Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория функций действительного переменного»

Скачать 230.52 Kb.

Дата	16.10.2012
Размер	230.52 Kb.
Тип	Рабочая учебная программа

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет

Кафедра математического анализа
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине «Теория функций действительного переменного»

Для ООП по направлению «050100.62 – Педагогическое образование»,

профиль «Математика»

по циклу Б.3 – профессиональный цикл,

вариативная часть

Очная форма обучения	Заочная форма обучения
Курс – 3	Курс – 3
Семестр – 6	Семестр – 5, 6
Объем в часах всего – 72	Объем в часах всего – 72
в т.ч.: лекции – 8	в т.ч.: лекции – 4
практические занятия – 26	практические занятия – 8
самостоятельная работа – 38	самостоятельная работа – 60
Зачет – 6 семестр	Зачет – 6 семестр Контрольная работа – 6 семестр

Екатеринбург 2011

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория функций действительного переменного»

ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Екатеринбург, 2011. – 15 с.

Составители:

Бодряков В.Ю., зав. кафедрой математического анализа, д. ф.-м. н., доцент, математический факультет УрГПУ

Фомина Н.Г., ст. преподаватель кафедры математического анализа, математический факультет УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании
кафедры математического анализа УрГПУ

Протокол от 05.05.2011 №8.
Зав. кафедрой В.Ю. Бодряков
Согласовано с учебно-методической комиссией математического факультета
Председатель учебно-методической комиссии И.Н. Семенова

Декан математического факультета В.П. Толстопятов

1.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая учебная программа дисциплины «Теория функций действительного переменного» (ТФДП) соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению «050100 – Педагогическое образование», профиль «Математика».

Целью изучения дисциплины «Теория функций действительного переменного» является формирование профессионально важных компетенций студента для будущей профессиональной деятельности в рамках и средствами изучаемой дисциплины. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: (1) сформировать у студентов представления об основных понятиях и фактах теории ТФДП; (2) развить навыки использования методов ТФДП для решения профессиональных задач; (3) воспитать профессионально значимые личностные качества; (4) сформировать представление о важности ТФДП для осуществления будущей профессиональной деятельности.

Курс ТФДП изучается в рамках профессионального цикла Б.3.В. Дисциплина базируется на изученных ранее курсах алгебры и математического анализа. Для успешного усвоения курса ТФДП студент должен знать основы указанных математических дисциплин, в частности, свойства элементарных функций и элементарные основы теории множеств, уметь дифференцировать и интегрировать функции одного переменного, владеть практикой применения теоретических знаний для решения задач, связанных с исследованием функций, вычислением производных и интегралов. Полученные при изучении курса ТФДП знания и навыки востребованы при осуществлении будущей профессиональной деятельности учителя математики, в частности, при преподавании предмета «Алгебра и начала анализа», а также при изучении курса «Теории вероятности и математической статистики» и при продолжении обучения в магистратуре.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций, регламентируемых ФГОС-3:

– Общекультурные компетенции (ОК): владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1); способность использовать знания о современной естественно-научной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4); способность осуществлять логически верно устную и письменную речь (ОК-6); готовность к взаимодействию, к работе в коллективе (ОК-7); готовность использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готовность к работе с компьютером как средством управления информацией (ОК-8); способность к работе с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-9); способность использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики (ОК-16).

– Профессиональные компетенции, включая общепрофессиональные компетенции (ОПК) и профессиональные компетенции (ПК) в области педагогической деятельности: владение основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3); способность использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4).

Помимо общих компетенций, регламентируемых ФГОС-3, изучение курса ТФДП направлено на развитие специальных профессиональных компетенций, позволяющих выпускнику осуществлять профессиональную деятельность, в частности: способность демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания (ПКВ-1); готовность организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности учащихся (ОПКВ-1).

