«Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет
Кафедра математического анализа РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
По дисциплине «Теория функций действительного переменного»
Для ООП по направлению «050100.62 – Педагогическое образование»,
профиль «Математика»
по циклу Б.3 – профессиональный цикл,
вариативная часть
Очная форма обучения
Заочная форма обучения
Курс – 3
Курс – 3
Семестр – 6
Семестр – 5, 6
Объем в часах всего – 72
Объем в часах всего – 72
в т.ч.: лекции – 8
в т.ч.: лекции – 4
практические занятия – 26
практические занятия – 8
самостоятельная работа – 38
самостоятельная работа – 60
Зачет – 6 семестр
Зачет – 6 семестр
Контрольная работа – 6 семестр
Екатеринбург 2011
Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория функций действительного переменного»
ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»
Екатеринбург, 2011. – 15 с.
Составители:
Бодряков В.Ю., зав. кафедрой математического анализа, д. ф.-м. н., доцент, математический факультет УрГПУ
Фомина Н.Г., ст. преподаватель кафедры математического анализа, математический факультет УрГПУ
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ
Протокол от 05.05.2011 №8. Зав. кафедрой В.Ю. Бодряков Согласовано с учебно-методической комиссией математического факультета Председатель учебно-методической комиссии И.Н. Семенова
Декан математического факультета В.П. Толстопятов
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая учебная программа дисциплины «Теория функций действительного переменного» (ТФДП) соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению «050100 – Педагогическое образование», профиль «Математика».
Целью изучения дисциплины «Теория функций действительного переменного» является формирование профессионально важных компетенций студента для будущей профессиональной деятельности в рамках и средствами изучаемой дисциплины. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: (1) сформировать у студентов представления об основных понятиях и фактах теории ТФДП; (2) развить навыки использования методов ТФДП для решения профессиональных задач; (3) воспитать профессионально значимые личностные качества; (4) сформировать представление о важности ТФДП для осуществления будущей профессиональной деятельности.
Курс ТФДП изучается в рамках профессионального цикла Б.3.В. Дисциплина базируется на изученных ранее курсах алгебры и математического анализа. Для успешного усвоения курса ТФДП студент должен знать основы указанных математических дисциплин, в частности, свойства элементарных функций и элементарные основы теории множеств, уметь дифференцировать и интегрировать функции одного переменного, владеть практикой применения теоретических знаний для решения задач, связанных с исследованием функций, вычислением производных и интегралов. Полученные при изучении курса ТФДП знания и навыки востребованы при осуществлении будущей профессиональной деятельности учителя математики, в частности, при преподавании предмета «Алгебра и начала анализа», а также при изучении курса «Теории вероятности и математической статистики» и при продолжении обучения в магистратуре.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций, регламентируемых ФГОС-3:
– Общекультурные компетенции (ОК): владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1); способность использовать знания о современной естественно-научной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4); способность осуществлять логически верно устную и письменную речь (ОК-6); готовность к взаимодействию, к работе в коллективе (ОК-7); готовность использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готовность к работе с компьютером как средством управления информацией (ОК-8); способность к работе с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-9); способность использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики (ОК-16).
– Профессиональные компетенции, включая общепрофессиональные компетенции (ОПК) и профессиональные компетенции (ПК) в области педагогической деятельности: владение основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3); способность использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4).
Помимо общих компетенций, регламентируемых ФГОС-3, изучение курса ТФДП направлено на развитие специальных профессиональных компетенций, позволяющих выпускнику осуществлять профессиональную деятельность, в частности: способность демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания (ПКВ-1); готовность организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности учащихся (ОПКВ-1).
Программа учебной дисциплины способствует формированию у студентов самостоятельности, способности к успешной специализации в обществе, профессиональной мобильности и других профессионально значимых личных качеств. В результате изучения дисциплины «Теория функций действительного переменного» студент должен знать: основы дисциплины и методы решения типовых задач; области применения ТФДП как инструмента математического описания естественно-научной картины мира; способы применения ТФДП для построения математических моделей реальных явлений окружающей действительности; современные подходы к решению и интерпретации таких моделей. Студент должен уметь: доказывать на необходимом уровне строгости основные утверждения теории ТФДП; грамотно применять ТФДП для построения математических моделей различных явлений окружающей действительности, в том числе, используя современные информационно-коммуникационные технологии, включая специализированное математическое программное обеспечение, локальные и глобальные компьютерные сети, для сбора, обработки и анализа информации с применением ТФДП; выбирать специализированное программное обеспечение для решения проблем ТФДП и оценивать перспективы его использования с учетом решаемых профессиональных задач. Студент должен владеть: профессиональным языком предметной области знания; основными методами решения задач ТФДП; способами построения и решения математических моделей явлений различной природы при помощи ТФДП; навыками применения специализированных программных средств для решения таких моделей; навыками организации исследовательской деятельности учащихся с применением соответствующих разделов теории ТФДП.
