Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору



Скачать 63.66 Kb.
Дата03.12.2012
Размер63.66 Kb.
ТипДокументы
§2 Прямая

П1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору




Пусть заданы точка и вектор . Возьмём точку на прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Вектор будет параллелен вектору (См.Рис.1). Вектор называется направляющим вектором прямой.



Рис.1
Значит, вектор - это вектор , умноженный на некоторое число . Используя операции над векторами последннее можно записать в виде равенства

(1)

Получено векторное уравение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Это действительно уравнение, так как если в него подставить точку прямой , то равенство (1) превратится в тождество, и наоборот, если равенство (1) справедливо для некоторой точки , то это точка прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть теперь на плоскости введена система координат (см. Рис.1). В этой системе координат обозначим координаты точки , а gif" name="object23" align=absmiddle width=47 height=25> компоненты вектора . Зафиксируем на прямой, проходящей через точку параллельно вектору , точку с координатами . Тогда, компоненты вектора параллельного вектору будут равны . Известно, что векторы паралельны, тогда и только тогда, когда их компоненты пропорциональны. Условие пропорциональности компонент векторов и можно записать в виде равенства




(2)




Уравнение (2) - это уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку параллельно вектору в координатах.

Пока были рассмотрены вектор и точка , лежащие в плоскости. Видно, что если вектор и точка лежат в пространстве, то векторное уравнение прямой (1) никак не измениться. Действительно, при выводе этого уравнения, мы никак не использовали число компонент вектора и число координат точки . Таким образом уравнение в координатах прямой , проходящей через точку параллельно вектору лежащих в пространстве, измениться только тем, что при записи условия пропорциональности компонент векторов и будут учтены три компоненты. То есть,

(3)




Уравнение (3) - это уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку параллельно вектору в координатах.
П2. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть даны две точки и . Запишем уравнение прямой проходящей через эти точки (Рис 2.)


Рис.2
Для этого достаточно заметить, что вектор является направляющим вектором искомой прямой. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Получим
(4)




Уравнение (4) - это уравнение прямой в плоскости проходящеё через две точки.
Очевидно, что если к координатам точки добавить ещё по одной координате, то получим
(5)




уравнение (5) – это уравнение прямой в пространстве проходящей через две точки.

П2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку ортогонально вектору



В этом пункте будем рассматривать только прямые в плоскости. Пусть заданы точка и вектор . Возьмём точку на прямой, проходящей через точку ортогонально вектору . Вектор будет ортогонален вектору . (См.Рис.3). Вектор называется вектором нормали прямой или нормальным вектором прямой.



Рис. 3
Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Значит

. (6)
Это векторное уравнение прямой, проходящей через точку, ортогонально вектору. То, что это действительно уравнение, следует из того, что точка будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда вектор будет ортогонален вектору .

С учётом обозначения , уравнение (6) в координатах примет вид



Раскрывая скобки и обозначая , получим




(7)



общее уравнение прямой. Запишем теперь важное правило: коэффициенты при и в общем уравнении прямой - это компоненты вектора нормали этой прямой.
Уравнение прямой проходящей через точку ортогонально некоторому вектору нельзя обобщить на случай прямой в пространстве, так как в пространстве любой вектор лежащий в плоскости ортогональной прямой будет ортогонален этой прямой (см.Рис.4)



Рис. 4.
П3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В этом пункте будем рассматривать только прямые в плоскости. Углом между прямой и координатной осью называется меньший угол на который нужно повернуть ось до совпадения с прямой. Если вращение оси происходит против часовой стрелки, то угол считается положительным, если против часовой стрелки - то отрицательным (см.Рис.5) .


Рис. 5.
Обозначим угол между прямой и осью . Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла между прямой и осью .

Теорема 1 (об угловом коэффициенте) На прямой возьмём две любые различные точки и . Тогда .

Доказательство. Имеются 6 случаев.

1) и 2) и

3) и 4) и

5) 6)

Рассмотрим случай 1) (Рис.6)



Рис.6.

Здесь отношение положительно и совпадает с тангенсом . По определению угла между прямой и осью угловой коэффициент также равен тангенсу .

В случае 2) точки и меняются местами,

Рис. 7.

но углы не меняются и отношение остаётся положительным равным .

Рассмотрим случай 3) Рис.8.



Рис. 8.

В этом случае угол между прямой и осью отрицателен и равен взятому со знаком минус. Таким образом , по нечётности тангенса. Но



Случай 4) рассматривается аналогично.

В случае 5) отношение так как при любых . Также в этом случае, очевидно, .

В случае 6) отношение не определено, так как и угловой коэффициент не определён. Теорема доказана.
На прямой возьмём две любые различные точки и и запишем уравнение прямой (4)

.
Выполняя тождественные преобразования получим
.
Обозначая

,

получим

(8)




Заметим, что в уравнении (8) - это угловой коэффициент прямой . Уравнение (8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

П4. Угол между прямыми.
Углом между двумя прямыми и называется меньший угол на который нужно повернуть прямую до совпадения с прямой .


Рис.9.
Так же как и всегда, если вращение выполняется против часовой стрелки, то угол считается положительным, если против часовой стрелки – то отрицательным.

Пусть - это угол между прямыми и координатной осью , - это угол между прямой и координатной осью , а угол - угол между прямыми и .

По определению угла между прямыми и справедливо равенство. Действительно, для того чтобы получить угол нужно координатную ось повернуть на угол , а затем на угол .

Значит, угол между прямыми и равен разности углов .

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом. То есть, уравнение прямой имеет вид , а уравнение прямой : . По определению,

. Отсюда . По тригонометрической формуле тангенс разности получаем
(9)
П5. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

(10)

Похожие:

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору iconПрямая линия на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору iconОпределение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах
Прямая проходит через точку а параллельно вектору, прямая проходит через точку в параллельно вектору, причем и скрещиваются. Доказать,...
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору icon#Уравнение прямой, проходящей через две точки Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид… 1 2 3 4 01. 02. 1 #
Уравнение перпендикуляра к отрезку, проходящего через его середину, если,, имеет вид…
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору iconМатериал к зачету по геометрии в 10 классе (1 полугодие). Сформулируйте аксиомы А
Сформулируйте теоремы о прямой проходящей через точку и параллельной данной прямой
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору icon1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору iconHttp://sm teormex net Сложное сопротивление
М (силовой пл–стью) Т. к на нейтральной линии (оси) нормальные напряжения =0, то уравнение нейтр линии будет:, x0, y0 – коорд нейтр...
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору icon«Аксиома параллельных прямых»
Проведите прямую. Отметьте точку А, не лежащую на прямой а. Проведите через точку а прямую, параллельную прямой а
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору iconПримерный перечень вопросов к экзамену
Векторное уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с точкой и нормалью на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору icon§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением пер­вой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет...
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Понятие об уравнении линии на плоскости, способы задания. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org