Программа учебной дисциплины способствует формированию у студентов самостоятельности, способности к успешной специализации в обществе, профессиональной мобильности и других профессионально значимых личных качеств. В результате изучения дисциплины «Теория функций действительного переменного» студент должен знать: основы дисциплины и методы решения типовых задач; области применения ТФДП как инструмента математического описания естественно-научной картины мира; способы применения ТФДП для построения математических моделей реальных явлений окружающей действительности; современные подходы к решению и интерпретации таких моделей. Студент должен уметь: доказывать на необходимом уровне строгости основные утверждения теории ТФДП; грамотно применять ТФДП для построения математических моделей различных явлений окружающей действительности, в том числе, используя современные информационно-коммуникационные технологии, включая специализированное математическое программное обеспечение, локальные и глобальные компьютерные сети, для сбора, обработки и анализа информации с применением ТФДП; выбирать специализированное программное обеспечение для решения проблем ТФДП и оценивать перспективы его использования с учетом решаемых профессиональных задач. Студент должен владеть: профессиональным языком предметной области знания; основными методами решения задач ТФДП; способами построения и решения математических моделей явлений различной природы при помощи ТФДП; навыками применения специализированных программных средств для решения таких моделей; навыками организации исследовательской деятельности учащихся с применением соответствующих разделов теории ТФДП.

Согласно учебному плану курс ТФДП изучается бакалаврами (очное отделение) на 3 курсе в 6 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 72 уч.ч. (общая трудоемкость составляет две зачетные единицы), в т.ч. 34 уч.ч. аудиторных занятий и 38 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 8 уч.ч. лекций и 26 уч.ч. практических занятий. Предусматривается также выполнение контрольных работ в соответствии с графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса. На заочном отделении согласно учебному плану курс ТФДП изучается бакалаврами на 4 курсе в 8 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 72 уч.ч. (общая трудоемкость составляет две зачетные единицы), в т.ч. 12 уч.ч. аудиторных занятий и 60 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 4 уч.ч. лекций и 8 уч.ч. практических занятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Всего (в т.ч. в интерактивной форме)	Лекции	Практические	Самостоятельная работа
1.	Мощность множества. Счетные и несчетные множества.	20	10	2	8	10
2.	Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.	20	10	2	8	10
3.	Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.	18	8	2	6	10
4.	Интеграл Лебега.	14	6	2	4	8
	Итого:	72	34	8	26	38

2.2. Учебно-тематический план заочной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Всего (в т.ч. в интерактивной форме)	Лекции	Практические	Самостоятельная работа
1.	Мощность множества. Счетные и несчетные множества.	19	3	1	2	16
2.	Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.	17	3	1	2	14
3.	Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.	19	3	1	2	16
4.	Интеграл Лебега.	17	3	1	2	14
	Итого:	72	12	4	8	60

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Учебный материал курса «Теория функций действительного переменного» (ТФДП) включает изучение следующих содержательных дидактических единиц: Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой. Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу. Интеграл Лебега.

Структурированное содержание дисциплины

Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Несчетность множества действительных чисел. Построение множеств мощности большей мощности данного множества. Эквивалентность множеств. Теорема Кантора Бернштейна.

Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой. Понятие открытого и замкнутого числового множества. Теоремы о строению замкнутых и открытых множеств на числовой прямой. Канторово совершенное множество. Алгебра множеств.

Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу. Мера промежутка на числовой прямой. Внешняя и внутренняя мера. Мера Лебега на числовой прямой. Теорема Лебега от измеримости множеств на числовой прямой (критерий измеримости). Теоремы об измеримых множествах. Сравнение мер Лебега и Жордана. Примеры неизмеримых множеств. Понятие об измеримости функций по Лебегу.

Интеграл Лебега. Определение и основные свойства интеграла Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Вычисление интеграла Лебега.

Перечень тем лекционных занятий

Очное отделение

Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
Интеграл Лебега.

Заочное отделение

Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
Интеграл Лебега.

