Определение числовой последовательности и её предела



страница1/4
Дата03.12.2012
Размер0.5 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4

  1. Определение числовой последовательности и её предела.

Если каждому натуральному числу n=1,2,3,… по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число хn, то полученное упорядоченное множество х1, х2, х3, …, хn, … называется бесконечной числовой последовательностью.

Число а называется пределом числовой последовательности х1, х2, х3, …, хn, …, если для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такое число N, что при всех n  N выполняется неравенство |хn - a| < ε.

 ε>0  N: nN: |xn-a| < ε

  1. Теорема о конечном числе членов числовой последовательности вне эпсилон-окрестности.

Число а является пределом числовой последовательности {xn} тогда и только тогда, когда вне любой ε-окрестности числа а находится лишь конечное (или пустое) множество членов последовательности {xn}. Док-во: Пусть дано limxn=a. Пусть ε > 0 произвольно. limxn=a  по ε мы можем указать такое N, что для всех значений n  N выполняется |хn - a| < ε или а-εn<а+ε. Вне (а-ε;а+ε) находятся лишь х1, х2, х3, …, хn-1, а таких членов последовательности конечное число.

Следствие. Внутри любой ε-окрестности предела числовой последовательности находится бесконечное множество её членов.

  1. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.

Если последовательность {xn} сходится (имеет предел), то она ограничена. Док-во: пусть limxn=a. Зададим число ε=1 и найдём число N такое, чтобы при n  N выполнялось |хn - a| < 1. Вне окрестности (а-1;а+1) находится либо пустое, либо конечное множество элементов последовательности. В первом случае примем а-1=m и а+1=М, тогда для всех членов последовательности выполняется неравенство mnn}. Во втором случае среди чисел х1, х2, х3, …, хn-1, которые находятся вне окрестности (а-1;а+1), имеется наименьшее хp=m и наибольшее xq=M: для всех членов последовательности выполняется неравенство mxnM, что означает ограниченность множества {xn}.

  1. Определение монотонной последовательности. Формулировка теорем об ограниченных монотонных последовательностях.

Последовательность {xn} называется неубывающей, если для любого n выполняется неравенство xnxn+1 (возрастающей, если xnn+1). Аналогично невозрастающая и убывающая последовательности.
Все эти 4 разновидности последовательностей называются «монотонными».

Теорема 1: если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.

Теорема 2: всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

  1. Теорема об единственности предела числовой последовательности.

Если предел последовательности существует, то он единственный. Док-во: допустим limxn=a; limxn=b; ab. Предположим, что a 0, чтобы a + ε < b - ε. По теореме о конечном числе членов числовой последовательности вне ε-окрестности: вне ε-окрестности числа а находится лишь конечное число членов последовательности, поэтому внутри ε-окрестности числа b может оказаться лишь конечное число членов  противоречие.

  1. Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.

Если хn  yn и существуют пределы limxn=a и limуn=b, то a  b. Док-во: предположим, что a>b и зададим ε > 0 так, чтобы выполнялось условие b+ε1 и N2, чтобы при nN1 было a-εn2 было b-εn1 и N2 назовём N. Очевидно, что при n  N выполняются оба неравенства. xn>a-ε и ynn>yn, что противоречит условию.

!!! При переходе к пределу строгое неравенство может перейти в равенство (напр. xn=-1/n ; yn=1/n).

Следствие. Если axnb и limxn=c, то aсb.

  1. Теорема о переходе к пределу в двустороннем неравенстве для трёх последовательностей.

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к одному и тому же пределу а и для всех n выполняются неравенства xnznyn, то последовательность {zn} имеет тот же предел а. Док-во: limxn=limуn=a  вне (а-ε;а+ε) находится лишь конечное число членов последовательностей {xn} и {уn}. Возьмём {zn} так, что для всех n выполняются неравенства xnznyn  вне (а-ε;а+ε) находится лишь конечное число членов последовательности {zn}  a - предел последовательности {zn}.


  1. Теорема о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей. Доказать для суммы и произведения.

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то предел их суммы, разности, произведения или частного равен соответственно сумме, разности, произведению или частному пределов (в последнем случае предполагается, что предел делителя не равен нулю).

