Фракталы Жюлиа и Мандельброта



Скачать 73.13 Kb.
Дата03.12.2012
Размер73.13 Kb.
ТипГлава




Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта

7.1. Фракталы Жюлиа

В 1918 году Гастон Жюлиа написал подробный «мемуар» в не­сколько сотен страниц, который был награжден призом Французской Академии. «Этот труд написан на высоком уровне, но ... едва ли мож­но найти в нем какие-то изображения» [3]. Работа Жюлиа игнорирова­лась в течение почти полувека, однако теперь она оказалась в центре внимания. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изо­бражено во времена Жюлиа. Визуальные результаты превзошли все ожидания (см., например, [4], [7]).

В работе Жюлиа рассматриваются итерации отображения вида: , , которые сохраняют углы, то есть конфор­мные преобразования. Наиболее изученным примером отображений та­кого вида является отображение (6.4), которое после разделения веще­ственной и мнимой частей запишется в виде (, ):
, (7.1)
Оказывается, это отображение дает множество фракталов, соот­ветствующих множеству Жюлиа .

Используя утверждение 6.11, дадим следующее

Определение 7.1. Множество Жюлиа – это граница об­ласти (то есть граница области притяжения бесконечности).

Заметим, что при множество Жюлиа – это окружность единичного радиуса. Действительно, в этом случае отображение имеет единственную устойчивую неподвижную точку . При итерации стремятся к нулю, а при – уходят па беско­нечность. При малых значениях , множество gif" name="object17" align=absmiddle width=57 height=19> уже не имеет форму окружности и, как правило, является фракталом (см. рис. 7.1). На рис. 7.2 показан увеличенный фрагмент рисунка 7.1.

Рис. 7.1. Фрактал Жюлиа при ,


Рис. 7.2. Фрагмент фрактала Жюлиа при ,
Жюлиа подробно исследовал свойства этого множества. Вот наиболее важные из этих свойств (см. Утверждение 6.11).

  1. Отображение (6.4) (или (7.1)) преобразует в себя. Другими словами, множество – инвариантное множество преобразования (7.1).

  2. Почти каждая точка имеет два прообраза.

Действительно, разрешая (7.1) относительно и , получаем



Поэтому и, следовательно,
.
Из этой формулы находим два значения для :
. (7.2)
Если известно, можно найти из второго соотношения в формуле (7.1):
(7.3)
Итак, точка имеет два прообраза. Каждый из этих прооб­разов имеет, в свою очередь, также по два прообраза и т. д. Снова мы получаем структуру двоичного дерева. Согласно Жюлиа, прообразы заполняют всюду плотно.

  1. Все неустойчивые периодические циклы расположены в .

  2. Орбита произвольной точки остается в и является либо
    периодическим циклом, либо хаотической орбитой.


  3. Для обратного отображения (7.2), (7.3) множество Жюлиа – аттрактор.


Используя формулы (7.1), несложно написать компьютерную программу для построения фрактала Жюлиа – множества Жюлиа . На рис. 7.3 показан фрактал , а на рис. 7.4 – фрактал .

Фракталы Жюлиа всегда симметричны относительно начала координат. Если же , то они симметричны относительно обеих осей и . Этот факт можно использовать при написании программы по­строения фракталов. Рассмотрим подробнее случай .

Если в (7.1) положим и начнем итерации от точки на оси (), то ее образ также будет лежать на оси . Таким образом, для орбиты, выходящей из этой точки, , и
. (7.4)
То есть, отображение (7.1) в этом случае сводится к одномерному отображению (7.4).

Отображение (7.4) эквивалентно модели ограниченного роста популяции
. (7.5)
Действительно, делая в этом отображении замену , полу­чаем (7.4) с .

В главе 5 мы нашли, что для отображение (7.5) имеет устойчивую неподвижную точку , и установили поведение при . А именно, при увеличении от наблюдается удвоение периода но Фейгенбауму. Значение соответствует , а не­подвижная точка соответствует . Итак, эта неподвиж­ная точка находится на границе области устойчивости. Для двумерного отображения (7.1) это означает, что неподвижная точка нахо­дится на границе области устойчивости и, следовательно, принадлежит фракталу.

Дальнейший анализ показывает, что фрактал на рис. 7.4 состоит из бесконечного ряда островов, которые касаются друг друга попарно на оси .

Рис. 7.5 показывает фрактал . Примечательно, что он не является связным, а состоит из отдельных компонент, подобно точечному множеству Кантора. Фракталы такого типа обычно называют «пылью Фату» в честь математика Фату.

Рис. 7.3. Фрактал Жюлиа при ,


Рис. 7.4. Фрактал Жюлиа при ,


Рис. 7.5. Фрактал Жюлиа при ,
Фракталы Жюлиа дают много прекрасных картин, особенно ес­ли использовать при их построении цвет.

При построении цветных фракталов используется условие при­ближения орбиты к аттрактору – бесконечно удаленному, как для фрак­талов Жюлиа, или к конечному, как для фракталов Ньютона, о которых речь пойдет ниже.

Так как для приближения к аттрактору орбите может потребо­ваться огромное количество итераций, то в программе необходимо ис­пользовать некое предельное значение для числа итераций, после кото­рого считаем, что орбита подошла к аттрактору.