Перечень тем практических занятий

Очное отделение

Операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.
Законы алгебры множеств.
Эквивалентность множеств. Взаимно-однозначные отображения множеств.
Теорема Кантора – Бернштейна.
Функции действительного переменного как взаимно-однозначное отображения числовых множеств.
Мощность числовых множеств.
Строение открытых и замкнутых числовых множеств.
Канторово совершенное множество и его аналоги.
Мера числового множества. Внешняя и внутренняя меры множества.
Измеримость по Лебегу числовых множеств.
Измеримость по Лебегу функций действительного переменного.
Вычисление интегралов Лебега.
Вычисление интегралов Лебега над множествами сложного строения.

Заочное отделение

Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
Интеграл Лебега.

Перечень тем лабораторных работ

Согласно учебному плану выполнение лабораторных работ по данной дисциплине не предусмотрено.

Вопросы для контроля и самоконтроля
1. Что такое множество? Как можно представить множества в виде диаграмм Эйлера – Венна?
2. Какие операции могут быть проведены над множествами?
3. Сформулируйте и докажите законы алгебры множеств.
4. Какие множества называются эквивалентными?
5. Какие множества называются счетными? несчетными?
6. Сформулируйте и докажите теорему об объединении конечного и счетного числа счетных множеств.
7. Что такое декартово произведение множеств? Какими свойствами обладает декартово произведение счетных и несчетных множеств?
8. Дайте определение понятия мощности множества. Как проводить сравнение мощностей множеств.
9. Какими свойствами обладают множества мощности континуума?
10. Сформулируйте и докажите теорему о несчетности множества действительных чисел.
11. Сформулируйте и докажите теорему Кантора – Бернштейна.
12. Как построить множество с мощностью, большей мощности данного множества?
13. Сформулируйте основные принципы построения взаимно-однозначных соответствий (ВОС) между множествами. Приведите примеры.
14. Опишите строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
15. Какие множества называются совершенными?
16. Опишите построение канторова совершенного множества и его свойства.
17. Сформулируйте и докажите лемму Гейне – Бореля.
18. Как строится алгебра множеств? Что такое кольцо и полукольцо множеств?
19. Что называют мерой промежутка на числовой прямой? Какими свойствами она обладает?
20. Сформулируйте определение меры множества на числовой прямой. Дайте определение внешней и внутренней меры множества.
21. Какими свойствами обладают внешняя и внутренняя меры множества? Докажите их.
22. Дайте определение меры Лебега; сформулируйте и докажите ее свойства.
23. Сформулируйте теорему об измеримости множества по Лебегу; докажите ее необходимость.
24. Сформулируйте теорему об измеримости множества по Лебегу; докажите ее достаточность.
25. Сформулируйте и докажите теоремы об измеримости объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств.
26. Сформулируйте и докажите утверждения об измеримости открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
27. Дайте определение меры Жордана; сформулируйте и докажите ее свойства.
28. Каков критерий измеримости множества по Жордану?
29. Верно ли, что множество, измеримое по Лебегу, будет измеримым по Жордану? Верно ли обратное утверждение? Подтвердите примерами.
30. Дайте определение измеримой функции. Приведите примеры.
31. Какими свойствами обладают измеримые функции? Докажите их.
32. Какие измеримые функции называются эквивалентными?
33. Сформулируйте и докажите утверждение об измеримости суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций.
34. Как строятся интегральные суммы Лебега? Сформулируйте и докажите их свойства.
35. Как строится интеграл Лебега? Сформулируйте и докажите его свойства.
36. В чем состоит теорема о полной аддитивности интеграла Лебега?
37. Сформулируйте основные способы вычисления интеграла Лебега.
38. Что такое «функция – срезка»? Каковы правила ее построения и применения для вычисления интеграла Лебега?
39. Проведите сравнение интегралов Римана и Лебега. В чем состоит их сходство и в чем состоит их различие?

Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах

Все практические занятия проводятся в активной форме с включением интерактивных фаз проведения занятия.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО - ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
1. Теорема Цермело и ее роль в теории функций действительного переменного.
2. Лемма Гейне - Бореля.
3. Алгебра множеств.
4. Построение неизмеримого по Лебегу подмножества измеримого множества.
5. Общее понятие меры.
6. Функциональные последовательности измеримых функций.
7. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
8. Распространение интеграла Лебега на случай неограниченных измеримых множеств.
9. Понятие метрического пространства.
10. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
11. Полные метрические пространства.
12. Принцип сжимающих отображений.

Темы контрольных работ
1. Операции над множествами. Эквивалентность множеств. Мощность множеств. Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
2. Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу. Интеграл Лебега.

Примерные темы курсовых работ

Дидактические особенности преподавания основ теории множеств в школьном курсе математики.
Теория множеств как основа для аксиоматического построения теории вероятностей.
Открытые и замкнутые множества на плоскости и в пространстве.
Канторово совершенное множество и его аналоги на плоскости и в пространстве.
Мера Лебега на плоскости и в пространстве.
Обобщение понятия меры.
Свойства последовательностей измеримых функций.
Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Вычисление интегралов Лебега над измеримыми множествами на плоскости и в пространстве.
История создания теории множеств в трудах европейских и российских математиков.

Темы индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
1. Основные свойства числовых множеств.
2. Законы алгебры множеств.
3. Установление взаимно-однозначных соответствий между множествами.
4. Мощность числовых множеств.
5. Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
6. Мера Лебега числовых множеств.
7. Измеримость по Лебегу функций действительного переменного.
8. Интеграл Лебега.

Проведение зачета по дисциплине

По решению кафедры, оформленному в установленном порядке, зачет по дисциплине «Теория функций действительного переменного» проводится в устной, письменной или иной форме по утвержденным заведующим кафедрой зачетным заданиям (билетам). Зачетные задания (билеты) в равной пропорции включают задачи, направленные на проверку знаний и умений по дисциплине, а также на оценку уровня сформированности компетенций, на формирование которых был направлен процесс изучения дисциплины.

Вопросы для подготовки к зачету (проверка знаний, умений)

