Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы



Скачать 171.29 Kb.
страница1/2
Дата16.10.2012
Размер171.29 Kb.
ТипРешение
  1   2


|| Региональная открытая научно-практическая конференция школьников Сибирского федерального округа «Эврика»

Секция математики


Тема: Теоремы Менелая и Чевы в решении задач
Кунгурцев Иван

МОУ СОШ №1, 10 класс, Искитимский район,

р.п. Линёво

Научный руководитель:

Лукьянова Екатерина Павловна

Учитель математики высшей квалификационной категории

Контактный телефон 8 (243) 4-19-38

р.п. Линёво, 2006
План



  1. Введение…………………………………………………….2

  2. Теорема Менелая ………………………………………… 3-4

  3. Решение задач с помощью теоремы Менелая ………….5-10

  4. Теорема Чевы …………………………………………....10-12

  5. Решение задач с помощью теоремы Чевы ……………..12-15

  6. Вывод……………………………………………………......16

  7. Литература ………………………………………………….17


Введение.

Из школьных предметов мне больше всего нравится математика. Я с интересом посещаю факультатив, участвую в олимпиадах (в 2005 году занял 2 место по району). Решил принять участие в научно- практической конференции.

С теоремой Чевы сталкивался лишь однажды, когда учитель с помощью этой теоремы доказал, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Меня заинтересовала эта теорема и задачи, которые решаются с её использованием. Когда я начал изучать литературу, то оказалось, что эта теорема связана с теоремой Менелая. Так определилась тема моей исследовательской работы.

Цель моей работы – установление справедливости утверждений обеих теорем, а также справедливости обратных утверждений. Эти теоремы не входят в школьный курс геометрии, потому что применяются при решении сложных задач. Между тем сами теоремы просты и интересны. В своей работе я показал решение посильных мне задач.
Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.

Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство

Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A1BC1 и

треугольник A1CD.

Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные)

Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)

Следовательно, треугольник A1BC1 подобен треугольнику A1CD.
Стороны подобных треугольников пропорциональны

Рассмотрим треугольник B1 AC1 и треугольник B1 CD

Угол DB1C = углу AB1C1 (Вертикальные)

Угол D = углу C1 (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)

Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно,

У нас получилось два равенства и

Перемножим почленно эти равенства: . Получим



Воспользуемся свойством дробей:

(Например )

Имеем . Теорема доказана.

Доказательство остаётся в силе

и в том случае, когда все три

точки A1, B1, C1 лежат на

продолжениях сторон

треугольника ABC


Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые коллинеарные векторы. Если, то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:



Докажем обратную теорему.

Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство , то эти точки лежат на одной прямой.

Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме, . Сравнивая это соотношение с данным, получим, что .

Прибавим к обеим частям равенства 1. , получим: т.е. , откуда, т.е. C1 и C2 совпадут.
Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.
Задача №1


Дано: ABC;

CMBN = K, MAB, N AC

Найти:





Решение

Рассмотрим ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: . т.к. , , тогда , то , следовательно,

Ответ: =
Задача №2


Дано: ABC; ;

A1 BC; B1 AC;

C1 AB. SABC = S,

PKN ограничен прямыми: AA1, BB1, CC1.

Найти: SPKN




Решение

1 способ

Рассмотрим ACC1 и секущую BB1 (точки пересечения B1, K, B). Применим теорему Менелая .

; из этого следует =3. Подставим в равенство

, отсюда,
Рассмотрим ABA1 и секущую CC1 (Точки пересечения C1, N, C) По теореме Менелая:

; , отсюда, , подставим в равенство, , отсюда,
Рассмотрим BB1C и секущую AA1 (точки пересечения A, P, A1) По теореме Менелая:

; , отсюда, . Подставим в равенство , отсюда,
Далее будем использовать свойство площадей частей треугольника

, где D AC

Действительно,
Обратимся к рисунку к задаче
В C1BC , следовательно, S3+S4=6S2

В AA1C , следовательно, S5 +S6 =6S4

В ABB1 , следовательно, S2+S7=6S6.

т.к. BA1 = 2 A1C, следовательно, SABA1 = 2SAA1C, следовательно, S1+S2+S3+S7=2S6+2S5+2S4 (1)

т.к. AC1 = 2BC1, следовательно, SACC1 = 2SBCC1, следовательно, S1+S5+S6+S7=2S2+2S3+2S4 (2)

т.к. SB1BC = 2SABB1 (B1C = 2 B1A)

S1+S3+S4+S5=2S2+2S6+2S7 (3)

Сложим равенства (1), (2), (3) почленно:

3S1+S2+2S3+S4+2S5+S6+2S7=4S2+4S4+2S3+2S5+4S6+2S7.