Теорема о пределе суммы. Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме этих пределов. Дано: limxn=a; limуn=b. Док-ть: lim(xnn)=а+b. Док-во: задаём ε > 0 и ищём такое N, чтобы при n  N выполнялось |(хn+yn) - (a+b)| < ε. Возьмём ε1=ε/2. Найдём N1 такое, чтобы при n  N1 выполнялось |хn - a| < ε1, и N2 такое, чтобы при n  N2 выполнялось |yn - b| < ε1. Пусть N3 = max [N1;N2] - при n  N3 выполняются оба неравенства. В качестве искомого числа N возьмём число N3: |(хn+yn) - (a+b)| = |(хn-а) + (yn-b)|  |хn-а| + |yn-b| < ε1 + ε1 = 2ε1 = ε.

Следствие. Если limxn=a, c – постоянная величина, то lim(c+xn)=c+limxn=c+a; limcxn=climxn=ca; lim(c/xn)=c/a (xn0,a0). Таким образом, постоянное слагаемое и постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема о пределе произведения. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению этих пределов. Дано: limxn=a; limуn=b. Док-ть: lim(xn . уn)=а . b. Док-во: задаём ε > 0 и ищём такое N, чтобы при n  N выполнялось |(xn . уn) - (а . b)| < ε.

  1. Определение и примеры бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Последовательность стремится к +∞, если для любого как угодно большого числа M > 0 можно указать такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство xn>M. (Напр., n2) M>0N:nN:xn>M

Последовательность стремится к -∞, если для любого как угодно большого числа M > 0 можно указать такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство xn<-M. (Напр., (-n+2)) M>0N:nN:xn<-M

Последовательности, стремящиеся к +∞ или -∞, называются бесконечно большими.

Бесконечно малой называется последовательность {xn}, имеющая предел, равный нулю: limxn=0. (Напр., xn=1/n) ε>0N:nN:|xn|<ε

  1. Формулировка теорем о бесконечно малых и бесконечно больших последовательностях. Доказать теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную.

Теорема 1. Если {xn} – бесконечно малая последовательность (xn0), то {1/xn} является бесконечно большой. Обратная теорема. Если {xn} – бесконечно большая последовательность (xn0), то {1/xn} является бесконечно малой.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. Док-во: пусть {xn} - бесконечно малая, {уn} - ограниченная последовательности. Доказать, что {xn . уn} - бесконечно малая. K>0: n: |yn|K. Возьмём произвольное ε > 0 и обозначим ε1=ε/K. Будем считать, что для {xn} роль ε играет ε1. По числу ε1 найдём такое число N, чтобы для всех значений nN выполнялось неравенство |xn|<ε1. Но тогда |xnyn| = |xn| .n| < ε1 . K = ε/K . K = ε  при nN будет |xnyn|<ε  limxnyn=0.

  1. Определение предела функции по Коши и Гейне.

Определение 1 (Коши): число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если по любому как угодно малому числу ε>0 можно указать такое число >0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 0 < |x - a| < , выполняется неравенство |f(x) - A| < ε.

ε>0>0: 0<|x-a|< |f(x)-A|< ε или ε>0>0: xX,xa,|x-a|<: |f(x)-A|< ε

Определение 2 (Гейне): число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если для любой последовательности х1, х2, х3, …, хn, …, сходящейся к а (хnа), последовательность соответствующих значений функции, т.е. f(x1), f(x2), …, f(xn), …, сходится к числу А.

  1. Односторонние пределы функции.

Число А называется пределом слева (справа) функции f(x) в точке x=a, если по любому ε>0 можно указать такое >0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству а-

  1. Пределы функции, при стремлении её аргумента к бесконечности.

Число А называется пределом функции f(x) при стремлении х к +∞(-∞), если по любому ε>0 можно указать такое число M>0, что при значениях x > M (x < -M), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.

lim(x)f(x)=A:ε>0M>0:|x|>M |f(x)-A|<ε

  1. Пределы функции, равные бесконечности.

Запись lim(xa)f(x)=+∞ (lim(xa)f(x)=-∞) означает, что по любому как угодно большому положительному числу Е можно указать такое число >0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-a|<, выполняется неравенство f(x) > E (f(x) < -E).

lim(xa)f(x)=∞:E>0>0: 0<|x-a|< |f(x)|>E


  1. Теорема о разности между функцией и её пределом.

Число А является пределом функции y=f(x) при xa (x∞) тогда и только тогда, когда разность f(x)-A есть бесконечно малая при xa (x∞). Док-во (для случая xa): пусть задано ε > 0. Обозначим (x)=f(x)-A. Если А - предел  в -окрестности числа а выполняется |f(x)-A| = |(x)| < ε  (x) - бесконечно малая. Теперь докажем, что lim(xa)f(x)=A. Зададим ε > 0 и укажем такое 1, что при 0<|x-a|<1 выполняется неравенство |(x)| < ε. Таким образом, можно взять =1 и при 0<|x-a|< будет |f(x)-A| < ε. Это означает, что lim(xa)f(x)=A.