Понятие множества. Операции над множествами. Графическое представление множеств в виде диаграмм Эйлера – Венна.
Законы алгебры множеств.
Понятие эквивалентности и счетности множеств. Объединение конечного и счетного числа счетных множеств.
Декартово произведение множеств.
Мощность множеств. Сравнение мощностей. Множества мощности континуума.
Несчетность множества действительных чисел.
Теорема Кантора – Бернштейна.
Построение мощностей, большей мощности данного множества.
Построение взаимно-однозначных соответствий между множествами.
Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
Совершенные множества. Канторово совершенное множество.
Лемма Гейне – Бореля.
Алгебра множеств. Понятия кольца и полукольца множеств.
Понятие меры множества на числовой прямой. Внешняя и внутренняя мера множества.
Мера Лебега. Свойства меры Лебега.
Критерий измеримости множества по Лебегу (необходимость).
Критерий измеримости множества по Лебегу (достаточность).
Измеримость объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств.
Измеримость открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
Понятие меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану.
Свойства меры Жордана.
Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану.
Понятие измеримых функций.
Свойства измеримых функций. Понятие эквивалентности измеримых функций.
Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций.
Интегральные суммы Лебега и их свойства.
Интеграл Лебега и его свойства.
Полная аддитивность интеграла Лебега.
Вычисление интеграла Лебега. Построение «функции – срезки».
Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Примерные типы заданий для подготовки к экзамену (оценка уровня сформированности компетенций)
1. Переформулировать на математическом языке текстовую задачу по дисциплине, (напр., задачу из теории множеств, задачу установления взаимно - однозначного соответствия между множествами и др.).
2. Для данной задачи из курса ТФДП (напр., из теории множеств, из теории меры, из теории интеграла Лебега) предложить и обосновать возможные способы решения.
3. Выделить общую структуру в предложенных нескольких задачах ТФДП; сформулировать и обосновать типовой способ построения их решения.
4. Среди предложенных доказательств данного равенства выбрать неверные и обосновать их некорректность.
5. Установить корректность предложенной задачи из курса ТФДП, поиск различных способов ее решения.
6. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные понятия и определения из предложенного преподавателем раздела курса ТФДП, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
7. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные утверждения из предложенного преподавателем раздела курса ТФДП, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
8. Провести доказательство и/или составить блок-схему доказательства (в устном и/или письменном виде) указанных преподавателем утверждений из выбранного раздела курса ТФДП, проиллюстрировать примерами; выделить логические взаимосвязи этих утверждений с другими в курсе ТФДП.
9. На необходимом уровне строгости дать обоснование решения предложенной задачи из курса ТФДП; провести анализ возможных особых случаев; выделить из общего частное решение с указанными в условии свойствами; провести анализ предельных случаев; дать графическую иллюстрацию и содержательную интерпретацию решения.
10. Перевести данную формулировку математического понятия из одной формы представления в другую (из словесной в графическую, на теоретико-множественный язык с использованием кванторов и др.).
11. Развернуть принятые сокращенные записи математических понятий (напр., A; clA; E(f > c) и др.).
12. Завершить доказательство данного утверждения из курса ТФДП, основываясь на указанных математических фактах.
13. Доказать средствами ТФДП утверждение о фактах, установленных ранее при изучении других дисциплинах (напр., о несчетности множества действительных чисел; о строении открытых и замкнутых множеств на числовой прямой и др.).
14. Опишите возможности использования изученного материала по дисциплине для организации исследовательской (проектной) деятельности учащихся.
15. Предложите несколько тем и планов исследовательских проектов для учащихся разных классов по тематике изученной дисциплины.
16. Сформулируйте и объясните затруднения, которые могут возникнуть у учащегося при работе над содержанием исследовательского проекта по теме из изученной дисциплины. Предложите пути их устранения.

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Рекомендуемая литература

Основная

Белугин В.И., Филиппова Т.Ф., Фомина Н.Г. Основы теории функций действительного переменного: учеб. пособие. Екатеринбург: УрГПУ, 2003. 58 с.
Вздорнова О.Г., Сушинцева И.А., Ткаленко Н.В. Индивидуальные задания по дисциплине «Теория функций действительного переменного»: метод. разработка. Екатеринбург: УрГПУ, 2005. 21 с.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1986. 496 с.
Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и функций. М.: Просвещение, 1981. 271 с.

Дополнительная

Александров П.Ф. Введение в теорию множеств и общую топологию: учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 367 с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2000. 448 с.
Данилин А.Р., Филиппова Т.Ф., Яхин Р.А. Введение в математику: метод. разработка. Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 52 с.
Рудин У. Функциональный анализ./ пер с англ. В.Я. Лиина; под ред. Е.А. Горина. СПб.: Лань, 2005. 160 с.

Информационное обеспечение дисциплины

Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет (в частности, сайты www.exponenta.ru; www.school.edu.ru), сайт электронной библиотеки УрГПУ (http://e-lib.uspu.ru), авторские презентации лекций.

6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении дисциплины «Теория функций действительного переменного» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).

7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ
Бодряков Владимир Юрьевич

доктор физико-математических наук

доцент

заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ
Фомина Нина Гервасиевна

старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ
Р.т.: (343) 371-29-10

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине «Теория функций действительного переменного»

для ООП по направлению «050100.62 – Педагогическое образование»,

профиль «Математика»

по циклу Б.3 – профессиональный цикл,

вариативная часть

Подписано в печать Формат 6084/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. .

Тираж экз. Заказ .

Уральский государственный педагогический университет

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория функций действительного переменного»

Екатеринбург 2011

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория функций действительного переменного»

Похожие: