Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы



Скачать 163.38 Kb.
страница1/2
Дата03.12.2012
Размер163.38 Kb.
ТипДокументы
  1   2
Тема №7,8. Кривые второго порядка и их свойства.

Учебные вопросы:

1. Окружность

2. Эллипс, его вершины, фокусы и эксцентриситет.

3. Гипербола и ее асимптоты

4. Парабола и ее директриса.
1.Окружность. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной, называемой центром.

Поместим начало координат в центр окружности. Уравнение окружности будет

(1),

где - радиус окружности (рис. 1).










y







gif" align=left hspace=12>








y











































R










R













R

















































































x
























































































































x































Рис 1













Рис 2








В общем случае, когда центр окружности находится не в начале координат, а в произвольной точке ее уравнение будет (рис. 2).

(2).

Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса с центром в точке (2,-4) и найти точки пересечение этой окружности с осями координат.

Решение. Согласно формуле (2) получаем



Если мы раскроем скобки и выполним приведение подобных членов, то придем к следующему (равносильному) уравнению:



Точки пересечения окружности с осью ординат найдем, положив в исходном уравнении В результате имеем: откуда и, следовательно (если ограничиться точностью в два десятичных знака), искомыми будут точки и

Аналогично находим точки и в которых окружность пересекается с осью абсцисс, т. е. с прямой

Пример 2. Найти координаты центра и радиус окружности



Решение. Придавая уравнению вид

или или

заключаем, что радиус окружности ее центром служит точка

  1. Эллипс, его вершины, фокусы и эксцентриситет.

Эллипсом, называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса (рис. 3)

(3)

у
С

b М(х,у)

r1

А r2 В

F(-c,o) o F(c,o) a x
-b D

рис 3.

Величина называется большой полуосью, величина -малой полуосью, а точки - вершинами эллипса.

Фокусы имеют координаты F1(-c,0), F2(c,0). Ясно, что точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда , когда , где и называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы определяются формулами

(4),б

где величина (5)

характеризующая степень вытянутости эллипса, называется его эксцентриситетом.

Пример 1. Эллипс на координатной плоскости расположен стандартным образом и он проходит через точки А(2,2), В(3,1). Написать его каноническое уравнение.

Решение. Пусть это уравнение есть (1). Тогда подставляя координаты

точек А, В в (3) получаем систему уравнений



Введение обозначений дает нам систему линейных уравнений



Решая эту систему методом Крамера (или другим методом) получаем что

Таким образом, для этого эллипса и требуемым уравнением будет

.

Пример 2. Найти величины осей и 2b, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса


Решение. Сравнив заданное уравнение с уравнением (3), видим, что

так что

В таком случае большая ось эллипса а малая

Для того чтобы найти координаты фокусов эллипса, надо прежде всего определить величину



Следовательно, координаты фокусов эллипса и а координаты его вершин - Эксцентриситет эллипса определяем согласно формуле (5) по известным

и


3. Гипербола и ее асимптоты.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

По определению гиперболы получаем:

(рис. 4)

Если расположить гиперболу на координатной системе стандартно, то ее каноническое уравнение имеет вид

(6)

здесь и F1(-c, 0), F2(c, 0)-фокусы гиперболы. В отличие от эллипса, гипербола состоит из двух обособленных частей, которые носят название ветвей гиперболы.



У

М(х,у)

b r1



М0 r2

А В

F1(-с,0) о а F2(c,0)



рис. 4

По мере увеличения гипербола приближается к прямым как угодно близко, но никогда не может их достичь. Эти прямые называются асимптотами гиперболы.

Как и для эллипса, степень сжатия гиперболы характеризуется эксцентриситетом



но для нее так как

Две гиперболы, которые определяются уравнениями



при одних и тех же значениях параметров а и b называются сопряженными. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты, но у них действительные и мнимые оси как бы поменялись ролями.

Пример 1. Найти величины осей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы



Решение. Разделив обе части уравнения на 1600 и тем самым приведя его к каноническому виду, имеем



Отсюда

и, следовательно,



Асимптотами рассматриваемой гиперболы будут прямые



а ее фокусы, которые, как уже отмечалось, всегда расположены на действительной оси гиперболы, будут находиться в точках



Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Гипербола задана уравнением . Требуется найти ее каноническое уравнение.

Решение. Выполним следующие преобразования



т.е.



Разделив, теперь обе части этого уравнения имеем ,

это и есть требуемое уравнение гиперболы. Оно показывает что центр гиперболы расположен в точке (1,-1) и ее график получается путем параллельного переноса центра стандартной гиперболы (т.е. начала координат) .

4. Парабола и ее директриса.

Параболой есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). При этом предполагается, что директриса не проходит через фокус.











y



















М(х,у)







р









































































F




x





























































































x=-p/2






















Рис. 5

- директриса параболы. Фокус параболы обозначают буквой а через - расстояние от точки М параболы до фокуса.

Каноническое уравнение параболы



Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то ее фокус и сама парабола расположена так, как показано на рис.6. Уравнение параболы имеет вид










у

























М

p
























































































F







х

















































-p














































х=р/2







Рис. 6

Парабола может быть симметрична и относительно оси ОУ, в этом случае фокус ее будет лежать на оси ординат, а директриса будет параллельна оси ОХ. Как видно при этом условии координатной оси меняются ролями и уравнение параболы принимает вид



если парабола обращена вершиной вниз, и



















y













y


























































р/2

F










p/2




































р










p










x

-p







x




























-р/2













-р/2






























































































































рис. 7.
Пример 1. Составить уравнение параболы, зная, что она симметрична оси ОУ, проходит через начало координат и через точку М(6,-2).

Решение. Очевидно это уравнение имеет вид х2=2ру. Поскольку она проходит через точку М(6,-2), имеем 62=2р(-2). Отсюда мы имеем р=-9, т.е. требуемым уравнением будет х2=-18у.

Пример 2. Дана парабола Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение. Данная парабола симметрична относительно оси ОУ и расположена в нижней полуплоскости Из данного уравнения находим



Расстояние фокуса от начала координат равно поэтому его ордината а сам фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси ОХ и отстоящая от последней на расстояние Следовательно, уравнением директрисы нашей параболы будет

  1   2

Похожие:

Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы icon«кривые второго порядка»
Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0 описывают конические сечения или кривые второго...
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconКривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение
Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconКривые второго порядка Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconКривые третьего и четвертого порядка
...
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconТема 5 кривые на плоскости
Кривые на плоскости как геометрический образ алгебраического уравнения второго порядка
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconКривые второго порядка
Две линии – прямая и окружность. Но с течением времени математики стали изучать и использовать в своих исследованиях более сложные...
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconУчебные элементы Содержание Учебные действия
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем...
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы icon«Кривые второго порядка»
Установить, что уравнение определяет эллипс и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconПоверхности второго порядка
...
Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы iconТема теория потребительского поведения. Ординалистская теория полезности и кривые безразличия
Ординалистская теория полезности. Исходные аксиомы анализа. Кривые безразличия и их свойства Предельная норма замещения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org