После упрощения получим:

3S1=3S2+3S4+3S6; S1=S2+S4+S6

Из доказанного, что S3+S4=6S2 следует, что , так же и , подставим,

S1= + + т.е. S1=(S2+S3+S4+S5+S6+S7)=, следовательно, S=7S1, где S=SABC; S1=SPKN.

Ответ: S=7S1

2 способ

По теореме Менелая:, следовательно, .

Значит, SC1KB = SC1BC

Аналогично SAB1P=SAB1B, SA1NC=SACA1

По условию A1C=CB, следовательно, SACA1=SABC, следовательно, SA1NC=SABC
AB1=AC, следовательно, SABB1=SABC, следовательно, SAPB1=SABC

C1B=AB, следовательно, SC1BC=SABC, следовательно, SC1BK=SABC

SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.

S=S+S-S+S+SKPN

S=S+ SKPN, откуда SKPN=(1-)S= S; SKPN=S

Ответ: SKPN=S
Задача №3


Дано: ABC; C1AB;

AB=BC1; A1BC; BC=CA1; B1AC; AC=AB1

Найти: а)

Б) , где K=ABA1B1




Решение

А) Используем свойство площадей треугольников:



(в случае, если BD –медиана, то SABD= SCBD)
Проведём медианы в B1AC1, в B1A1C и в BC1A1.

Обозначим площади частей A1B1C1 буквами S1;S2;S3;S4;S5;S6;S7

По свойству, приведённому выше:

S1=S2 (AB – медиана B1BC)

S6=S7 (A1A – медиана B1A1C) , следовательно, S1=S7

S6=S1 (AC – медиана ABA1)

S2=S3 (B1B – медиана AB1C1), следовательно, S1=S3

S1=S4 (CB – медианаACC1)

S4=S5 (C1C – медиана BC1A1), следовательно, S1=S5

SA1B1C1 = S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7 = 7SABC, где SABC=S1

Значит, =

Б) точки A, B, K – лежат на одной прямой, пересекающей стороны A1B1C По теореме Менелая: , т.к. B1A=AC; т.к. BC=CA1, следовательно, т.е.

Ответ: = ,
Задача №4


Дано: четырёхугольник ABCD; P BD; N – середина CD; M – середина AB; PNBC=E; PMAD=F
Доказать:





Решение

Используем теорему Менелая для BCD и секущей EP.

; CN=ND; следовательно, .

, следовательно, .

Рассмотрим ABD и секущую MP. По теореме Менелая: ; BM=MA, следовательно, , тогда, , следовательно, .

Из двух равенств: и , следует что, . Что и требовалось доказать.

Задача №5





Дано: ABCD – четырёхугольник. M – середина AD; N – середина BC. MP=PK=KN

Доказать: ABCD – трапеция;

DC=2AB


Решение

Используем теорему Менелая поочерёдно к треугольникам:

AKM и секущая DO (точки пересечения O, P, D) ; , следовательно, AO=2OK.

BPN и секущая OC (точки пересечения O, K, C) ; , следовательно, BO=2OP.

AOD и секущая AK (точки пересечения M, P, K) ; , следовательно, DP=3PO

BOC и секущая PN (точки пересечения P, K, N) ; , следовательно, CK=3OK.

Значит, DO=4PO; BO=2PO, т.е.

CO=4OK; AO=2OK, т.е. . В AOB и COD ,

AOB = DOC – вертикальные, следовательно, AOB подобенCOD, следовательно BAO=DCO (накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, AB || DC. Значит, ABCD – трапеция.

Из равенств и видно, что стороны подобных треугольников AOB и COD относятся как , значит или DC=2AB. Что и требовалось доказать.
Теоремой Менелая так же можно воспользоваться для доказательства теоремы Чевы
  1   2

Похожие:

Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconПрименение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы icon«Использование теоремы Чевы в школьном курсе геометрии»
Подготовительная работа, которую необходимо провести перед доказательством теоремы Чевы
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconПрименение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач

Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы icon«Теорема Пифагора»
Применение теоремы Пифагора для решения нестандартных задач; демонстрация разнообразия доказательств теоремы
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconУрок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов
На уроке рассматриваются различные доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов, их применение при решении задач
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconТеорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема
Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему де­дукции, можно, очевидно, получить новые следствия
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconМодели принятия решений
Основная теорема двойственности. Следствие из основной теоремы двойственности о связи оптимальных решений прямой и двойственной задач...
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconТеорема Виета и теорема, обратная к ней
...
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н
Симплексы и триангуляция множеств. Нумерации и лемма Шпернера. Теорема Брауера. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах....
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconУрок геометрии в 8 классе по теме: Содержание: Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач
Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org