  1. Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях (умножение бесконечно малой на ограниченную функцию, деление ограниченной функции на бесконечно большую, бесконечно малую).

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при xa (x∞), если lim(xa)f(x)=0 (lim(x)f(x)=0). Примеры: lim(x)sinx=0; lim(x)1/x2=0.

Функция y=f(x) называется бесконечно большой при xa, если lim(xa)|f(x)|=+ ∞.

Теорема 1: произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Теорема 2: частное от деления ограниченной функции f(x) на бесконечно большую g(x), т.е. f(x)/g(x), есть бесконечно малая.

Теорема 3: частное от деления функции f(x), модуль которой ограничен снизу положительным числом, на бесконечно малую есть бесконечно большая.

  1. Теорема о пределе суммы, произведения и частного функций.

Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то предел суммы, произведения и частного этих функций равен соответственно сумме, произведению и частному пределов (в случае частного теорема справедлива лишь при условии, что предел делителя отличен от нуля). Док-во (для суммы): пусть lim(xa)f(x)=A, lim(xa)g(x)=B. Необходимо доказать, что lim(xa)[f(x)+g(x)]=A+B. Задаём ε > 0. По любому как угодно малому числу ε1 (положим ε1= ε/2) можно указать такое 1, что при 0<|x-a|<1 выполняется неравенство |f(x) - A| < ε1. Аналогично можно найти такое 2, что при 0<|x-a|<2 выполняется неравенство |g(x) - B| < ε1. Теперь возьмём  = min [1;2]  удовлетворяющие неравенству 0<|x-a|< значения х будут также удовлетворять неравенствам |f(x) - A| < ε1 и |g(x) - B| < ε1. Получаем: |(f(x) + g(x)) - (A + B)| = |(f(x) - A) + (g(x) - B)|  |f(x) - A| + |g(x) - B| < ε1 + ε1 = ε/2 + ε/2 = ε.

Следствие. Постоянное слагаемое или постоянный множитель можно выносить за знак предела.

  1. Первый замечательный предел.

lim(x0)(sinx/x)=1. Неопределённость вида 0/0. Пусть 01=пл.AOB, S2=пл.сектора AOB, S3=пл.AOС, OA=R. Тогда S1=R2sinx/2; S2=R2x/2 (площадь круга R2, площадь сектора в 1 радиан R2/2= R2/2, площадь сектора в х радиан R2x/2); S3=R2tgx/2. Площади находятся в соотношении S123  R2sinx/2 < R2x/2 < R2tgx/2  1 < x/sinx < 1/cosx (после деления на R2sinx/2) или 1 > sinx/x > cosx. При x0 cosx1, т.к. 0  1-cosx = 2sin2x/2 < 2sinx/2 < x lim(x+0)(sinx/x)=1. При x-0, т.е. x<0: lim(x-0)(sinx/x)=lim(x-0)(sin(-x)/(-x))=lim(t+0)(sint/t)=1, где t=-x. Пример: lim(x0)(sin2x/sin3x)=lim(x0)((2sin2x/2x)/(3sin3x/3x))=1.2/1.3=2/3.
  1   2   3   4

Похожие:

Определение числовой последовательности и её предела iconПрограмма вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам «Математический анализ»
Предел числовой последовательности. Основные свойства предела. Условия существования конечного предела (критерий Коши и случай монотонной...
Определение числовой последовательности и её предела iconВопросы для подготовки к экзамену/зачету 1 семестр
Предел переменной величины. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела последовательности
Определение числовой последовательности и её предела iconОпределение и свойства предела последовательности. Определение
Определение: задать числовую последовательность – это значит сопоставить каждому номеру действительное число
Определение числовой последовательности и её предела iconПредел числовой последовательности и понятие предела функции
Согласно методу «точечное описание движения», изменение любой переменной величины представляют как последовательность «точек» на...
Определение числовой последовательности и её предела iconВопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности
Определение числовой последовательности и её предела iconЧисловые ряды Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение
Определение числовой последовательности и её предела iconЛекция 22. Числовые ряды. 22 Основные определения. Определение
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Определение числовой последовательности и её предела icon28. Определение предела последовательности
Упорядочение значений переменной xn по возрастанию их номеров, приведшее к рассмотрению последовательности (2) этих значений, облегчает...
Определение числовой последовательности и её предела iconОпределение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Определение числовой последовательности и её предела iconОпределение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org