Элементы аналитической геометрии



Скачать 143.04 Kb.
Дата03.12.2012
Размер143.04 Kb.
ТипДокументы
Часть 2.

Элементы аналитической геометрии.

§1. Понятие уравнения линии. Составление уравнения линии
Определение 1. Линия на плоскости – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению, причем, координаты точек не лежащих на линии этому уравнению не удовлетворяют.

Определение 2. Произвольная точка М линии называется текущей точкой линии, а ее координаты - текущими координатами.
Определение 3. Уравнение, связывающее переменные х и у, называется уравнением линии, если ему удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на линии.
Для составления уравнения линии необходимо:

  1. выбрать произвольную (текущую) точку М (х; у);

  2. выписать все условия в виде равенства отрезков, с выполнением которых эта точка попадает на линию;

  3. выразить все эти отрезки, входящие в равенство, через данные задачи и координаты текущей точки;

  4. упростить выражение.


Пример: Составить уравнение окружности с центром в точке С(3;4) и радиусом R=5. Проверить, лежат ли на этой окружности точки О(0;0), А(7;1), В(2;3).


М (х; у)

  1. СМ = R = 5

  2. СМ=




Аналогично можно составить уравнение окружности с центром в точке С (а; b) и радиусом R, тогда получим:

- нормальное
уравнение окружности
Если центр окружности находится в начале координат, то и уравнение примет вид:

- каноническое уравнение окружности.

Прямая на плоскости
§2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом


Пусть прямая gif" name="object6" align=absmiddle width=29 height=59> имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси ОУ отрезок равный b. Составим уравнение этой прямой.







- уравнение прямой с угловым коэффициентом, где

х, у – текущие координаты

k – угловой коэффициент

b – отрезок, отсекаемый прямой на оси ОУ.


    1. §3Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (уравнение пучка прямых)


Пусть нам дана точка и угловой коэффициент прямой k. Возьмем уравнение прямой с угловым коэффициентом . Так как точка , то ее координаты удовлетворяют данному уравнению

Вычтем из (1)-го уравнения (2)-е:



- уравнение пучка прямых.


    1. §4Уравнение прямой, проходящей через две точки


Пусть даны точки и . Для вывода этого уравнения воспользуемся уравнением пучка прямых. Так как точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению (2), т.е. пучок прямых проходит через точку :



Но точка В также и ее координаты удовлетворяют уравнению (1):



Разделим почленно уравнение (1) на (2), получим:
- уравнение прямой, проходящей через две точки.


    1. §5Уравнение прямой в отрезках на осях




Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки . Подставим в него вместо координаты точки А, а вместо координаты точки В.

Получим:

- уравнение прямой в отрезках на осях,

где а и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях ОХ и ОУ.


    1. §6Общее уравнение прямой


Теорема. Всякое невырожденное уравнение 1-й степени представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости ХОУ, т.е.

- общее уравнение прямой.


    1. §7Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых





Если у двух пересекающихся прямых и известны угловые коэффициенты и , то можно найти угол между двумя прямыми:

, а по формуле

тангенса разности имеем: или

.
Частные случаи:

  1. Пусть , тогда угол между ними равен нулю . Тогда:

т.е.,

если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть , тогда α = 90˚, а тангенс 90˚ - не существует

, т.е.

если угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, то прямые перпендикулярны.


    1. §8Расстояние от точки до прямой



Под расстоянием от точки до прямой понимают длину перпендикуляра , опущенного из точки М на прямую .

SHAPE \* MERGEFORMAT прямоугольник 10


, тогда
Чтобы найти расстояние от точки до прямой, следует в общее уравнение прямой подставить координаты точки , взять это выражение по модулю и разделить на квадратный корень из .

§9. Координаты точки пересечения линий
Для того чтобы найти точки пересечения двух линий, достаточно совместно решить систему двух уравнений этих линий.
Пример: Найти точки пересечения параболы и прямой



§10Точка пересечения двух прямых

Пусть:



Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых:



  1. Система имеет единственное решение, если





- чтобы прямые пересекались в одной точке, коэффициенты

при неизвестных их общих уравнений должны быть

непропорциональны.

  1. Система не имеет решений, если





  1. Система имеет множество решений, если



§11. Нахождение координат любой точки, принадлежащей данной прямой.

