Учебно-методическое пособие по курсу " Информатика " Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс



Скачать 262.81 Kb.
страница1/3
Дата08.10.2012
Размер262.81 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2   3
Министерство образования и науки российской федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Уфимский государственный нефтяной

Технический университет
Филиал в г.Салавате

Кафедра "Общенаучные дисциплины"

численное решение нелинейных уравнений



УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по курсу

"Информатика"

Уфа 2005
Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс.

Составитель Кузьминых П.В.., доц., канд. физ.-мат. наук

Рецензент Муртазин Ф.Р., доц., канд. техн. наук

Ó Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2005

Содержание




Введение




1. Определение корней




2. Метод половинного деления




3. Метод простых итераций




4. Метод Ньютона




5. Сравнение методов решения трансцендентных уравнений




6. Решение алгебраических уравнений




6.1. Метод Лобачевского




6.2. Метод Лиина




6.3. Метод Хичкока




Варианты заданий




Библиографический список






Введение
Задача отыскания корней нелинейных уравнений вида

f(x)=0

встречается в различных областях научных исследований.

Все нелинейные уравнения можно разделить на два типа:

— алгебраические;

— трансцендентные.

Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (например, полином). Уравнения, содержащие функции (тригонометрические, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

Как правило, встречающиеся на практике уравнения не удается решить точными методами, когда решение уравнения можно записать в виде конечной формулы.
Так методы решения линейных и квадратных уравнений были известны ещё древним грекам. Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней было получено итальянскими математиками Ферро, Кардано, Феррари в XV веке. Однако, как доказал в 20-ых годах XIX века норвежский математик Н.Абель, общее уравнение пятой и более высоких степеней неразрешимо в радикалах.

Для трансцендентных уравнений задача поиска корней ещё более осложняется.

Возьмем в качестве модельного очень простое уравнение

f(x)=x-cosx=0.

Это уравнение имеет единственный корень (x≈0.73), однако получить формулу для его вычисления невозможно.

В тех случаях, когда не удается найти аналитическое решение уравнения, важное значение приобретают универсальные вычислительные методы отыскания корней. Обычно эти методы не накладывают ограничений на конкретный вид функции f(x), а предполагают только, что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д. Такие методы называют, как правило, итерационными, т.е. позволяющие получать лишь приближенное значение корня за некоторое число шагов.

Большинство этих методов предполагают, что заранее известны достаточно малые окрестности, в каждой из которых имеется только один корень.

Таким образом, задача приближенного вычисления корней уравнения f(x) =0 распадается на две задачи:

— отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен только один корень уравнения;

— нахождение корня с достаточной точностью, если известно некоторое начальное его приближение.

Приближенное значение корня может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью других графических методов.

Уточняющие методы позволяют отыскать действительный корень уравнения f(x) = 0, как правило, с контролируемой точностью. Отметим, что уточняющие методы описываются для решения трансцендентных уравнений, однако все нижеописанные способы решения трансцендентных уравнений могут использоваться для отыскания действительных корней алгебраических уравнений.

1 Отделение корней
При решении уравнения f(x)=0 важно предварительно изучить расположение корней и заключить каждый корень в область, не содержащую других корней. Для отделения корней полезна теорема о существовании корня.

Теорема о существовании корня непрерывной функции.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x)=0.

Обратим внимание на то, что, гарантируя существование решения уравнения, теорема не позволяет определить число его корней на отрезке.

Рис.1.1 Пример непрерывной

функции на отрезке [а,в]
На рис. 1.1 в качестве примера приведен график функции, удовлетворяющий условиям теоремы и имеющей на отрезке несколько корней. Требование непрерывности f(x) во всех точках интервала [a,b] существенно. При наличии хотя бы одной точки разрыва, утверждения теоремы становятся неверным.

Таким образом, для отыскания интервала, содержащего корень уравнения необходимо отыскать интервал смена знака функции. Для обеспечения единственности корня, необходимо потребовать, чтобы функция была бы монотонна на [a,b]. В качестве примера решения задачи отделения корней модельного уравнения на рис. 1.2. Формирование таблицы значений функции проводится с помощью программы, записанной на языке VBA.

0

-1































0,1

-0,895

























0,2

-0,78007




 

 

 




0,3

-0,65534

Sub Кнопка1_Щелкнуть()




0,4

-0,52106

i = 0




 




0,5

-0,37758

For x = 0 To 1 Step 0.1




0,6

-0,22534

i = i + 1




 




0,7

-0,06484

y = x - Cos(x)

 




0,8

0,103293

Cells(i, 1).Value = x

 




0,9

0,27839

Cells(i, 2).Value = y

 




1

0,459698

Next x




 










End Sub




 










 

 

 






















































График оформлен с помощью точечной диаграммы. Диапазон исходных данных: ячейки А1:В11. На построенном графике видно, что единственной корень находится на интервале [0.5,1].

