Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций



Скачать 399.06 Kb.
страница1/6
Дата04.12.2012
Размер399.06 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6

Раздел II. Математический анализ


Раздел II. Математический анализ
И.Н. Боровков
R-АППРОКИСМАЦИЯ МНОЖЕСТВ

В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
При изучении различных вариантов проблемы Хоффмана-Йоргенсена ([3]) одним из важнейших технических инструментов в доказательствах является R-аппроксимация множество ([1]). Цель настоящей работы изучить основные свойства R-аппроксимации в пространстве непрерывных функций, найти множества, в которых можно выбирать центры аппроксимирующих шаров ([2]) и, в связи с этим, показать, что достаточным множеством является гиперплоскость.

Пусть Х = С(К) – пространство непрерывных на К функций, где К – метрический компакт без изолированных точек. Прежде чем изложить основные результаты, связанные с вопросами ап-проксимации шаров, приведем конструкцию аппроксимации в С(К) малых шаров шарами единичного радиуса. Это вызвано тем, что доказательства большинства результатов по аппроксимации шаров в С(К) будут связаны с применением различных модификаций этой конструкции.

Согласно замечанию, сделанному после определения 2.1.1. ([1]), достаточно проверить наличие свойства аппроксимации малых шаров с центрами в нуле. Итак, пусть В(0,r) – некоторый шар в вещественном пространстве С(К), r < 1. Покажем, как выбрать такую последовательность , что

. (1)

Для всякого натурального n в компакте К выберем две непересекающиеся -сети и (это возможно, так как в К нет изолированных точек). Пользуясь теоремой Урысона, легко показать, что существует непрерывная на К функция хn, для которой выполнены условия

;

;

для всех .

Тогда для последовательности выполняется равенство (1).

Замечание. Следует отметить, что пространство С(К) обладает свойством аппроксимации шаров шарами с неограниченно возрастающими радиусами. Действительно, пусть gif" name="object11" align=absmiddle width=36 height=18>. Для выберем непрерывную на К функцию , для которой выполняются условия:

;

;

для всех .

где – неограниченная монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, а и взяты из предыдущей конструкции. Покажем, что

(2)

Очевидно, что



для любого .

Пусть . Предположим, что для некоторого . Тогда



для некоторого . Следовательно, при имеем:



(здесь – соответствующий элемент -сети, для которого выполняется неравенство ). Таким образом, для почти всех п имеем:

.

Равенство (2) доказано.

Далее отметим, что центры шаров аппроксимирующей последовательности могут находиться на достаточно малом расстоянии от центра аппроксимируемого шара, а именно: справедливо следующее

Предложение 1. Для любых и существует последовательность , , такая, что

1) для любого ;

2) .

Доказательство. Для всякого выберем функцию , удовлетворяющую условиям:

;

;

для всех ,

где и взяты из конструкции (К.3.1.) [1]. Тогда, полагая что , получим:

,

причем для любого . Предложение доказано.

Перейдем к рассмотрению вопроса (р2) [1]. Как показано в [2], внешность нормального конуса достаточно для аппроксимации шаров в любом R-пространстве, т.е. любой шар можно аппроксимировать шарами, центры которых принадлежат внешности нормального конуса. Однако это утверждение не нарушится, если такой конус заменить в пространстве С(К) на некоторый конус, который не является нормальным.

Пусть А – множество функций пространства С(К), сохраняющий знак на К. Очевидно, А – конус, но не нормальный (так как если , то и ).

Предложение 2. Для любых и существует последовательность , , такая, что

1) для любого ;

2) .

Доказательство. Пусть , и предположим, что для любого . Так как х – непрерывная функция, то существует такая точка , что

(3)

В компакте К для любого натурального п выберем два непересекающиеся -сети – и , причем так, что бы для любого . Выберем теперь такое положительное число и непрерывную на К функцию , для которых выполнены условия

(4)

и

;

;

для всех .

Покажем, что

. (5)

Действительно, согласно (а1) – (а3) для любого . Если , то для некоторого положительного . Тогда

,

т.е. для любого . В определении предела последовательности множеств достаточно проверить для шара выполнение второго условия: для любого найдется номер такой, что при всех

.

Предположим, что последнее утверждение неверно. Тогда для некоторого , , найдутся сколь угодно большие номера п, при которых

. (6)

Поскольку , то возможны два случая:

1) для некоторого ;

2) для некоторого .

Покажем, например, невозможность первого случая. В силу непрерывности , для некоторого

. (7)

Но тогда для



(здесь – соответствующий элемент -сети, для которого выполнено неравенство ). Это противоречит (6). Равенство (5) доказано.

Обозначим . Тогда последовательность шаров – искомая. В самом деле, то, что эта последовательность является аппроксимирующей для , следует из доказанного равенства (5) и свойства (с6) предела последовательности множеств [2]. Кроме того, для любого (это следует из условия (4) и выбора функции ). Предложение доказано.

Пусть теперь . Прежде чем изложить результат по аппроксимации шаров в пространстве рассмотрим один пример, показывающий, что внутренность нормального конуса не достаточна для аппроксимации шаров.

Пример 1. Пусть К – положительный конус в пространстве , , . Тогда для любой последовательности , аппроксимирующей , имеем: , начиная с некоторого номера. В самом деле, обозначим (), где . Если предположить, что

(8)

и для некоторой последовательности K для любого , то получим:

,

начиная с некоторого номера. Это противоречит (8), так как .
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций icon64. Суперпозиция непрерывных функций
Суперпозиция непрерывных функций. Обширные классы непрерывных функции могут быть построены с помощью суперпозиции функций, непрерывность...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconМатематический анализ
Бесконечно малые и бесконечно большие величины, эквивалентные величины. Непрерывность функции в точке, непрерывность элементарных...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconПрограмма вступительного экзамена по специальности вещественный, комплексный и функциональный анализ
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математический анализ, теория функций комплексного переменного, функциональный...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconУчебная программа Дисциплины б2 «Математический анализ ii» по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Дисциплины «Математический анализ ii» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями функций...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconУчебно-методический комплекс дисциплины математический анализ (наименование дисциплины)
Свойства дифференцируемых функций. Множества точек и последовательности в n-мерном пространстве. Функции нескольких переменных. Экстремумы...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconМатематический анализ
Множества. Декартово произведение двух множеств. Отображения функции, обратная функция. Эквивалентность множеств. Счетность множества...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconУчебная программа Дисциплины б1 «Математический анализ» по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»
Дисциплины «Математический анализ» направлено на обучение студентов основам дифференциального и интегрального исчисления функций...
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций icon1. Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Рассмотрим ф-ю y=f(x): {x} RR, т a: в  U(a) имеются точки {x}, отличные от a
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций icon1. Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Рассмотрим ф-ю y=f(x): {x} RR, т a: в  U(a) имеются точки {x}, отличные от a
Ii. Математический анализ И. Н. Боровков r-аппрокисмация множеств в пространстве непрерывных функций iconРабочая программа дисциплины математический анализ математический цикл, базовая часть Направление подготовки
Дисциплина «Математический анализ» представляет собой одну из дисциплин базовой части математического и естественнонаучного цикла...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org