аксиоматика – набор относительных истин в какой-либо науке, принимаемых на веру, но имеющих рациональное истолкование.

Нечёткое множество, алгебра нечётких множеств.

Нечеткое множество A={(x, µA(x))} определяется как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x универсума X соответствующих степеней принадлежности µA(x). Поскольку функция принадлежности полностью описывает нечеткое множество, то нечеткое множество может задаваться непосредственно в виде функции принадлежности µA: X→[0,1]. Таким образом, нечеткое множество вводится путем расширения двухэлементного множества принадлежностей {0,1} до отрезка [0,1]. Значения функции принадлежности не стоит отождествлять с вероятностью принадлежности элемента x нечеткому множеству A, поскольку степень принадлежности не имеет, как правило, статистической природы.

Ядром Core(A) нечеткого множества A называется множество точек таких, что Core(A)={xX | µA(x)=1}. Точки xX, в которых µA(x)=0.5 именуются точками перехода.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому, определяется как:



Пусть A и B – два нечетких множества на универсуме X.

Включение нечеткого множества А в нечеткое множество В определяется условием:



Равенство нечеткого множества А нечеткому множеству В определяется условием:



Дополнение нечеткого множества A определяется условием:



В теории нечетких множеств для обозначения операции взятия минимума используется символ , а для обозначения операции взятия максимума – символ .

Пересечение нечетких множеств A и B определяется как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:



Объединение нечетких множеств A и B определяется как наименьшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:



Можно выделить следующие типы нечетких отношений:

Рефлексивность:



Слабая рефлексивность:



Сильная рефлексивность:



Антирефлексивность:



Симметричность:



Антисимметричность:



Асимметричность:



Транзитивность:


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы icon1 формальные теории 1 Основные положения
Мы рассмотрели две логических системы: алгебру высказываний и логику предикатов. Это было содержательное рассмотрение. Попытаемся...
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconЗаконы (принципы) формальной логики Логическая культура. Значение логики. Язык логики. Семантические категории языка
Отношения между понятиями (сравнимые и несравнимые, совместимые и несовместимые понятия)
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconФормальные теории
Язык формальной арифметики. Выразимость в этом языке любого разрешимого отношения. β-функция Гёделя
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconСписок экзаменационных вопросов по курсу «Системное программное обеспечение»
Понятие формальной грамматики и языка. Выводимость. Язык, порождаемый грамматикой
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconПлан занятий по онтологическому инжинирингу Введение в онтологический инжиниринг
Пропозициональная (ПЛ) или Булева логика (синтаксис: атомарные (пропозициональный символ P, Q, r и т д.) и сложные (на основе простых)...
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconЭквивалентность двух определений элементарной формальной системы
«Исчисления и формальные системы» (стр. 267) и «Основания математической логики» (стр. 68). Ясно, что эти два определения в некотором...
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconВычислительные Машины и Системы Математическое Обеспечение Вычислительных Систем Разработка формальной грамматики

Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconСинтаксис английского языка синтаксис
При всех существующих пониманиях предмета синтаксиса раздел соответствующей теории (языкознания, семиотики), занимающийся изучением...
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы icon1. Синтаксис и семантика языков программирования. Алфавит языка Borland Pascal. Описание синтаксиса языка: синтаксические диаграммы
Синтаксис языка совокупность правил, определяющих допустимые конструкции (слова, предложения) языка, его форму
Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы iconОтношение семантического включения в свете аналитических тенденций л. В. Воронина Белгородский гу, Белгород, Россия
Все три подхода нашли отражение в исследованиях по лингвистике, однако чаще ученые обращаются к данной проблеме при исследовании...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org