Алгебраическое уравнение n-ой степени

f(x)= (an≠0)

имеет n корней, причем часть из которых может быть действительными, а часть – комплексно-сопряженными.

Задача отделения корней алгебраических уравнений изучена достаточно хорошо. Приведем ряд утверждений, доказываемых в курсах высшей алгебры, которые дают возможность найти область расположения корней и решить задачу их отделения.

Для определения границ расположения действительных корней можно использовать следующую оценку:

если a=max {│an -1│,│an -2│...,│a0│}, a = max {│an │,│an -1│...,│a1│}

, то все эти уравнения расположены в области



Например, для уравнения x4-35x3+380x2-1350x+1000=0.

Все корни расположены в области



Эту оценку можно использовать для границ построения графика функции.

Теорема Декарта. Число положительных корней алгебраического уравнения с учетом их кратности равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов an, an-1, …, a0 (причем равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на четное число (для вышеуказанного алгебраического уравнения число корней равно 4 или 2 (в действительности, уравнение имеет 2 корня x1=0.74, x2=22)) Для определения числа отрицательных корней достаточно применить теорему Декарта к многочлену f(-x).

2 Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
Это один из простейших методов (но и самый надёжный) нахождения корней нелинейного уравнения. Он состоит в следующем. Допустим, что удалось найти отрезок [a,b], в котором расположено искомое значение корня х=0, т.е. aПоделим отрезок пополам. Координата средней точки интервала x=(a+b)/2, значение функции в средней точке f(x).

Если знак функции на левой границе f(a) и знак функции в средней точке f(x) совпадают, то на основании теоремы о существовании корня на интервале [a,x] корня быть не должно. В этом случае перенесем координату левой границы в среднюю точку и повторяем процедуру деления отрезка ещё раз. В том случае, когда знак функции на левой границе и в средней точке отличаются, отбрасываем под интервал [x,b], т.е. переносим правую границу в среднюю точку.

Таким образом, после каждого деления отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, т.к. после уточнений он сократится в 2n раз.

Если длина исходного интервала равна b – a, то после n шагов достигается точность

,

причем для оценки точного значения корня имеем двухстороннюю оценку

.

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока длина расчетного интервала не станет меньше заданной точности решения Е.

На рис 2.1 представлена блок-схема вычислительного процесса нахождения корня уравнения f(x)=0 методом половинного деления.

При этом значение F(a) вычисляется всего один раз, т.к. для анализа нужен только один знак функции на левой границе.

Метод половинного деления довольно медленный (число шагов N=), однако сходится всегда, причем с гарантированной точностью. Требуемое обычно большое число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является существенным препятствием к применению этого метода на достаточно мощных современных ПЭВМ.

Для случая решения модельного уравнения x – cos x = 0 на интервале [0.5,1] с точностью Е=10-6 потребуется 19 уточнений.

Отметим, что идея метода половинного деления используется под названием «бинарного поиска» при работе с большими базами данных при поиске по ключевому значению.

Существуют и другие методы определения координаты пробной точки интервала [a,b].
  1   2   3

Похожие:

Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconУчебно-методическое пособие по неорганической химии Алт гос техн ун-т им. И. И. Ползунова, бти. Бийск
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курс "Неорганическая химия"
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconУчебно-методическое пособие для студентов юридического факультета очной и заочной форм обучения
Данилова н. В. Латинский язык в таблицах и схемах. Учебно-методическое пособие для студентов юридического факультета очной и заочной...
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconМетодические указания к практической работе «Сборочный чертеж» часть 1
Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения при изучении темы "Сборочный чертеж"
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconМетодическое пособие и контрольные задания для студентов-заочников механических специальностей (0702) (1706) Часть 1 Кемерово 2003
Методическое пособие предназначено для студентов механических специальностей заочной формы обучения по курсу начертательная геометрия...
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconУчебно-методический комплекс для студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения

Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconУчебно-методическое пособие по предмету Инженерная графика для студентов 2 курса всех специальностей
Пособие предназначено для обучения студентов всех специальностей приемам выполнения чертежей на персональном компьютере в программе...
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconИ. Н. Титаренко, М. А. Дедюлина, Е. В. Папченко, Е. А. Помигуева контрольные задания по культурологии для студентов факультета безотрывных форм обучения
...
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconМетодическое пособие Для студентов, обучающихся по специальности: 080401 «Товароведение и экспертиза товаров (продовольственных, непродовольственных)»
Методическое пособие предназначено для студентов очной, заочной форм обучения по специальности 080401 «Товароведение и экспертиза...
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconМетодическое пособие Для студентов, обучающихся по специальности: 080401 «Товароведение и экспертиза товаров (продовольственных, непродовольственных)»
Методическое пособие предназначено для студентов очной, заочной форм обучения по специальности 080401 «Товароведение и экспертиза...
Учебно-методическое пособие по курсу \" Информатика \" Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс iconУчебно-методическое пособие по курсу «управление банковским продуктом»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделения Финансового факультета, изучающих курс "Управление...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org