Согласно учебному плану курс ТФДП изучается бакалаврами (очное отделение) на 3 курсе в 6 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 72 уч.ч. (общая трудоемкость составляет две зачетные единицы), в т.ч. 34 уч.ч. аудиторных занятий и 38 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 8 уч.ч. лекций и 26 уч.ч. практических занятий. Предусматривается также выполнение контрольных работ в соответствии с графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса. На заочном отделении согласно учебному плану курс ТФДП изучается бакалаврами на 4 курсе в 8 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 72 уч.ч. (общая трудоемкость составляет две зачетные единицы), в т.ч. 12 уч.ч. аудиторных занятий и 60 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 4 уч.ч. лекций и 8 уч.ч. практических занятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения
№
п/п
Наименование раздела, темы
Всего трудоемкость
Аудиторные занятия
Самостоятельная работа
Всего (в т.ч. в интерактивной форме)
Лекции
Практические
1.
Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
20
10
2
8
10
2.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
20
10
2
8
10
3.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
18
8
2
6
10
4.
Интеграл Лебега.
14
6
2
4
8
Итого:
72
34
8
26
38
2.2. Учебно-тематический план заочной формы обучения
№
п/п
Наименование раздела, темы
Всего трудоемкость
Аудиторные занятия
Самостоятельная работа
Всего (в т.ч. в интерактивной форме)
Лекции
Практические
1.
Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
19
3
1
2
16
2.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
17
3
1
2
14
3.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
19
3
1
2
16
4.
Интеграл Лебега.
17
3
1
2
14
Итого:
72
12
4
8
60
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Учебный материал курса «Теория функций действительного переменного» (ТФДП) включает изучение следующих содержательных дидактических единиц: Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой. Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу. Интеграл Лебега.
Структурированное содержание дисциплины
Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Несчетность множества действительных чисел. Построение множеств мощности большей мощности данного множества. Эквивалентность множеств. Теорема Кантора Бернштейна.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой. Понятие открытого и замкнутого числового множества. Теоремы о строению замкнутых и открытых множеств на числовой прямой. Канторово совершенное множество. Алгебра множеств.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу. Мера промежутка на числовой прямой. Внешняя и внутренняя мера. Мера Лебега на числовой прямой. Теорема Лебега от измеримости множеств на числовой прямой (критерий измеримости). Теоремы об измеримых множествах. Сравнение мер Лебега и Жордана. Примеры неизмеримых множеств. Понятие об измеримости функций по Лебегу.
Интеграл Лебега. Определение и основные свойства интеграла Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Вычисление интеграла Лебега.
Перечень тем лекционных занятий
Очное отделение
Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
Интеграл Лебега.
Заочное отделение
Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
Интеграл Лебега.
Перечень тем практических занятий
Очное отделение
Операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.
Распространение интеграла Лебега на случай неограниченных измеримых множеств.
Понятие метрического пространства.
Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
Полные метрические пространства.
Принцип сжимающих отображений.
Темы контрольных работ
Операции над множествами. Эквивалентность множеств. Мощность множеств. Строение замкнутых и открытых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу. Интеграл Лебега.
Примерные темы курсовых работ
Дидактические особенности преподавания основ теории множеств в школьном курсе математики.
Теория множеств как основа для аксиоматического построения теории вероятностей.
Открытые и замкнутые множества на плоскости и в пространстве.
Канторово совершенное множество и его аналоги на плоскости и в пространстве.
Мера Лебега на плоскости и в пространстве.
Обобщение понятия меры.
Свойства последовательностей измеримых функций.
Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Вычисление интегралов Лебега над измеримыми множествами на плоскости и в пространстве.
История создания теории множеств в трудах европейских и российских математиков.
Темы индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
Основные свойства числовых множеств.
Законы алгебры множеств.
Установление взаимно-однозначных соответствий между множествами.
Мощность числовых множеств.
Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
Мера Лебега числовых множеств.
Измеримость по Лебегу функций действительного переменного.
Интеграл Лебега.
Проведение зачета по дисциплине
По решению кафедры, оформленному в установленном порядке, зачет по дисциплине «Теория функций действительного переменного» проводится в устной, письменной или иной форме по утвержденным заведующим кафедрой зачетным заданиям (билетам). Зачетные задания (билеты) в равной пропорции включают задачи, направленные на проверку знаний и умений по дисциплине, а также на оценку уровня сформированности компетенций, на формирование которых был направлен процесс изучения дисциплины.
