Линейное (векторное) пространство над полем P



страница3/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  1. Теорема о линейной оболочке как подпространстве


Если - векторы линейного пространства , то линейная оболочка этих векторов является линейным подпространством пространства .
Доказательство: это утверждение вытекает из определения линейного подпространства: для линейной оболочки оба условия имеют место.
  1. Теорема о сумме и пересечении подпространств


Сумма и пересечение линейных подпространств линейного пространства так же являются линейными подпространствами линейного пространства .
Доказательство: вытекает из определения линейного подпространства: для суммы и пересечения оба условия выполняются.
  1. Теорема о размерности суммы двух подпространств


Размерность суммы двух подпространств равна рангу совокупности базисов слагаемых подпространств:



Доказательство: вытекает из того, что сумма линейных подпространств является линейной оболочкой совокупности базисов слагаемых подпространств (это есть какая-то теорема), и с учетом монотонности размерности, т.е. размерность линейного подпространства не превосходит размерности линейного пространства. Подпространство той же размерности что и пространство, совпадает с ним.
  1. Критерий прямой суммы подпространств


Для подпространств конечномерного линейного пространства следующие утверждения равносильны:

  1. Сумма подпространств - прямая

  2. Совокупность базисов подпространств линейно независима

  3. Совокупность базисов подпространств образует базис суммы подпространств

  4. Размерность суммы равна сумме размерностей:

  5. Существует вектор из суммы , для которого разложение по подпространствам единственно.

  6. Произвольная система ненулевых векторов , взятых по одному из каждого линейного подпространства , линейно независима

  7. Пересечение линейных подпространств - пустое множество:
  8. Теорема о существовании дополнительного подпространства


Для любого подпространства линейного пространства существует дополнительное подпространство.
  1. Подпространства евклидова (унитарного) линейного пространства

  1. Определения

    1. Вектор, ортогональный к подпространству


Пусть L – линейное подпространство евклидова (унитарного) пространства . Вектор x называется ортогональным к подпространству L, если он ортогонален каждому вектору из этого подпространства . Обозначение: .

    1. Ортогональное дополнение к подпространству


Пусть L – линейное под подпространство евклидова пространства . Совокупность всех векторов , ортогональных подпространству L, называется ортогональным дополнением к L. Обозначение: .
    1. Ортогональная проекция вектора на подпространство


Если L – линейное подпространство , то для каждого вектора существует, и притом единственное, разложение , где , . Вектор g называется ортогональной проекцией вектора f на подпространство L, вектор h – называется ортогональной составляющей.
    1. Ортогональная составляющая вектора


Из предыдущего определения, h – ортогональная составляющая вектора f.
    1. Перпендикуляр, опущенный на подпространство


Чтобы получить разложение геометрического вектора, достаточно опустить перпендикуляр из конца вектора f на плоскость L. Ортогональную составляющую h в разложении называют перпендикуляром, опущенным из вектора f на подпространство L.
    1. Наклонная к подпространству


Вектор f в разложении – наклонная к подпространству L.
    1. Расстояние от вектора до подпространства


Расстояние это равно длине перпендикуляра (ортогональной состявляющей разложения по данному подпространству), опущенного из этого вектора на подпространство.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org