Линейное (векторное) пространство над полем P



страница2/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  1. Теорема о двух системах векторов, каждый вектор одной системы является линейной комбинацией векторов другой системы



Пусть в линейном пространстве задана система из векторов . Пусть, далее, каждый из векторов есть линейная комбинация векторов . Тогда, если линейно независимы, то .

Среди линейных комбинаций векторов не может быть больше чем линейно независимых.
  1. Теорема о количестве векторов в любом из базисов линейного пространства


В любом базисе линейного пространства количество векторов одинаково.
  1. Теорема о дополнении любой системы векторов до базиса


Любая линейно независимая система векторов из линейного пространства может быть дополнена до базиса.
  1. Изменение координат вектора при переходе от одного базиса к другому


При переходе из базиса к базису (где - матрица перехода от базиса e к базису f), координаты вектора меняются по закону: .
  1. Теорема об изоморфных линейных пространствах


Два линейных пространства над общим полем изоморфны тогда и только тогда, когда из размерности совпадают.

Иными словами, все пространства над общим полем одинаковой размерности изоморфны, разной размерности – не изоморфны.
  1. Подпространства произвольного линейного пространства

  1. Определения

    1. Подпространство линейного пространства


Пусть L – линейное пространство, - некоторое множество элементов из L.

Множество в пространстве L называется линейным подпространством, если соблюдены следующие условия:

1) Для их сумма также входит в

2) Для и произведение

Подмножество линейного пространства L также само является линейным пространством.
Иными словами, подпространство – некое подмножество векторов из линейного пространства, которое само по себе так же является линейным пространством.
    1. Линейная оболочка системы векторов


Пусть в линейном пространстве L дана система векторов . Множество всевозможных линейных комбинаций вида называется линейной оболочкой данной системы и обозначается .
    1. Пересечение подпространств


Пересечение подпространств – совокупность тех элементов, которые одновременно принадлежат всем рассматриваемым подпространствам.
Обозначение:
    1. Сумма подпространств


Пусть в линейном пространстве L даны два линейных подпространства и . Обозначим через множество всех векторов, представимых в виде , где , . является линейным подпространством линейного пространства L и называется суммой подпространств и .
Иными словами, сумма подпространств – множество всех сумм пар векторов из линейных пространств.
    1. Разложение вектора по подпространствам


Представление вектора в виде суммы векторов из различных подпространств , где , вектора x называется разложением вектора x по подпространствам .
    1. Прямая сумма подпространств


Пусть в пространстве L даны подпространства , тогда их сумма есть линейное подпространство, составленное из всех векторов вида , где , . Если для такое разложение единственно, то называется прямой суммой подпространств .

Обозначение:
Иными словами, сумма является прямой, когда разложение любого вектора суммы по подпространствам единственно. Как следствие, пересечение этих подпространств является пустым множеством.
    1. Дополнительное подпространство


Пусть L – линейное подпространство пространства V. Пространство называется дополнительным подпространством к L, если . Очевидно, что L – дополнительное подпространство к .
Дополнительное подпространство как бы дополняет подпространство до полного пространства.
    1. Линейное многообразие


Пусть V – линейное пространство, L – некоторое его подпространство, - некоторый вектор пространства V. Множество H всевозможных векторов вида , где , называется линейным многообразием пространства V, полученным сдвигом подпространства L на вектор .
    1. Направляющее подпространство


Подпространство L в определении линейного многообразия называется направляющим подпространством линейного многообразия H.
    1. Фактор-пространство


Пусть V – линейное пространство над полем P, L – его подпространство. Линейное пространство называется фактор-пространством линейного пространства V по подпространству L.

Правило определяет внешний закон композиции на , правило - внутренний закон композиции.
    1. Подпространства, задаваемые однородной системой линейных уравнений


Это совокупность решений однородной системы линейных уравнений , где A – матрица коэффициентов линейных уравнений системы.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org