Расстояние между точками a и b будем обозначать через 



Скачать 157.74 Kb.
страница1/3
Дата16.10.2012
Размер157.74 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Введение

Расстояние между точками A и B будем обозначать через AB. Движением плоскости R2 называется такое преобразование f:R2R2, что для любых A,BR2 выполняется равенство AB = f(A)f(B). Множество всех движений R2 обозначим через D2.

Для любого положительного  будем называть -окрестностью произвольной точки AR2 множество O(A) = {XR2: AX < }. Точка A называется внутренней точкой фигуры , если существует хотя бы одна -окрестность точки A, которая содержится в этом множестве. Множество всех внутренних точек фигуры  обозначается через Int  .

Точка A называется граничной точкой фигуры , если для любой ее -окрестности выполняется одновременно O(A)   и O(A)(\)   (где  - плоскость, содержащая ). Множество всех граничных точек фигуры  обозначается через Bound  .

Многоугольной фигурой (далее, просто - многоугольником) будем называть конечное объединение треугольников1. Договоримся семейство многоугольников {M1,..., Mn} называть разбиением многоугольника P, если P = i = 1i = nMi и, кроме того, различные элементы этого семейства не имеют общих внутренних точек (т. е. Int  MiInt  Mj =  при ij). Как обычно, многоугольники P и P называются равными (или конгруэнтными) если существует такое fD2, что f(P) = P (обозначение: PP). Площадь многоугольника P обозначается через SP.

Все введенные выше понятия без труда переносятся на случай пространства.
Примечание:

1О том, как связаны между собой классическое понятие многоугольника с данным выше определением можно прочесть в [3].

Равносоставленность и равнодополняемость многоугольников


Многоугольники P и P называются равносоставленными, если они допускают разбиения на равные многоугольники (т.е. существуют такие разбиения
{M1,..., Mn} и {M1,..., Mn} многоугольников P и P соответственно, что MiMi при всех in).
Очевидно, что равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь. Верно ли обратное утверждение? Прежде чем ответить на этот вопрос, докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Если многоугольник P1 равносоставлен с многоугольником P2 и многоугольник P2, в свою очередь, равносоставлен с P3, то P1 и P3 равносоставлены.

Доказательство. Зафиксируем разбиение M  = {M1,...,Mn} многоугольника P1, разбиения M = {M1,..., Mn} и N = {N1,..., Nm} многоугольника P2 и, наконец, N  = {N1,..., Nm} - разбиение P3 такие, что выполняются равенства MiMi и NjNj при всех in и jm. Поэтому для всех in и jm найдутся такие fi,gjD2, что
fi(Mi) = Mi и gj(Nj) = Nj. При всех in и jm рассмотрим Kij = Bound  (Int  (MiNj)). Каждое из этих множеств является многоугольной фигурой. Очевидно, что семейство K = {Kijinjm} является разбиением многоугольника P2. Пусть теперь Kij = fi(Kij) и Kij = gj(Kij) для всех in и jm. Тогда разбиения {Kijinjm} и {Kijinjm} указывают на равносоставленность P1 и P3 (так как
KijKij при всех in и jm). Лемма доказана.
Лемма 2. Любой треугольник ABC равносотавлен с некоторым прямоугольником.

Доказательство. Пусть [AB] - большая сторона треугольника ABC. Тогда основание высоты [CH] принадлежит отрезку [AB]. Через точку M - середину высоты [CH] - проведем прямую a, параллельную (AB). Обозначим через P, L, E и F точки пересечения прямой a со сторонами [AC] и [BC], а также проекции точек A и B на прямую a соответственно.

Теперь равносоставленность ABC и прямоугольника AEFB следует из условий AEP  CMP, BFL  CML. Лемма доказана.
Лемма 3. Если параллелограммы ABCD и KLMN имеют общее основание и одинаковую площадь, то они равносоставлены.

Доказательство. Будем считать, что отрезки [AB] и [KL] совпадают, и точки M и N лежат на прямой (CD). Рассмотрим отдельно два случая взаимного расположения отрезков [CD] и [MN].

Первый случай. Пусть отрезки [CD] и [MN] пересекаются. Не ограничивая общности, предположим, что точка C лежит на отрезке [MN].

Тогда равносоставленность ABCD и ABMN следует из условия DAN  CBM.

Второй случай. Если отрезки [CD] и [MN] не пересекаются, то отложим последовательно точки C1 = C,...,Cn так, что [CiCi+1] = [CD] при in1 и отрезок [Cn1Cn] пересекает [MN].

Теперь к цепочке параллелограммов ABCD, ABC1C2,..., ABCn1Cn, ABMN достаточно применить первый случай и лемму 1. Лемма доказана.
Лемма 4. Если прямоугольники ABCD и KLMN имеют одинаковую площадь, то они равносоставлены.

Доказательство. Не ограничивая общности рассуждения, будем считать, что отрезок [AB] - наибольшая из сторон данных прямоугольников. Тогда на луче [ML) найдутся такие точки P и S, что S  [PM], [PS] = [KN] и [SN] = [AB]. Четырехугольники ABCD и KNSP, а также KNSP и KLMN равносоставлены по предыдущей лемме. Тогда из леммы 1 следует, что ABCD и KLMN равносоставлены. Лемма доказана.
Лемма 5. Любой многоугольник M равносоставлен с некоторым прямоугольником.

