Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы



Скачать 171.29 Kb.
страница2/2
Дата16.10.2012
Размер171.29 Kb.
ТипРешение
1   2

Теорема Чевы

Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда





Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне ABC (рисунок б).

Применим теорему Менелая к BCC1 и секущей AA1, получим:

Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим:

Перемножим почленно эти равенства





Что и требовалось доказать.
Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.
Для решения задач чаще применяется обратная теорема.

Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Если выполняются равенство , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство. Пусть AA1BB1=O. Проведём прямую CO, С2=COgif" name="object202" align=bottom width=17 height=18>AB.

По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда =k, =k. Вычтем второе равенство из первого. По свойству векторов получим =k=

= - k.

Т.к. k -1 (иначе бы, но точки A и B не совпадают), следовательно, , т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.

Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.
Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы.
Задача №1



Дано: Треугольник ABC.


Доказать: медианы треугольника пересекаются в одной точке.





Доказательство

Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC.

Проверим равенство: , 1*1*1=1 (верно).

Утверждение доказано согласно теореме Чевы.
Задача №2

Дано: треугольник ABC

Доказать: биссектрисы ABC пересекаются в одной точке



Доказательство

Пусть BE, CM, AK – биссектрисы ABC.

Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

Значит, . Найдём произведение , по теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.
Задача №3


Дано: ABC, CM – медиана,

PCM, APBC=A1, BPAC=B1


Доказать: A1B1 || AB



Решение

Прямые AA1, BB1 и CM пересекаются в одной точке P. По теореме Чевы: , , поэтому =>

CB1A1 подобен CAB (; C – общий)

Значит, CB1A1 = CAB – соответственные при прямых B1A1 и AB и секущей AC, поэтому A1B1 || AB. Что и требовалось доказать.
Задача №4


Дано: В ABC вписана полуокружность. Диаметр лежит на стороне BC, C1; B1 – точки касания сторон AB, AC и полуокружности. BB1CC1=P, AA1BC.
Доказать: PAA1


Решение

Пусть r – радиус окружности.

Из прямоугольных треугольников OBC1 и OCB1 находим CB1=r*ctg C, C1B=r*ctg B.

Из прямоугольных треугольников ABA1 и ACA1 имеем BA1=AA1*ctg B; A1C=AA1*ctg C; AB1=AC1 – как отрезки касательных, проведённых из одной точки.

Найдём произведение:

= =

Согласно теореме Чевы прямые AA­1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, т.е. PAA1. Что и требовалось доказать.
Задача №5


Дано: ABC, PABC, APBC=D, BPAC=M, CPAB=N;




Доказать:







Решение

Пусть SCDM=S1, SBDN=S2, SANM =S3, SABC=S.

Знаем, что площади двух треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Имеем

По условию , следовательно ; , следовательно, , отсюда,

Аналогично, ;

Найдём SDMN = S- (S1+S2+S3)

SDMN = S-(++)=

=S-==

== =

В треугольнике ABCотрезки AD, BM, CN пересекаются в одной точке. По теореме Чевы

Значит, Что и требовалось доказать.
Задача №6

Доказать. Что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.





Дано: ABC. Окружность (O;r) – вписана в ABC.

OM=ON=OP=r

Доказать: AN; BP, CM пересекаются в одной точке.


Решение

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки AM=AP=a; BM=BN=b; CN=CP=c.

Найдём произведение отношений:



По теореме Чевы AN BP CM=O1

Вывод
Замечательные теоремы Менелая и Чевы, сложные на первый взгляд, оказались просты и интересны. Они находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Многие задачи трудные, но длительная и напряжённая работа над одной такой задачей для меня интереснее и полезнее десяти стандартных задач.

Теоремы о пересечении медиан, биссектрис треугольника с помощью теоремы Чевы доказываются элементарно.

В результате проделанной работы я глубже стал понимать задачи, мне интересно их исследовать и решать. Я удовлетворён тем, что изучил новые для себя теоремы и способы их использования.

Литература

  1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 кл. М. Просвещение, 1991.

  2. Готман Э.Г. Теоремы Менелая и Чевы. – «Математика в школе», 1995, №6.

  3. Орач Б.Г. Теорема Менелая. – «Квант», 1991, №1.

  4. Шарыгин И.Ф. Геометрия 9-11 кл. М.:Дрофа, 1996.

1   2

Похожие:

Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconПрименение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы icon«Использование теоремы Чевы в школьном курсе геометрии»
Подготовительная работа, которую необходимо провести перед доказательством теоремы Чевы
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconПрименение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач

Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы icon«Теорема Пифагора»
Применение теоремы Пифагора для решения нестандартных задач; демонстрация разнообразия доказательств теоремы
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconУрок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов
На уроке рассматриваются различные доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов, их применение при решении задач
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconТеорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема
Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему де­дукции, можно, очевидно, получить новые следствия
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconМодели принятия решений
Основная теорема двойственности. Следствие из основной теоремы двойственности о связи оптимальных решений прямой и двойственной задач...
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconТеорема Виета и теорема, обратная к ней
...
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н
Симплексы и триангуляция множеств. Нумерации и лемма Шпернера. Теорема Брауера. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах....
Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы iconУрок геометрии в 8 классе по теме: Содержание: Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач
Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org