Тема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы

Тема №7,8. Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы: 1. Окружность 2. Эллипс, его вершины, фокусы и эксцентриситет. 3. Гипербола и ее асимптоты 4. Парабола и ее директриса. 1.Окружность. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной, называемой центром. Поместим начало координат в центр окружности. Уравнение окружности будет (1), где - радиус окружности (рис. 1). y gif" align=left hspace=12> y R R R x x Рис 1 Рис 2 В общем случае, когда центр окружности находится не в начале координат, а в произвольной точке ее уравнение будет (рис. 2). (2). Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса с центром в точке (2,-4) и найти точки пересечение этой окружности с осями координат. Решение. Согласно формуле (2) получаем Если мы раскроем скобки и выполним приведение подобных членов, то придем к следующему (равносильному) уравнению: Точки пересечения окружности с осью ординат найдем, положив в исходном уравнении В результате имеем: откуда и, следовательно (если ограничиться точностью в два десятичных знака), искомыми будут точки и Аналогично находим точки и в которых окружность пересекается с осью абсцисс, т. е. с прямой Пример 2. Найти координаты центра и радиус окружности Решение. Придавая уравнению вид или или заключаем, что радиус окружности ее центром служит точка Эллипс, его вершины, фокусы и эксцентриситет. Эллипсом, называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса (рис. 3) (3) у С b М(х,у) r1 А r2 В -а F(-c,o) o F(c,o) a x -b D рис 3. Величина называется большой полуосью, величина -малой полуосью, а точки - вершинами эллипса. Фокусы имеют координаты F1(-c,0), F2(c,0). Ясно, что точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда , когда , где и называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы определяются формулами (4),б где величина (5) характеризующая степень вытянутости эллипса, называется его эксцентриситетом. Пример 1. Эллипс на координатной плоскости расположен стандартным образом и он проходит через точки А(2,2), В(3,1). Написать его каноническое уравнение. Решение. Пусть это уравнение есть (1). Тогда подставляя координаты точек А, В в (3) получаем систему уравнений Введение обозначений дает нам систему линейных уравнений Решая эту систему методом Крамера (или другим методом) получаем что Таким образом, для этого эллипса и требуемым уравнением будет . Пример 2. Найти величины осей 2а и 2b, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса Решение. Сравнив заданное уравнение с уравнением (3), видим, что так что В таком случае большая ось эллипса а малая Для того чтобы найти координаты фокусов эллипса, надо прежде всего определить величину Следовательно, координаты фокусов эллипса и а координаты его вершин - Эксцентриситет эллипса определяем согласно формуле (5) по известным и 3. Гипербола и ее асимптоты. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. По определению гиперболы получаем: (рис. 4) Если расположить гиперболу на координатной системе стандартно, то ее каноническое уравнение имеет вид (6) здесь и F1(-c, 0), F2(c, 0)-фокусы гиперболы. В отличие от эллипса, гипербола состоит из двух обособленных частей, которые носят название ветвей гиперболы. У М(х,у) b r1 М0 r2 А В F1(-с,0) о а F2(c,0) рис. 4 По мере увеличения гипербола приближается к прямым как угодно близко, но никогда не может их достичь. Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Как и для эллипса, степень сжатия гиперболы характеризуется эксцентриситетом но для нее так как Две гиперболы, которые определяются уравнениями при одних и тех же значениях параметров а и b называются сопряженными. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты, но у них действительные и мнимые оси как бы поменялись ролями. Пример 1. Найти величины осей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы Решение. Разделив обе части уравнения на 1600 и тем самым приведя его к каноническому виду, имеем Отсюда и, следовательно, Асимптотами рассматриваемой гиперболы будут прямые а ее фокусы, которые, как уже отмечалось, всегда расположены на действительной оси гиперболы, будут находиться в точках Рассмотрим следующие примеры. Пример 1. Гипербола задана уравнением . Требуется найти ее каноническое уравнение. Решение. Выполним следующие преобразования т.е. Разделив, теперь обе части этого уравнения имеем , это и есть требуемое уравнение гиперболы. Оно показывает что центр гиперболы расположен в точке (1,-1) и ее график получается путем параллельного переноса центра стандартной гиперболы (т.е. начала координат) . 4. Парабола и ее директриса. Параболой есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). При этом предполагается, что директриса не проходит через фокус. y М(х,у) р F x -р x=-p/2 Рис. 5 - директриса параболы. Фокус параболы обозначают буквой а через - расстояние от точки М параболы до фокуса. Каноническое уравнение параболы Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то ее фокус и сама парабола расположена так, как показано на рис.6. Уравнение параболы имеет вид у М p F х -p х=р/2 Рис. 6 Парабола может быть симметрична и относительно оси ОУ, в этом случае фокус ее будет лежать на оси ординат, а директриса будет параллельна оси ОХ. Как видно при этом условии координатной оси меняются ролями и уравнение параболы принимает вид если парабола обращена вершиной вниз, и y y р/2 F p/2 -р р p x -p x -р/2 -р/2 рис. 7. Пример 1. Составить уравнение параболы, зная, что она симметрична оси ОУ, проходит через начало координат и через точку М(6,-2). Решение. Очевидно это уравнение имеет вид х2=2ру. Поскольку она проходит через точку М(6,-2), имеем 62=2р(-2). Отсюда мы имеем р=-9, т.е. требуемым уравнением будет х2=-18у. Пример 2. Дана парабола Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы. Решение. Данная парабола симметрична относительно оси ОУ и расположена в нижней полуплоскости Из данного уравнения находим Расстояние фокуса от начала координат равно поэтому его ордината а сам фокус находится в точке Директрисой служит прямая, параллельная оси ОХ и отстоящая от последней на расстояние Следовательно, уравнением директрисы нашей параболы будет

Похожие:

	«кривые второго порядка» Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0 описывают конические сечения или кривые второго...		Кривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
	Кривые второго порядка Кривая второго порядка Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида		Кривые третьего и четвертого порядка ...
	Тема 5 кривые на плоскости Кривые на плоскости как геометрический образ алгебраического уравнения второго порядка		Кривые второго порядка Две линии – прямая и окружность. Но с течением времени математики стали изучать и использовать в своих исследованиях более сложные...
	Учебные элементы Содержание Учебные действия Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем...		«Кривые второго порядка» Установить, что уравнение определяет эллипс и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис
	Поверхности второго порядка ...		Тема теория потребительского поведения. Ординалистская теория полезности и кривые безразличия Ординалистская теория полезности. Исходные аксиомы анализа. Кривые безразличия и их свойства Предельная норма замещения