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей данной прямой, следует одну координату взять произвольно, подставить в уравнение, а вторую координату найти из уравнения.

Пример: указать координаты точки, принадлежащей прямой 2х+3y+4=0.

Решение: возьмем х=1.

Подставим в уравнение: 2*1+3y+4=0

Отсюда находим y: y=-2

Ответ: (1;-2) принадлежит прямой.
§12. Кривые второго порядка

Определение 1. Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.

, где

А, В, С, D, Е, F – действительные числа.

В зависимости от значения коэффициентов А, В, С получаются различные виды кривых, причем коэффициенты А, В, С не могут одновременно равняться нулю.

К кривым второго порядка относятся:

  1. окружность (см. §1)

  2. эллипс

  3. гипербола

  4. парабола


§13Эллипс
Определение 1. Множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , называется эллипсом.

- каноническое уравнение эллипса, где

а – большая полуось;

b – малая полуось.

- нормальное уравнение эллипса.




b M
F1 F2 a
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.




е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

§14Гипербола
Определение 1. Множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний, которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная , называется гиперболой.

- каноническое уравнение гиперболы, где

а – действительная полуось;

b - мнимая полуось.

- нормальное уравнение гиперболы,

- уравнение асимптот гиперболы.


y
M(x, y)

b

x
F1 a F2


c

. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

с2 = а2+ b2

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.


§15Парабола
Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и одной прямой, называемой директрисой, называется параболой.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.




у

А М(х, у)



О F x

p/2 p/2






Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы.

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Фокус параболы

Эксцентриситет параболы считается равным 1

§16.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору



Пусть точка , тогда вектор .

Так как , то , тогда

- векторное уравнение плоскости

или

- уравнение плоскости в координатах


§17Общее уравнение плоскости
В уравнении

раскроем скобки и приведем подобные:



- общее уравнение плоскости,

где А, В, С – координаты нормального вектора;

х, у, z – координаты точки М.
Частные случаи:


  1. D = 0 – плоскость, проходит через начало координат.

  2. Если отсутствует одна из координат, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости.




  1. Если отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости:

§18 Взаимное расположение двух плоскостей







§19 Нахождение координат любой точки, принадлежащей данной плоскости.

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей плоскости, две координаты выбирают произвольно, подставляют в уравнение плоскости, а третью координату находят из полученного равенства.

§20Прямая в пространстве
Определение 1. Прямая в системе ОХУZ рассматривается как линия пересечения двух плоскостей.



Прямая в может быть задана с помощью направляющего вектора.
Определение 2. Вектор , параллельный прямой называется направляющим вектором прямой.

SHAPE \* MERGEFORMAT прямоугольник 5

Пусть точка . Возьмем на этой прямой произвольную точку . Тогда .

Так как их координаты пропорциональны:

- канонические уравнения прямой,

где m, n, p – любые действительные числа, в том числе и ноль, т.к.

запись символическая. Но одновременно все три координаты m, n, p нулю быть равными не могут.

§21Угол между прямыми в пространстве.


Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:




.


Условия параллельности и перпендикулярности

прямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.





Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.




§21 Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Определение 1. Квадратичную форму от 2-х и более переменных можно определить как однородный многочлен 2-го порядка от этих переменных (сумма показателей степени х и у в каждом слагаемом равна 2).
Квадратичная форма от двух переменных имеет вид:



Например:

- квадратичная форма от двух переменных. Здесь . Сумма показателей степени х и у для каждого слагаемого равна двум.
Определение 2. Матрица называется матрицей квадратичной формы.

Например:

Для квадратичной формы матрица имеет вид .
Матрица Асимметрическая матрица. С ее помощью всякую квадратичную форму можно записать в виде:



В самом деле:



Запись (2) показывает, что квадратичная форма имеет наиболее простой (канонический) вид в том базисе, в котором наиболее простой вид имеет матрица А.

Наиболее подходящим в этом смысле является базис из собственных векторов оператора, порожденного матрицей А. В нем А принимает вид , где - собственные числа оператора, порожденного матрицей А.