Доказательство. Пусть {Tiin} - разбиение M на треугольники. Зафиксируем некоторый нетривиальный отрезок [A1B1] (т.е. A1B1) . Через точки A1 и B1 перпендикулярно прямой (A1B1) проведем две прямые. На этих прямых выберем сонаправленные лучи [A1X) и [B1Y). На луче [A1X) выберем последовательно точки A2,...,An+1, а на луче [B1Y) - точки B2,...,Bn+1 так, что площадь прямоугольника AiAi+1Bi+1Bi равна площади треугольника Ti при in. Из лемм 2 и 4 следует, что Ti и AiAi+1Bi+1Bi равносоставлены. Значит, M и A1An+1Bn+1B1 равносоставлены. Лемма доказана.
Теорема 1. [Бойяи-Гервин] Многоугольники M и N равносоставлены тогда и только тогда, когда они равновелики.

Доказательство. Равносоставленные многоугольники, очевидно, имеют равные площади. Докажем обратное утверждение.

Пусть SM = SN. По лемме 5 для M и N найдутся такие прямоугольники ABCD и A1B1C1D1, что M и ABCD, а также N и A1B1C1D1 равносоставлены. Из равенств SABCD = SM = SN = SA1B1C1D1 и леммы 4 следует равносоставленность ABCD и A1B1C1D1. Теперь равносоставленность M и N следует из леммы 1. Теорема доказана.
Близким к понятию равносоставленности является равнодополняемость многоугольников. При этом многоугольники M и N будем называть равнодополняемыми, если найдутся такие два семейства многоугольников {M1,...,Mn} и {N1,...,Nn}, что выполняются следующие свойства:

  1.  = Int  MInt  Mi = Int  MiInt  Mj при всех i,jn и ij,

  2.  = Int  NInt  Ni = Int  NiInt  Nj при всех i,jn и ij,

  3. MiNi при всех in,











  4. M(i = 1i = nMi)



    







    N(i = 1i = nNi)








    .


Например, параллелограмм ABCD и прямоугольник EFGH на рисунке равнодополняемы.


Отсюда следует равенство площадей этих четырехугольников.
Теорема 2. Многоугольники M и N равнодополняемы тогда и только тогда, когда они равновелики.

Доказательство. Равновеликость двух равнодополняемых многоугольников очевидна. Пусть теперь SM = SN. Существуют два равных по площади квадрата K1 и K2, которые содержат M и N соответственно. Тогда для многоугольников M = Bound  (K1\M) и N = Bound  (K2\N) выполнено равенство SM = SN. Из теоремы Бойяи-Гервина получаем равносоставленность M и N. Таким образом, найдутся такие разбиения {M1,...,Mn} и {N1,...,Nn} многоугольников M и N, что MiNiдля всех in. Существование этих разбиений доказывает равнодополняемость M и N. Теорема доказана.
Прежде чем сформулировать задачи этого раздела, напомним некоторые определения и обозначения. Группой (G,*) называется такое множество G с операцией *:GGG, что выполнены свойства:

  1. (a*b)*c = a*(b*c) для всех a,b,c,  G;

  2. существует такой элемент eG, что a*e = e*a = a для всех aG;

  3. для каждого aG найдется такой элемент bG, что a*b = b*a = e.

Примерами групп являются (D2,), (T2,), (S2,), где  - операция взятия композиции движений, T2 - множество всех параллельных переносов плоскости, S2 - множество, содержащее все параллельные переносы и центральные симметрии плоскости. Пусть (G2,) - произвольная группа, состоящая из некоторых движений плоскости (т.е. G2D2). Многоугольники M и N будем называть G2-равносоставленными, если существуют такие разбиения {M1,...,Mn} и {N1,...,Nn} этих многоугольников, что для каждого in найдется такое fiG2, что многоугольник Ni = fi(Mi). Таким образом, введенная ранее равносоставленность является D2-равносоставленностью.
Задача 1. Многоугольники M и N равновелики тогда и только тогда, когда они S2-равносоставлены.
Другими словами, для M и N можно так подобрать разбиения {M1, ..., Mn} и {N1,...,Nn}, что соответствующие стороны многоугольников Mi и Ni будут параллельны между собой.
  1   2   3

Похожие:

Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconОпределение и примеры метрических пространств
Будем обозначать расстояние между двумя точками М1 и М2 символом. Напомним, что расстояние между двумя точками М1(х1,y1) и М2(х2,y2)...
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconИсследование эту функцию на непрерывность в точке (0,0)
Точки в пространстве будем обозначать векторами д-окрестность точки будем обозначать множество
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconПроективная Геометрия
Рассмотрим трёхмерное пространство. Зафиксируем в нём какую-нибудь систему координат. Будем называть точками проективной плоскости...
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconГруппы преобразований
Пусть X множество всех точек прямой, плоскости или трехмерного пространства. Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками p и...
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconКонтрольная работа №2 «Параллельность в пространстве»
На отрезках ad и bc выбраны соответственно точки m и p так, что am : md = cp : pb = 1 : Найдите угол между прямыми ac и db, если...
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconИнтеграл пуассона
Пусть ¦ ( X ), g ( X ), X î r 1 –суммируемые на [ p, p ], 2 p периодические, комплекснозначные функции. Через f g(X) будем обозначать...
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconПорождающие тройки инволюций группы gln(Z)
Через tij(k), k ∈ Z, i≠j, будем обозначать трансвекции, т е матрицы En + keij, где En – единичная
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconCумма внутренних углов выпуклого семиугольника равна
Из двух городов, расстояние между которыми 135 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из...
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconРешение. Сделаем чертеж. Найдем длину стороны ав. Расстояние между двумя точками определяется по формуле
Найдем угол а в радианах. Это угол между двумя векторами и. Запишем координаты векторов. Косинус угла между векторами равен
Расстояние между точками a и b будем обозначать через  iconСоставители
Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя точками которого остается все время неизменным
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org