Лекция Сложение коллинеарных колебаний



Скачать 75.12 Kb.
Дата04.12.2012
Размер75.12 Kb.
ТипЛекция

ЛЕКЦИЯ N4

cЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ


Лекция 4.


С
ложение коллинеарных колебаний
(т.е. однонаправленных) можно проиллюстрировать демонстрацией поведения двух маятников, связанных пружиной (рис. 4.1), или картинкой на экране осциллографа, на вход Y которого подаются гармонические колебания одновременно с двух генераторов. Рассмотрим случай, когда складываются колебания одинаковых частот w1 = w2 = w с амплитудами А1 и А2­. Это все равно, что две струны, настроенные в унисон. Известно, что в этом случае результатом будет усиленный звук некоторой амплитуды А той же частоты. Новая амплитуда А и новая начальная фаза a могут быть определены из следующего равенства:

A1cos(wt+a1)+ A2cos(wt+a2) = Acos(wt+a) Þ

A1cos wt cos a1 - A1sin wt sin a1 + A2cos wt cos a2 - A2sin wt sin a2 =

= A cos wt cos a - A sin wt sin a Þ M cos wt + N sin wt = 0, что возможно, если только одновременно . Получим уравнения

(4.1)

(4.2)

Возводя каждое из них в квадрат и складывая, получим



. (4.3)

Поделив (4.3) на (4.4), получим для новой начальной фазы

. (4.
4)

Для двух коллинеарных колебаний x1 = A1cos(w1t+a1) и
х2 = A2cos(w1t+a1) с различными частотами, получим

х1 + х2 º A1cos(w1t+a1) + A1cos(w2t+a2) + (A2-A1)cos(w2t+a2) .

(В правой части этого тождества мы просто прибавили и затем вычли член A1cos(w2t+a2), которого не было в левой части.) Применяя известное соотношение

, (4.4а)

получим



Если амплитуды складываемых колебаний равны, то последнее слагаемое равно нулю. Рассмотрим вначале именно этот случай. Наиболее важна ситуация, когда . Тогда w = , а полуразность является очень малой частотой (<A(t), однако, медленно изменяется. График такого колебания показан на рис. 4.2, а сам процесс называется биениями. Их можно получить, если одновременно заставить звучать два камертона, прикрепив к ножке одного из них кусочек пластилина, тем самым немного меняя его частоту. При этом будет наблюдаться модуляция громкости ("то громче, то тише"). Такой же результат дает плохо настроенное пианино, если три струны, по которым ударяет молоточек, не настроены в унисон. Биения можно увидеть и на осциллографе, слегка меняя частоту одного из генераторов, подключенных ко входу Y. Частота модуляции определяется малой частотой , однако, как видно из рис. 4.2, период биений t определяется не полным периодом модулирующего синуса, а половиной этой величины: t Здесь W = w1 - w2 - частота биений. Если складываемые колебания имеют разные амплитуды (A1 ¹ A2), то последнее слагаемое в (4.5) отлично от нуля. Оно представляет собой обычное гармоническое колебание. Поэтому биения будут в этом случае иметь вид, как на рис. 4.3.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний в отличие от предыдущего случая вызывает двумерное движение колеблющейся точки по разнообразным траекториям. Добиться механического сложения колебаний можно, если при помощи некоторого устройства заставить точку подвеса маятника колебаться как вдоль оси Х, так и вдоль оси Y. Для сложения электрических колебаний можно взять два генератора гармонических колебаний, подключить сигнал с одного генератора на вход Х осциллографа, а другого - на вход Y (выключив при этом развертку). Пусть складываемые колебания имеют вид x(t) = A1 cos(wt + a1) и y(t) = A2 cos(wt + a2).

Обозначим wt + a1= j, тогда = cos j; =cos[j+(a2-a1)] = cos jcos(a2-a1)-sinj sin(a2-a1).

Так как то получим

. Перенося член с cos в левую часть, возводя в квадрат и преобразовывая, получим

(4.6)

- уравнение эллипса (рис. 4.4), вписанного в прямоугольник, ограниченный амплитудами A1 и А2 колебаний (по X и Y соответственно).

Если (a2-a1) = 0, то (4.6) даст y = (A2/A1)x - прямая 1-2, а если (a2-a1) = ± p, то y = - (A2/A1)x - прямая 3-4. Таким образом, точка будет колебаться в пределах прямой, проходящей через начало координат, с результирующей амплитудой .

Е
сли (a2-a1) = ± p/2, то (4.6) сводится К уравнению - эллипс, симметрично ориентированный относительно координатных осей. Возвращаясь к исходным соотношениям для x(t) и y(t), можно показать, что при (a2-a1) = + p/2 точка движется вдоль эллипса по часовой стрелке, а при (a2-a1)= -p/2 против. При A1 = A2 эллипс станет окружностью. Определить, что такое в этом случае амплитуда, затруднительно, поскольку точка движется уже не вдоль прямой, а по плоскости XY.

Когда складываемые ортогональные колебания имеют разные частоты, траектории будут иметь более сложный вид. Пусть x(t) = A1 cos wt , y(t) = A1 cos 2 wt. Рассматривая уравнения как систему и исключая wt, получим параболу , изображенную на рис. 4.5. При t = 0 получим x(0) = A1, y(0) = A2, и движение по параболе начинается из правой верхней точки. При разности фаз p/2 получится "восьмерка". Фигуры при различных соотношениях частот и разностях фаз сведены в таблицу. Они называются "фигурами Лиссажý".

Метод фигур Лиссажу является одним из наиболее точных при определении разности фаз складываемых электрических сигналов.

Т
аблица (Фигуры Лиссажу)




Похожие:

Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconМеханические колебания
Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconЛабораторная работа № : «Исследование методов сложения колебаний»
Различают сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой и взаимно перпендикулярных колебаний
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconЛабораторная работа №10 сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Векторкардиография
Ознакомиться с принципами сложения взаимно перпендикулярных колебаний и с получаемыми результатами
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconЛекция 9 Интерференция
...
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconЛекция №27 механические колебания план Колебания. Характеристики гармонических колебаний
Свободные (собственные) колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осциллятор
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconСложение колебаний
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconМеханические колебания и волны
Уравнение гармонических колебаний: x=ASin(t+), где х-смещение колеблющейся; точки от положения равновесия. А-амплитуда, (t+)-фаза...
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconКолебания и волны
Колебания периодические и непериодические. Гармонические колебания. Кинематическая формула гармонических колебаний. Амплитуда, частота,...
Лекция Сложение коллинеарных колебаний iconУрок по теме: "Динамика свободных колебаний"
...
Лекция Сложение коллинеарных колебаний icon4 Механические и электромагнитные колебания и волны 2 Сложение гармонических колебаний
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет минимальную амплитуду...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org