Отсюда следует, что для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо с помощью ортогонального оператора перейти от данного базиса к базису из нормированных собственных векторов оператора, порожденного матрицей А.
Определение 3. Базис называют ортонормированным, если у него векторы попарно ортогональны (т.е. ) и нормированы (т.е. имеют единичную длину).
Определение 4. Для того, чтобы нормировать вектор достаточно разделить его на его длину.
Пример:



Ортогональный оператор сохраняет длины векторов и углы между векторами, поэтому он ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис .

В новом базисе квадратичная форма примет вид:



- канонический вид квадратичной формы.
Вывод: Всякая квадратичная форма от 2-х переменных приводится с помощью ортогонального оператора к каноническому виду:, где - собственные числа оператора, порожденного матрицей квадратичной формы.
Пример: Привести к каноническому виду квадратичную форму:



Решение: Составляем матрицу А и находим собственные числа оператора, порожденного матрицей А.





Характеристическое уравнение имеет вид:



Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы:

в базисе из нормированных собственных векторов оператора порожденного матрицей А.
§22Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду
Пусть требуется привести к каноническому виду общее уравнение кривой 2-го порядка:



Причем, квадратичная форма этого уравнения уже к каноническому виду приведена: .

Тогда, чтобы записать уравнение этой кривой в базисе , преобразуем линейную форму данного уравнения. С этой целью находим координаты базисных векторов в базисе , составляя матрицу Н ортогонального оператора перехода от базиса к базису :

- матрица перехода от старого базиса к новому.



Записываем формулы перехода от координат х, у к координатам :



Получаем уравнение: .

При этом важно, чтобы - соответствовала , а - соответствовала .

Дальнейшее упрощение уравнения кривой осуществляется путем выделения полных квадратов в уравнении (2) и заменой получающихся разностей вида: и переменными Х; У .

Геометрически эта операция равносильна параллельному переносу осей координат , при котором начало координат помещается в точку с координатами (а;b). Полученное уравнение относительно переменных Х и У и будет искомым каноническим уравнением кривой.
Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой:



  1. Приводим к каноническому виду квадратичную форму данного

уравнения:



Следовательно, канонический вид квадратичной формы: .

  1. Для преобразования линейной формы находим координаты в базисе для базиса , составленного из нормированных собственных векторов оператора, порожденного матрицей А.

Из системы имеем:



откуда ;



откуда

Составляем матрицу Н, записываем формулы перехода от координат (х; у) к координатам (): .

Поскольку , то искомые формулы перехода имеют вид:



Преобразуем линейную форму уравнения:

.

Таким образом, в базисе уравнение кривой имеет вид:

.

Для дальнейшего упрощения уравнения кривой делаем выделение полных квадратов:



Делаем замену: , получим

Окончательно - уравнение параболы, симметричной оси ОY.
Замечание. Квадратичная форма упрощается поворотом осей координат, а линейная форма - параллельным переносом осей.


Похожие:

Элементы аналитической геометрии icon2. Основы аналитической геометрии 1Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии...
Элементы аналитической геометрии iconПримерный вариант контрольной работы №1 по разделам «Матрицы и определители» и «Системы линейных уравнений»
«Элементы векторной алгебры», «Элементы аналитической геометрии», «Линейные отображения»
Элементы аналитической геометрии iconЭлементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В
Элементы аналитической геометрии iconЭлементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства
Элементы аналитической геометрии icon1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Метод координат. Векторы. Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы и длина
Элементы аналитической геометрии iconСборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1986. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1970
Барковський В. В., Барковська Н. В. Математика для економістів: Вища математика: Навч. Посібн К.: Нау,1997,1999
Элементы аналитической геометрии iconПрограмма обу­чения; «Экономика управление на предприятии апк»
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Функция действительного аргумента. Начала анализа функции
Элементы аналитической геометрии iconПеречень вопросов к экзамену по Геометрии (Аналитической геометрии) за первый семестр 2011-2012 уч года

Элементы аналитической геометрии iconЛекция Элементы аналитической геометрии на плоскости
Если в общем уравнении прямой, то разрешив общее уравнение прямой на плоскости относительно b получим уравнение вида
Элементы аналитической геометрии iconПеречень вопросов к экзамену по Геометрии (Аналитической геометрии) 2011-2012 уч года
Определение собственного вектора матрицы. Доказательство леммы о собственных векторах симметрической матрицы
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org