Цвет же каждой точки на экране определяется числом итера­ций, которое потребовалось орбите, чтобы приблизиться к аттрактору. Если использовать цветов, то номер цвета можно, например, опре­делить но формуле , где – число совершенных итераций.
7.2. Фрактал Мандельброта

Фракталы Жюлиа (множества Жюлиа ) можно разделить на два основных класса: 1) связные и 2) вполне несвязные. Во втором случае фрактал состоит из несчетного множества дискретных точек. Классический пример подобного множества – точечное множество Кан­тора на отрезке .

Если же фрактал связный, то он состоит из набора линий, ино­гда – из единственной замкнутой кривой, иногда – это петли внутри петель, внутри петель и т. д., иногда – это дендрит.

Рис. 7.6. Фрактал Мандельброта и множества Жюлиа для указанных

точек из множества Мандельброта
Для фракталов Жюлиа тип зависит от значений парамет­ров и . Мандельброт нашел множество параметров на плоскости , для которого фрактал Жюлиа связный. Ключ к построению такого множества дал Жюлиа: надо проверить орбиту, выходящую из началь­ной точки , . Если эта орбита уходит на бесконечность, то – несвязный, подобно пыли Кантора. Это дает алгоритм для по­строения «бифуркационного» множества. Все точки на плоскости , для которых – связное множество, составляют, так называемое множество Мандельброта. На рис. 7.6 множество Мандельброта – это точки, расположенные в черной области. Это множество симметрично относительно оси . Граница множества Мандельброта представляет собой фрактал Мандельброта, в чем легко убедиться, увеличивая его отдельные фрагменты. Множество Мандельброта напоминает конгло­мерат фруктов или овощей; иногда его называют «картофельным чело­веком». Часть, по форме похожая на почку, ограничена кривой, похожей на сердце. Сглаженная (круговая) часть на самом деле является окруж­ностью с центром и радиусом . Вокруг нее лежит ряд малень­ких и крошечных кругов. Более подробные картины показывают, что это явление повторяется при уменьшении масштаба.

На оси множество Мандельброта описывается одномерным отображением вида (7.4), (7.5). Для такого отображения мы установили явление удвоения периода Фейгенбаума с универсальным масштабиро­ванием. Это явление для отображения (7.5) характеризуется бифуркационными значениями
.
Для отображения (7.4), соответственно, имеем:
.
Эти значения соответствуют точкам каса­ния круговых областей, диаметры которых уменьшаются, и их умень­шение определяется постоянной Фейгенбаума. Можно найти подобные области вокруг больших кругов.

Изучая отображение (7.5), мы установили, что для су­ществует -цикл. Для фигуры Мандельброта это соответствует островам с , . При более детальном рассмотрении эти острова ока­зываются «континентом» в миниатюре. Мы также можем увидеть подобные острова в окрестности значения, , . Они, в свою очередь, соответствуют устойчивому -циклу отображения Жюлиа (7.1).

На рис. 7.6 показаны множества Жюлиа для выделенных точек в множестве Мандельброта.
7.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера

Хорошие иллюстрации фрактала Мандельброта можно полу­чить на экране дисплея в цвете. Сформируем на экране дисплея прямо­угольник с размером пикселей, где , определяются разрешением (растром) экрана. Каждый пиксель соответствует паре значений , которые нужно проверить. Проверка состоит в повто­ряющемся применении итерационного процесса (7.1) с заданными зна­чениями в качестве параметров. Чтобы получить множество Мандельброта, возьмите значения , . Вопрос в том, уходит или нет орбита на бесконечность. Оказывается, если за макси­мальное число итераций , которое выбирается заранее, орбита не покидает круга , то точка принадлежит множеству Мандельброта; на экране такие точки будем обозначать черным цветом. Если же за число итераций орбита покидает указанный круг, то считаем, что она уходит на бесконечность. Цвет соответствующей точки выбираем, например, по формуле , если используем цветов, или по какой-то другой формуле, или же задавая палитру.

Похожие:

Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconМножества Мандельброта и Жюлиа
То есть аттрактор это точка притяжения итерационного процесса или предел последовательности. Множество всех точек плоскости с конечными...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconГородская конференция «Математика и искусство» Фракталы и искусство Авторы доклада
Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconЛекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии. 2 Лекция №2. Свойства скалярных и векторных поле
Лекция №5. Множества Жюлиа, множество Мандельброта и их компьютерное представлени
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconФрактал и фрактальная геометрия
Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconСеминар для студентов 1-2 курсов «Фрактальная геометрия»
Мандельброта и Жюлиа, снежинке Коха, пыли Кантора. Как отзвук этого явления в некоторых школах образуются кружки, читаются элективные...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconТ. Бонч-Осмоловская Фракталы в литературе
В математике понятие фрактал появилось в конце семидесятых годов после выхода в свет в 1977 году книги Б. Мандельброта «Фрактальная...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта icon«создание мультимедиаклипа по теме \"Фрактальная геометрия\"»
Но магнетизм темы таков, что увидевший однажды, забыть не сможет никогда. Фракталы – суть нашего мира… фракталы – математика во всей...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconПеревод и редакция: Мещанинов Николай
Хотя множество Мандельброта (ММ)- самый известный фрактал в мире, мало кто знает как вычислять его
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconМножество Мандельброта
В математике мно́жество Мандельбро́та — это фрактал, определённый как множество точек на комплексной плоскости, для которых итеративная...
Фракталы Жюлиа и Мандельброта iconБесконечного в геометрии
Углубимся в бесконечное деление пространства. Красивым примером такого деления являются фракталы – нерегулярные, но самоподобные...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org