Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору
|
Скачать 63.66 Kb.
|
§2 ПрямаяП1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно векторуПусть заданы точка  и вектор  . Возьмём точку  на прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Вектор  будет параллелен вектору (См.Рис.1). Вектор называется направляющим вектором прямой.  Рис.1 Значит, вектор - это вектор , умноженный на некоторое число  . Используя операции над векторами последннее можно записать в виде равенства  (1)Получено векторное уравение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Это действительно уравнение, так как если в него подставить точку прямой , то равенство (1) превратится в тождество, и наоборот, если равенство (1) справедливо для некоторой точки , то это точка прямой, проходящей через точку параллельно вектору .Пусть теперь на плоскости введена система координат  (см. Рис.1). В этой системе координат обозначим  координаты точки , а . Зафиксируем на прямой, проходящей через точку параллельно вектору , точку с координатами  . Тогда, компоненты вектора параллельного вектору будут равны  . Известно, что векторы паралельны, тогда и только тогда, когда их компоненты пропорциональны. Условие пропорциональности компонент векторов и можно записать в виде равенства   (2) Уравнение (2) - это уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку параллельно вектору в координатах. Пока были рассмотрены вектор и точка , лежащие в плоскости. Видно, что если вектор и точка лежат в пространстве, то векторное уравнение прямой (1) никак не измениться. Действительно, при выводе этого уравнения, мы никак не использовали число компонент вектора и число координат точки . Таким образом уравнение в координатах прямой , проходящей через точку параллельно вектору лежащих в пространстве, измениться только тем, что при записи условия пропорциональности компонент векторов  и  будут учтены три компоненты. То есть, (3)Уравнение (3) - это уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку параллельно вектору в координатах.П2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть даны две точки  и  . Запишем уравнение прямой проходящей через эти точки (Рис 2.) Рис.2 Для этого достаточно заметить, что вектор является направляющим вектором искомой прямой. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Получим  (4)Уравнение (4) - это уравнение прямой в плоскости проходящеё через две точки. Очевидно, что если к координатам точки добавить ещё по одной координате, то получим   (5)уравнение (5) – это уравнение прямой в пространстве проходящей через две точки. П2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку ортогонально векторуВ этом пункте будем рассматривать только прямые в плоскости. Пусть заданы точка и вектор  . Возьмём точку на прямой, проходящей через точку ортогонально вектору . Вектор будет ортогонален вектору . (См.Рис.3). Вектор называется вектором нормали прямой или нормальным вектором прямой.  Рис. 3 Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Значит  . (6)Это векторное уравнение прямой, проходящей через точку, ортогонально вектору. То, что это действительно уравнение, следует из того, что точка будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда вектор будет ортогонален вектору .С учётом обозначения  , уравнение (6) в координатах примет вид Раскрывая скобки и обозначая  , получим  (7)общее уравнение прямой. Запишем теперь важное правило: коэффициенты при  и в общем уравнении прямой - это компоненты вектора нормали этой прямой.Уравнение прямой проходящей через точку ортогонально некоторому вектору нельзя обобщить на случай прямой в пространстве, так как в пространстве любой вектор лежащий в плоскости ортогональной прямой будет ортогонален этой прямой (см.Рис.4)  Рис. 4. П3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этом пункте будем рассматривать только прямые в плоскости. Углом между прямой  и координатной осью  называется меньший угол на который нужно повернуть ось до совпадения с прямой. Если вращение оси происходит против часовой стрелки, то угол считается положительным, если против часовой стрелки - то отрицательным (см.Рис.5) . Рис. 5. Обозначим  угол между прямой и осью . Угловым коэффициентом  прямой называется тангенс угла между прямой и осью .Теорема 1 (об угловом коэффициенте) На прямой возьмём две любые различные точки и . Тогда  .Доказательство. Имеются 6 случаев. 1)  и  2) и  3)  и 4) и 5)  6)  Рассмотрим случай 1) (Рис.6)  Рис.6. Здесь отношение  положительно и совпадает с тангенсом  . По определению угла между прямой и осью угловой коэффициент также равен тангенсу  .В случае 2) точки и меняются местами, Рис. 7. но углы не меняются и отношение остаётся положительным равным .Рассмотрим случай 3) Рис.8.  Рис. 8. В этом случае угол между прямой и осью отрицателен и равен взятому со знаком минус. Таким образом ,  по нечётности тангенса. Но  Случай 4) рассматривается аналогично. В случае 5) отношение  так как  при любых  . Также в этом случае, очевидно,  .В случае 6) отношение не определено, так как  и угловой коэффициент не определён. Теорема доказана.На прямой возьмём две любые различные точки и и запишем уравнение прямой (4).Выполняя тождественные преобразования получим  .Обозначая  ,получим    (8)Заметим, что в уравнении (8) - это угловой коэффициент прямой . Уравнение (8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.П4. Угол между прямыми. Углом между двумя прямыми  и  называется меньший угол на который нужно повернуть прямую до совпадения с прямой . Рис.9. Так же как и всегда, если вращение выполняется против часовой стрелки, то угол считается положительным, если против часовой стрелки – то отрицательным. Пусть  - это угол между прямыми и координатной осью ,  - это угол между прямой и координатной осью , а угол - угол между прямыми и .По определению угла между прямыми и справедливо равенство . Действительно, для того чтобы получить угол нужно координатную ось повернуть на угол , а затем на угол . Значит, угол между прямыми и равен разности углов  .Пусть прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом. То есть, уравнение прямой имеет вид  , а уравнение прямой :  . По определению,  . Отсюда  . По тригонометрической формуле тангенс разности получаем  (9)П5. Расстояние от точки до прямой Расстояние  от точки  до прямой  вычисляется по формуле (10) |
Похожие:
 | Прямая линия на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору | | Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах Прямая проходит через точку а параллельно вектору, прямая проходит через точку в параллельно вектору, причем и скрещиваются. Доказать,... |
 | #Уравнение прямой, проходящей через две точки Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид… 1 2 3 4 01. 02. 1 # Уравнение перпендикуляра к отрезку, проходящего через его середину, если,, имеет вид… | | Материал к зачету по геометрии в 10 классе (1 полугодие). Сформулируйте аксиомы А Сформулируйте теоремы о прямой проходящей через точку и параллельной данной прямой |
| 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку | | Http://sm teormex net Сложное сопротивление М (силовой пл–стью) Т. к на нейтральной линии (оси) нормальные напряжения =0, то уравнение нейтр линии будет:, x0, y0 – коорд нейтр... |
| «Аксиома параллельных прямых» Проведите прямую. Отметьте точку А, не лежащую на прямой а. Проведите через точку а прямую, параллельную прямой а | | Примерный перечень вопросов к экзамену Векторное уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с точкой и нормалью на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости |
| § 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет... | | Программа курса «Алгебра и геометрия» Понятие об уравнении линии на плоскости, способы задания. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых.... |