Вопросы для подготовки к зачету (проверка знаний, умений)
Понятие множества. Операции над множествами. Графическое представление множеств в виде диаграмм Эйлера – Венна.
Законы алгебры множеств.
Понятие эквивалентности и счетности множеств. Объединение конечного и счетного числа счетных множеств.
Декартово произведение множеств.
Мощность множеств. Сравнение мощностей. Множества мощности континуума.
Несчетность множества действительных чисел.
Теорема Кантора – Бернштейна.
Построение мощностей, большей мощности данного множества.
Построение взаимно-однозначных соответствий между множествами.
Строение открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
Примерные типы заданий для подготовки к экзамену (оценка уровня сформированности компетенций)
Переформулировать на математическом языке текстовую задачу по дисциплине, (напр., задачу из теории множеств, задачу установления взаимно - однозначного соответствия между множествами и др.).
Для данной задачи из курса ТФДП (напр., из теории множеств, из теории меры, из теории интеграла Лебега) предложить и обосновать возможные способы решения.
Выделить общую структуру в предложенных нескольких задачах ТФДП; сформулировать и обосновать типовой способ построения их решения.
Среди предложенных доказательств данного равенства выбрать неверные и обосновать их некорректность.
Установить корректность предложенной задачи из курса ТФДП, поиск различных способов ее решения.
Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные понятия и определения из предложенного преподавателем раздела курса ТФДП, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные утверждения из предложенного преподавателем раздела курса ТФДП, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
Провести доказательство и/или составить блок-схему доказательства (в устном и/или письменном виде) указанных преподавателем утверждений из выбранного раздела курса ТФДП, проиллюстрировать примерами; выделить логические взаимосвязи этих утверждений с другими в курсе ТФДП.
На необходимом уровне строгости дать обоснование решения предложенной задачи из курса ТФДП; провести анализ возможных особых случаев; выделить из общего частное решение с указанными в условии свойствами; провести анализ предельных случаев; дать графическую иллюстрацию и содержательную интерпретацию решения.
Перевести данную формулировку математического понятия из одной формы представления в другую (из словесной в графическую, на теоретико-множественный язык с использованием кванторов и др.).
Развернуть принятые сокращенные записи математических понятий (напр., A; clA; E(f>c) и др.).
Завершить доказательство данного утверждения из курса ТФДП, основываясь на указанных математических фактах.
Доказать средствами ТФДП утверждение о фактах, установленных ранее при изучении других дисциплинах (напр., о несчетности множества действительных чисел; о строении открытых и замкнутых множеств на числовой прямой и др.).
Опишите возможности использования изученного материала по дисциплине для организации исследовательской (проектной) деятельности учащихся.
Предложите несколько тем и планов исследовательских проектов для учащихся разных классов по тематике изученной дисциплины.
Сформулируйте и объясните затруднения, которые могут возникнуть у учащегося при работе над содержанием исследовательского проекта по теме из изученной дисциплины. Предложите пути их устранения.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендуемая литература
Основная
Белугин В.И., Филиппова Т.Ф., Фомина Н.Г. Основы теории функций действительного переменного: учеб. пособие. Екатеринбург: УрГПУ, 2003. 58 с.
Вздорнова О.Г., Сушинцева И.А., Ткаленко Н.В. Индивидуальные задания по дисциплине «Теория функций действительного переменного»: метод. разработка. Екатеринбург: УрГПУ, 2005. 21 с.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1986. 496 с.
Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и функций. М.: Просвещение, 1981. 271 с.
Дополнительная
Александров П.Ф. Введение в теорию множеств и общую топологию: учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 367 с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2000. 448 с.
Данилин А.Р., Филиппова Т.Ф., Яхин Р.А. Введение в математику: метод. разработка. Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 52 с.
Рудин У. Функциональный анализ./ пер с англ. В.Я. Лиина; под ред. Е.А. Горина. СПб.: Лань, 2005. 160 с.
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ При изучении дисциплины «Теория функций действительного переменного» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).
7.СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Бодряков Владимир Юрьевич
доктор физико-математических наук
доцент
заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ Фомина Нина Гервасиевна
старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ Р.т.: (343) 371-29-10
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
По дисциплине «Теория функций действительного переменного»
для ООП по направлению «050100.62 – Педагогическое образование»,
профиль «Математика»
по циклу Б.3 – профессиональный цикл,
вариативная часть
Подписано в печать Формат 6084/16
Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. .
Тираж экз. Заказ .
Уральский государственный педагогический университет