Решение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы
|
Скачать 171.29 Kb.
|
1 2
Теорема Чевы Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда    Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне  ABC (рисунок б).Применим теорему Менелая к BCC1 и секущей AA1, получим:  Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим:  Перемножим почленно эти равенства     Что и требовалось доказать.Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми. Для решения задач чаще применяется обратная теорема. Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Если выполняются равенство , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.Доказательство. Пусть AA1  BB1=O. Проведём прямую CO, С2=COПо теореме Чевы  . Учитывая условие имеем:  , откуда  =k ,  =k . Вычтем второе равенство из первого . По свойству векторов получим  =k = = - k .Т.к. k  -1 (иначе бы , но точки A и B не совпадают), следовательно,  , т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1. Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы. Задача №1 Дано: Треугольник ABC. Доказать: медианы треугольника пересекаются в одной точке.  Доказательство Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC. Проверим равенство:  , 1*1*1=1 (верно).Утверждение доказано согласно теореме Чевы. Задача №2 Дано: треугольник ABC Доказать: биссектрисы ABC пересекаются в одной точке Доказательство Пусть BE, CM, AK – биссектрисы ABC.Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Значит,  . Найдём произведение  , по теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.Задача №3 Дано: ABC, CM – медиана, P  CM, APBC=A1, BPAC=B1Доказать: A1B1 || AB  Решение Прямые AA1, BB1 и CM пересекаются в одной точке P. По теореме Чевы:  ,  , поэтому  =>  CB1A1 подобен CAB (;  C – общий)Значит, CB1A1 = CAB – соответственные при прямых B1A1 и AB и секущей AC, поэтому A1B1 || AB. Что и требовалось доказать.Задача №4 Дано: В ABC вписана полуокружность. Диаметр лежит на стороне BC, C1; B1 – точки касания сторон AB, AC и полуокружности. BB1CC1=P, AA1 BC.Доказать: P AA1 Решение Пусть r – радиус окружности. Из прямоугольных треугольников OBC1 и OCB1 находим CB1=r*ctg C, C1B=r*ctg B. Из прямоугольных треугольников ABA1 и ACA1 имеем BA1=AA1*ctg B; A1C=AA1*ctg C; AB1=AC1 – как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Найдём произведение:   =  =  Согласно теореме Чевы прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, т.е. P AA1. Что и требовалось доказать.Задача №5 Дано: ABC, PABC, APBC=D, BPAC=M, CPAB=N; Доказать:   Решение Пусть SCDM=S1, SBDN=S2, SANM =S3, SABC=S. Знаем, что площади двух треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Имеем  По условию  , следовательно  ;  , следовательно,  , отсюда,  Аналогично,  ;  Найдём SDMN = S- (S1+S2+S3) SDMN = S-(  + + )==  S-   = ==  = = В треугольнике ABCотрезки AD, BM, CN пересекаются в одной точке. По теореме Чевы  Значит, Что и требовалось доказать.Задача №6 Доказать. Что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.  Дано: ABC. Окружность (O;r) – вписана в ABC.OM=ON=OP=r Доказать: AN; BP, CM пересекаются в одной точке. Решение По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки AM=AP=a; BM=BN=b; CN=CP=c. Найдём произведение отношений:  По теореме Чевы AN BP CM=O1Вывод Замечательные теоремы Менелая и Чевы, сложные на первый взгляд, оказались просты и интересны. Они находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Многие задачи трудные, но длительная и напряжённая работа над одной такой задачей для меня интереснее и полезнее десяти стандартных задач. Теоремы о пересечении медиан, биссектрис треугольника с помощью теоремы Чевы доказываются элементарно. В результате проделанной работы я глубже стал понимать задачи, мне интересно их исследовать и решать. Я удовлетворён тем, что изучил новые для себя теоремы и способы их использования. Литература
|
1 2
Похожие:
 | Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.) | | «Использование теоремы Чевы в школьном курсе геометрии» Подготовительная работа, которую необходимо провести перед доказательством теоремы Чевы |
 | Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач | | «Теорема Пифагора» Применение теоремы Пифагора для решения нестандартных задач; демонстрация разнообразия доказательств теоремы |
| Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов На уроке рассматриваются различные доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов, их применение при решении задач | | Теорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему дедукции, можно, очевидно, получить новые следствия |
| Модели принятия решений Основная теорема двойственности. Следствие из основной теоремы двойственности о связи оптимальных решений прямой и двойственной задач... | | Теорема Виета и теорема, обратная к ней ... |
| Программа составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н Симплексы и триангуляция множеств. Нумерации и лемма Шпернера. Теорема Брауера. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах.... | | Урок геометрии в 8 классе по теме: Содержание: Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач |